现代水文学》第四章水文不确定性理论

'第四章水文不确定性理论ZuoQiting 第四章水文不确定性理论主要内容水文系统不确定性随机水文学基础模糊水文学基础灰色系统水文学基础水文不确定性研究展望ZuoQiting 4.1水文系统不确定性4.1.1客观存在的不确定性及其处理方法现阶段人们所认识到的不确定性包括：随机性、模糊性、灰色性以及未确知性。§目前处理各种不确定性的数学方法已经形成，如数理统计和随机过程，模糊数学，灰色数学，未确知数学等。§水文不确定性现阶段研究的焦点是对综合处理不确定性问题的方法的开发。ZuoQiting 4.1.2水文系统中广泛存在着不确定性水文系统的不确定性包括三个方面：1.系统输入中存在的不确定性；2.系统内部结构本身所包含的不确定性；3.系统输出存在的不确定性。正是由于这三方面因素的存在，水文系统中广泛地存在着随机性、模糊性、灰色性以及未确知性。ZuoQiting 4.1.3水文系统不确定性的研究方法•随机统计理论可用以识别水循环模拟和耦合中的不确定性•模糊数学和灰色系统的区间分析方法可用于解决水文模拟信息不完善的问题ZuoQiting 4.2随机水文学基础4.2.1随机水文过程与随机水文学的概念随机水文学的概念：随机水文学是指“以随机水文过程为研究对象，运用随机过程理论与方法来描述和处理水文复杂性和不确定性问题的一门交叉学科”。在随机随文学中，现象发生的时间先后次序至关重要。ZuoQiting 4.2.2随机水文学体系及内容介绍4.2.2.1随机水文学体系随机水文学的学科体系可以概括为相互联系的两个部分：随机水文学理论基础部分和随机水文学方法论及应用部分。随机水文学理论基础部分，是在确定性水文学、概率性水文学的基础上，以水文序列分析技术、随机过程理论、数学、计算机技术等基础科学技术为支撑，研究水文过程的变化规律及随机水文学的基础理论。其主要内容包括随机水文过程理论、水文序列分析方法、水文序列随机模型、随机水文学的数学基础。ZuoQiting 随机水文学方法论及应用部分，是随机水文学基础理论在水文系统分析计算、水文资料插补展延、水文预报、水文测验、水文站网布设、气候变化和人类活动对径流影响分析、水资源与水环境、水旱灾害预测、水利工程决策等领域的应用中，不断发展起来的随机水文学方法论。包括随机水文过程数学描述、水文序列相关分析、水文序列线性平稳模型、自回归模型、多变量模型以及其他随机模型等。ZuoQiting 随机水文学学科体系示意图ZuoQiting 4.2.2.2随机水文学主要内容介绍1.随机水文过程理论随机水文学是以随机水文过程为对象，主要研究随机水文过程的数学描述与模拟。因此，随机水文过程理论是随机水文学的数学基础，也是随机水文学的重要基础内容。ZuoQiting 2.水文序列分析方法自相关分析和谱分析技术是研究水文序列统计特性的有用工具（丁晶、邓育仁，1988）。自相关分析是研究水文序列内部线性相依性的统计技术，常用自相关系数来表示，是在时间域上分析水文序列的内部结构。谱分析是研究水文序列在频率域上的内部结构，常用方差线谱、方差谱密度、最大熵谱等来表示，是在频率域上分析水文序列的内部结构。这里简单列举自相关系数、方差谱密度的计算式。ZuoQiting 实测样本序列x（tt=1，2，…，n）的自相关系数r（k=1，2，…，m）为kCˆkr（4.2.1）kˆˆttk式中，Cˆ为样本协方差，ˆ和ˆ为样本方差。kttkZuoQiting Cˆk、ˆ、ˆ分别用下式计算：ttknkˆ1Ck(xtxt)(xtkxtk)nkt111nk22ˆt(xtxt)nkt111nk22ˆtk(xtkxtk)nkt1ZuoQiting 式中，xt和xtk为均值，分别用下式计算：nk1xtxtnkt1nk1xtkxtknkt1ZuoQiting 实测样本序列xt（t=1，2，…，n）的方差谱密度Sw的估计值Sˆ为：wmˆ1Sw(12rkcoskw)(4.2.2)。k1式中，w为角频率，wmZuoQiting 水文序列随机模型在随机过程理论中，随机模型类型很多，如线性平稳模型、自回归模型、多变量模型等。这些模型在水文过程模拟中的广泛应用，组成了随机水文学方法论的主体。这里简单介绍几种模型。ZuoQiting 对于水文序列xt，线性平稳模型一般形式如下：x(x)(x)(x)t1t12t2ptpt（4.2.3）式中，为序列均值，1,2,,p为参数，p为阶数，t为随机变量，一般为独立随机序列（白噪声序列）。