水力学 第3章 流体力学基本方程.ppt

'第三章流体力学基本方程本章研究：流体机械运动的基本力学规律及其在工程中的初步应用。 思考1为什么河道较窄的地方流速较大？ 思考2高楼顶层的水压为什么较低？ 思考3自来水可以爬上几十米的高楼，洪水为什么不能爬上几米的岸边山坡？ 设某一流体质点在某时刻的空间位置，为：x=x(a,b,c,t),y=y(a,b,c,t),z=z(a,b,c,t)。(a,b,c)为流体质点的初始位置坐标。速度：一.流体运动的描述方法：以流体质点作为研究对象，研究其各运动要素随时间与空间的变化的分布规律。流体的运动要素（流动参数）——表征流体运动的各种物理量。如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。1.拉格朗日法：§3-1描述流体运动的方法 加速度：2.欧拉法：以流场作为研究对象，研究各流场空间点上流体质点的各运动要素随时间与空间的变化的分布规律。流场：运动流体所占据的空间。在欧拉法中，是以速度场来描述流体运动的，流体质点的运动速度（即速度函数）是定义在空间点上的，它们是空间点坐标（x,y,z）的函数：这里： 上式中用粗体字母表示矢量。由速度分布求加速度：在欧拉法中，是以速度场来描述流体运动的，流体质点的运动速度（即速度函数）是定义在空间点上的，它们是空间点坐标（x,y,z）的函数： 由速度分布求加速度：设某个质点，t时刻位于（x,y,z），速度为：t+Δt时刻位于(x+Δx,y+Δy,z+Δz)，速度为：V0和V1的关系为： 加速度：而：注意到：因此：若用粗体字母表示矢量，则： 加速度的投影值： 二.恒定流与非恒定流：1.恒定流（定常流动）：2.非恒定流（非定常流动）：流场中各点处的所有流动参数均不随时间而变化的流动。流场中各点的流体质点的所有流动参数中只要有一个随时间而变化，这样的流动就称为非恒定流。 流线：在固定时刻t,如果流场中的某一条曲线上每一点的切线都与该点的流体质点的速度方向相同,则称此曲线为该瞬时的一条流线。迹线：给定质点在一段连续时间内的运动轨迹。流线和迹线的区别：三.迹线和流线： 流线和迹线的区别：t1acaat1+Δtt1+2Δt质点a的轨迹t=t1的流线b 迹线---流体质点的运动轨迹线。流线---处处与质点速度矢量相切的空间曲线。恒定流时,流线与迹线重合。 流线微分方程：设流线微段为：该点的流体的速度为：因为：因此,两矢量的分量对应成比例： 1.流管：2.流束：四.流管、流束、元流、总流：流管内的一束运动流体称为流束。在流场中任意绘一条非流线的封闭曲线，在该曲线上的每一点作流线，这些流线所围成的管状面称为流管。由于流管的“管壁”是由流线构成的，因而流体质点的速度总是与“管壁”相切，不会有流体质点穿过“管壁”流入或者流出流管。流管内的流体就像是在一个真实的管子里流动一样：从一端流入，从另一端流出。 3.元流：如果流管的横截面积为dA,这种流管称为微流管,微流管内的流束称为元流。4.总流：无数元流的总和称为总流。五.流量：过流断面：与流线正交的横断面。（体积）流量Q：单位时间内通过过流断面的流体体积。 断面平均流速：对曲面A，其（体积）流量：断面平均流速：v=Q/A过流断面上各点流速的平均值，称为断面平均流速。如图，对于dA，其（体积）流量为： 六.均匀流、非均匀流、渐变流、急变流：1.均匀流与非均匀流：2.渐变流与急变流：七.一元流动、二元流动、三元流动：若流体的流动参数是空间三个坐标和时间的函数，这种流动称为三元流动；若流动参数是两个坐标和时间的函数，这种流动称为二元流动；若流动参数是一个坐标和时间的函数，这种流动称为一元流动。在给定时刻，流场中各流线都是平行直线的流动称为均匀流；否之，则为非均匀流。