t在这个模型中，水文序列xt表现为一般变量与随机变量的线性组合，它有多种变化形式。ZuoQiting 自回归滑动平均模型（ARMA(p,q)）是线性平稳模型的一种形式，一般形式如下：x(x)(x)(x)t1t12t2ptpt1t1qtq（4.2.4）式中，1,2,,p为自回归系数；p为自回归阶数；1,2,,q为滑动平均系数；q为滑动平均阶数。ZuoQiting 在式（4.2.4）中，当q=0时，式（4.2.4）转化为自回归模型（简记AR(p)），如式（4.2.3）；当p=0时，式（4.2.4）转化为滑动平均模型（简记MA(q)），如下式：xtt1t1qtq(4.2.5)ZuoQiting 4.3模糊水文学基础4.3.1模糊性与模糊水文学的概念所谓模糊水文学就是指“以水文系统为研究对象，运用模糊数学理论与方法来描述和处理水文复杂性和不确定性问题的一门交叉学科”。l它是模糊数学理论与方法在水文学中的应用，并逐渐派生出的一门专门研究水文系统中模糊性的边缘学科，为研究水文系统中广泛存在的“模糊性”提供了方法论。ZuoQiting 4.3.2模糊水文体系及内容介绍4.3.2.1模糊水文学体系模糊水文学的学科体系可概括为相互联系的两个部分：模糊水文学理论基础部分和模糊水文学方法论及应用部分。模糊水文学理论基础部分，是以物理水文学、实验水文学、系统水文学、模糊数学、系统论、决策论、控制论、资源与环境学、经典数学、计算机技术等为支撑，研究水文系统模糊性及模糊水文学的基础理论，主要内容包括水文系统模糊分析理论、水文系统模糊集合、模糊水文学的数学基础、水文系统模糊性描述与量化。ZuoQiting 模糊水文学方法论及应用部分，是模糊水文学基础理论在水文系统分析计算、洪水与干旱分析、水文预报、降雨-径流关系、水库调度、水资源与环境、气候变化和人类活动影响、水旱灾害预测、水利工程决策等领域的应用中，不断发展起来的模糊水文学方法论，包括水文系统模糊集分析、模糊聚类分析、模糊模式识别、模糊综合评价、模糊概率、模糊控制、模糊预测与决策、模糊规划与优化等。ZuoQiting 模糊水文学学科体系ZuoQiting 4.3.2.2模糊水文学主要内容介绍1.模糊集理论所谓A是论域U上的一个模糊子集，是指给定了一~个从U到[0,1]闭区间上的映射。：U→[0，1]A~uA(u)[0,1],uA（4.3.1）~~称A为A的隶属函数，A(u)为u相对于A的隶属度。~~~~ZuoQiting 2.水文模糊聚类分析按照一定标准对客观事物进行分类的数学方法称为聚类分析。模糊聚类分析方法，其步骤介绍如下。第一步：建立模糊相似关系第二步：建立等价关系第三步：通过Rˆ对U进行分类（Rˆ为所求得的等价矩阵，U为代分类的全体）。ZuoQiting 3.水文模糊模式识别对于某一具体对象识别它属于何类的问题称为模式识别。在模糊水文学中，模糊模式识别大致有两种方法：一是直接方法，按“最大隶属原则”归类，主要用于个体识别；另一是间接方法，按“择近原则”归类，一般应用于群体识别。ZuoQiting “最大隶属原则”识别方法为：设A（ii=1,2,…,n）为论域U上的模糊子集。对uU，若存在i，00使Ai0(u0)maxA1(u0),A2(u0),,An(u0)，则认为u0相对属于Ai类。0“择近原则”识别方法为：设Ai，B(i=1,2,…,n）为论域U上的模糊子集。若存在i0，使N(A,B)maxN(A,B),N(A,B),,N(A,B)i012n(式中N(A,B)为某种贴近度公式）i则认为B与Ai最贴近，即判断B与Ai为一类。00ZuoQiting 4.水文模糊综合评价按照多个评价因素和确定的评价标准，对某个或某类对象进行的整体评价，称为综合评价。模糊综合评价方法按其计算方法的不同有很多种，如一级综合评价、二级综合评价、变权法评价等。这里简单介绍常用的模糊综合评价方法。ZuoQiting 设Uu1,u2,,um为评价因素集，Vv1,v2,,vn为评语集。确定映射：:UV，对于任意u∈U，i记=i，(称ui)为对单i因素的评u价i，为单因素评价函数。称f(x,x,,x)f((u),(u),,(u))12m12m是对U的综合评价，f为综合评价函数。ZuoQiting 设权向量为W(w1,w2,,wm)，一般满足“归一m化”要求，即w1ii1加权平均型常用的综合评价函数几何平均型单因素决定型ZuoQiting 写成矩阵形式。已知单因素评判矩阵R，rrr11121nrrr21222nR（4.3.7）rrrm1m2mnZuoQiting 模糊综合评价矩阵写成：rrr11121nrrr21222nBWR(w,w,,w)(b,b,,b)12m12nrrrm1m2mn（4.3.8）上式中模糊合成采用加权平均型变换，其表达式为mbiwkrki（4.3.9）k1ZuoQiting 5.水文模糊概率包括三类：第一类是事件本身是模糊的，而概率值是普通数值，即模糊事件的概率；第二类是事件本身是明确的，但概率是模糊的，即事件的模糊概率；第三类是事件和概率都是模糊的，即模糊事件的模糊概率。ZuoQiting 6.水文模糊控制模糊控制与一般控制系统相似，由被控对象、模糊控制器、反馈通道等环节组成。一般的模糊控制有如下4个计算步骤：第一步：确定现时误差和误差变化率。第二步：将误差和误差变化率模糊化。第三步：确定模糊控制规则（合成算法）。第四步：确定模糊控制量。ZuoQiting 7.水文模糊预测与决策在许多预测和决策问题中，其目标、任务、对象和需要处理的信息往往含有模糊性，针对这类问题所作的预测与决策就是模糊预测与决策。模糊数学与一般预测方法相结合，形成多种预测方法，如模糊时间序列预测、回归预测、聚类分析预测、逻辑推理预测等。决策一般包括多目标规划与多属性决策两类。ZuoQiting 8.水文模糊规划与优化规划问题就是在约束条件下寻求目标的最优（最大或最小），也称优化问题。它可以分为多种类型，比如确定性模型和不确定性模型、线性和非线性模型、单目标模型和多目标模型等。求解模糊线性规划模型，需要根据模糊数学方法先将模糊线性规划模型转化为普通线性规划模型，再求解。ZuoQiting 4.4灰色系统水文学基础4.4.1灰色系统与灰色系统水文学的概念在客观存在的系统中，由于人类的认识能力有限，使得反映系统中因素的信息部分明确、部分不明确，这样的系统即为灰色系统。灰色系统理论应包括两方面内容：一是灰色数学基础；二是灰色系统应用理论。灰色系统水文学是运用灰色系统理论与方法描述和处理水文复杂性和不确定性问题的一门新兴交叉学科。ZuoQiting 传统水文学需借助灰色系统理论来解决的问题包括：Ø水文系统中信息的挖掘。Ø水文模型非唯一、参数非唯一、研究对策非唯一等问题。Ø“黑箱”方法和确定性数学方法用于分析水文系统，无法充分利用部分已知信息。ZuoQiting 4.4.2灰色系统水文学体系及内容介绍4.4.2.1灰色系统水文学体系灰色系统水文学的学科体系可以概括为相互联系的两个部分：灰色系统水文学理论基础部分和灰色系统水文学方法论及应用部分灰色系统水文学理论基础部分，是以物理水文学、实验水文学、系统水文学、灰色系统理论、新技术应用、社会经济学、生态系统学、环境科学、信息论、数学等基础科学技术为支撑，研究水文规律及灰色系统水文学的基础理论，主要内容包括水循环理论、水文尺度问题、水文非线性问题、水文系统信息论、水文灰元与灰集合、水文灰色系统数学基础、水文灰色系统的描述与量化等。ZuoQiting 灰色系统水文学方法论及应用部分，是灰色系统水文学基础理论在工程水文、水资源、水环境、气候变化和人类活动影响、水与可持续发展、水旱灾害预测、水利工程决策等领域的应用中，不断发展起来的灰色系统水文学方法论，包括水文灰色系统关联分析、水文灰色模拟、水文灰色系统识别、水文灰色系统预测/预报、短期水文灰色预报、中长期水文灰色预测、水文灾害事件灰色预测、水文区划灰色统计与聚类、水文站网灰色规划等。ZuoQiting 灰色系统水文学学科体系ZuoQiting 4.4.2.2灰色系统水文学主要内容介绍1.灰色系统水文学的研究基础包括：一，水文循环的机理；二，水文系统的信息论；三，灰色数学方法。信息论的重要基础内容是信息度量，包括信息的结构度量、语义度量和统计度量三种形式。结构度量是研究大量信息的离散构造，它通过简单计算信息单元（量子）方法，或者用大量信息简易编码所提供的组合方法对信息进行度量。语义度量是估计信息的适用性、价值、效应和真实性。统计度量是利用“熵”作为统计发生概率的不确定性度量，从而得出这些或那些消息的信息量（夏军，2000）。目前，水文信息度量主要针对统计度量。