在非均匀流中，各流线是接近于平行直线的流动称为渐变流（或称缓变流）；否之，则为急变流。 求t=0时，经过点A（-1，-1）的流线方程。例1：已知：u=x+t，v=-y+t,w=0。解：t=0时，u=x,v=-y,w=0；代入流线微分方程，有：流线过点（-1，-1）∴C=1 例2：已知某流场中流速分布为：u=-x，v=2y,w=5-z。求通过点(x,y,z)=(2,4,1)的流线方程。解：流线微分方程为：由上述两式分别积分，并整理得： 即流线为曲面和平面的交线。将(x,y,z)=(2,4,1),代入①可确定：c1和c2故通点(2,4,1)的流线方程为： §3-2连续性方程一.积分形式的连续性方程：1.系统与控制体：①.系统：②.控制体：包含确定流体质点的集合。流场中的一个空间固定体称为控制体。控制体的边界面称为控制面。 系统的流体质量为：质量守恒:系统的质量在任何时刻都相等。2.连续性方程的推导：在这里,我们选取t时刻系统的体积τ和表面积A为控制体的体积和表面积。 故：由于质量守恒，因此：此方程称为积分形式的连续性方程。 即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体内该物理量的时间变化率和该物理量通过控制体表面的净流出率之和。方程（1）对于任一物理量φ（比如：动量等）亦成立。式中：φ——流体单位体积的某物理量。 则，方程（1）可写为：则，方程（1）又可写为： 对于定常流动：一元流动，有：不可压缩流体的一元流动，有：V1A1=V2A2分析积分形式的连续性方程：ρ1V1A1=ρ2V2A2 作业：P106，第4题、第6题。 分析二元流动，取控制体如图，长为dx,宽为dy。设控制体中心点O’(x,y)的速度分量分别为u、v，密度为ρ。单位时间内，左侧面流入的质量：单位时间内，右侧面流出的质量：二.微分形式的连续性方程： 单位时间内，x方向净流出的质量为：同理,单位时间内,y方向净流出的质量为：因此，根据质量守恒定律，有： 即：三元流动：若采用圆柱坐标（r，θ，z），则有： 当ρ=常数时（均质不可压缩流体），有：对于定常流动（恒定流），有：分析三元流动微分形式的连续性方程： 一.理想流体的运动微分方程：§3-3流体运动的微分方程x方向：max=Fx从理想流体中取出边长分别为dx,、dy和dz的微元平行六面体。设微元体中心点的速度分量为u、v和w，其压强为p、密度为ρ。理想流体的动压强与液体的静压强的特性一致。 同理：即：理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程。二.粘性流体的运动微分方程（N-S方程）简介：不可压缩粘性流体的运动微分方程又称为纳维-斯托克斯方程，简称为N-S方程。 N-S方程：在N-S方程中，若=0（理想流体），则N-S方程变为欧拉运动微分方程。 §3-5伯努利方程一.理想流体沿流线s的伯努利方程：①.加速度：如果流动恒定，则：考查理想流体沿流线s的运动方程：1.方程的推导： ②.如果质量力仅为重力：③.如果ρ为常数：积分得： 或：位置水头(Z)、压强水头（p/)与流速水头(u²/2g)之和称为总水头（H）。这就是重力作用下，理想不可压缩流体恒定流沿流线的伯努利方程。 2.方程的物理意义和几何意义：恒定元流伯努利方程的物理意义：理想、不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿元流各断面上机械能守恒。恒定元流伯努利方程的几何意义：理想、不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿元流各断面上总水头保持不变。由于元流的极限状态就是流线，故沿流线的伯努利方程就是沿元流的伯努利方程。 考查理想流体沿流线法向的运动微分方程：如图：ar应为向心加速度：二.