ZuoQiting 灰色数学方法的目的是设法从数学量化基础方面，为水文灰色系统模型的建立、未知部分的识别、灰色预测与决策等，提供量化和半量化的方法论（夏军，2000）。灰集合是在Cantor集合、模糊集合的基础上形成的又一类重要“集合”抽象概念，是灰色数学发展的重要基础。目前灰色系统水文学研究必须面对的两个难点问题包括：水文尺度问题和水文非线性问题。ZuoQiting 2.水文灰色系统关联分析灰色系统关联分析是根据事物和因素的时间序列曲线的相似程度来判断其关联程度的。若两条曲线比较平行，则认为二者的关联程度大。反之，关联程度就小。灰色关联度的计算方法目前主要有绝对值关联度和速率关联度两种。ZuoQiting 假设参考时间序列为：Y=(Y(1),Y(2),…,Y(n))；比0000较时间序列为：X=(X(1)，X(2)，…，X(n))，i=1，iiii2，…，m。灰色速率关联函数的表达式为：(t)1i1X(t)Y(t)（4.4.2）Xi(t)tYi(t)t式中：X(t)Xi(t1)Xi(t)，Y(t)Y0(t1)Y0(t)，i=1，2，…，n。ZuoQiting 则灰色速率关联度的计算公式为：n1r1(t)（4.4.3）in1it1绝对值的关联函数表达式为：minminY(t)X(t)maxmaxY(t)X(t)0i0i1im1tn1im1tn(t)i（4.4.4）Y(t)X(t)maxmaxY(t)X(t)0i0i1im1tn式中：为分辨率，是选定的系数，取值范围（0，1）。ZuoQiting 则绝对值关联度的计算公式为：nr1(t)（4.4.5）init1这种方法在水文学中的应用主要有：河流径流变化的影响因素分析、多水源河流主要补给来源的辩识、水质变化和生态环境变化影响因素分析、人类活动和气候变化对水文水资源的影响分析等。ZuoQiting 3.水文灰色系统模拟水文灰色系统模拟是将确定性水文物理方法或概念性水文模型与灰色系统建模方法有机地结合起来，提出既吸收了先验物理知识又可由实验资料辩识未知或不确定部分，且有较好弹性的灰结构/灰参数模型（夏军，2000）。水文灰色系统模拟的主要步骤或内容包括：水文灰色系统结构与参数化过程、结构与参数识别、模型检验与应用。ZuoQiting 4.水文灰色系统预测、预报灰色系统理论在白化灰导数的基础上提出了线性微分方程模型的思想和建立方法。在灰色系统理论中最常用到的预测模型是GM(1,1)模型。该模型是邓聚龙教授最早提出的，从一个时间序列自身出发来进行建模的灰色预测模型。下面，仅对此模型进行简单介绍。ZuoQiting 设系统某行为数列（要求非负）为x(k),k1,2,...,N，其中GM（1，1）模型建模步骤如下：第一步：对原始数列x(k)作一次累加生成：k(1)x(k)x(m)k1,2,...,Nm1（4.4.6）ZuoQiting ZuoQiting ZuoQiting 第五步：还原数列~x~x(1)~x(1)~ba(k1)(k)(k)(k1)或x(k)a(x(1)a)e（4.4.10）第六步：精度检验检验方法有相对误差法、关联度法、反验算法等。若拟合精度达到要求，即可进行预报。有时还需要再建立一个GM(1,1)残差修正模型，以提高拟合精度。ZuoQiting ZuoQiting 5.水文灰色统计方法灰色统计方法大致可以分为五步：第一步：给出白化统计量d（又称实际样本值）。i=1，ij2，…，N，i表示统计对象编号；j=1，2，…，M，j表示统计指标编号。第二步：确定统计灰类，即划分成哪几个类别，并对各类别建立相应的白化函数：f1(d)、f2(d)、…、fL(d)，为划分的类别。第三步：求灰色统计数jk和jk。f(d)记为实际的样kij本值d通过第k个白化函数fk(d)查出的数值，，ijN称jk为j第fk(种dij统)计指标j的k样L本值属于第k种灰类的统计i1数。，称j为第jkj种统计指j标样本值的灰色k1统计数。ZuoQiting jk与j之比称为所有统计对象对第j种统计指标相对第k种统计灰类的灰色统计数，记为：jk(4.4.11)jkj第四步：确定统计决策矩阵，即灰色统计数jk的全体。它表达了不同统计指标与不同统计灰类的可信度大小。第五步：判断灰类。ZuoQiting ZuoQiting ZuoQiting ZuoQiting ZuoQiting'