压强沿流线法向的变化： （复习）渐变流和急变流的概念：如果某处的流线的曲率半径非常大,则此处的流动称为渐变流；否则称为急变流。 三.理想流体总流的伯努利方程：研究总流在断面1—1和2—2之间的部份。取其中某一元流，速度和断面积分别为u1、dA1和u2、dA2。u1dA1=u2dA2，或dQ1=dQ2。 设两断面1—1和2—2处在渐变流中：故： 这就是理想流体恒定总流的伯努利方程（又称为能量方程）。方程中的各项的物理意义和几何意义分别与理想流体元流的伯努利方程中的相应项的物理意义和几何意义相同。 四.粘性总流的伯努利方程：如图：1—1断面在上游，2—2断面在下游。由于有粘性，流体的机械能沿流程减少。实际流体具有粘性，在流动过程中，摩擦阻力做功会消耗掉一部分机械能。设单位重量流体从总流的1—1断面运移至2—2断面的机械能损失为hW1-2。则： 水力坡度J：单位重量流体沿总流单位长度上的机械能损失。 §3-6伯努利方程的应用1.连续流体（液、气）。2.流体均匀不可压缩，=const.。3.恒定流。4.质量力仅为重力。5.所取的两个计算断面为均匀流断面或渐变流断面（两断面间可以是急变流）。一.伯努利方程的应用条件： 二.有汇流（或分流）的伯努利方程：单位重量流体从1-1断面流至0-0断面：单位重量流体从2-2断面流至0-0断面： 三.有能量输入或输出的伯努利方程：水泵由进水管1，出水管2，以及叶轮，蜗壳等组成。水由进水管进入叶轮中心，流经叶片之间的通道进入蜗壳，由于叶轮的高速旋转，水流获得能量，出口2-2断面的压强增高。p2>p1。1.有能量输入： 2.有能量输出：这时的伯努利方程为： 作业：P107，第9题、第12题。 四.总流伯努利方程的应用举例：1.定断面：应将计算断面取在已知条件较多的均匀流或渐变流断面上，并使伯努利方程包含所要求解的未知数。2.过流断面上计算点的取定：原则上计算点可在均匀流或渐变流断面上任取。但为了方便，管流的计算点应取在管轴中心处；明渠流的计算点则应取在自由表面上。3.定基准面：两过流断面必须选取同一基准面，常使Z≥0。4.方程中的动压强p1和p2既可为绝对压强，也可为相对压强。但p1和p2必须同为绝对压强或同为相对压强。5.分析和考虑两过流断面间的能量损失hw1-2。在应用总流伯努利方程解题时应注意以下几点： 例3.求小孔出流的流量：如图，对断面0-0和断面1-1列伯努利方程，不计能量损失，有：上式中：A为小孔的面积，A为1-1断面的面积。解： 例4.用文丘里流量计测定管道中的流量：解：如图，在1-1及2-2断面列伯努利方程，不计能量损失有： ：考虑能量损失及其它因素所加的系数。1。 例5.用皮托管测流速： 例6：水泵抽水,已知:Q=8.5×10-3m3/s,h=6.3m,hW=0.9m(水柱)。求：水泵的有效功率P=？（书上P80–81例3-10）解：对1—1和2—2断面列伯努利方程，有：水泵的有效功率： 例7：输气管入口，已知：ρ’=1000kg/m3，ρ=1.25kg/m3，d=0.4m，h=30mm。求：Q=?（书上P81–82例3-11）解：对0—0和1—1断面列伯努利方程，不计损失，有： 例8：有一虹吸管，已知：d=0.1m,hWAC=2.12m，hWCB=3.51m,h=6.2m，H=4.85m。求：Q=?pa–pc=?（书上P83~84例3-14）解：1).对水池液面和管道出口断面列伯努利方程，有： 2).对水池液面和管道C断面列伯努利方程，有： §3-7动量方程及其应用一.总流动量方程的推导：质点的动量方程：质点系（系统）的动量方程：在§3-2中知：对于任一物理量φ，有： 对于恒定总流，有： 对于如图所示的不可压缩液体的恒定总流，有：两断面1—1和2—2为均匀流断面或渐变流断面。 在求解实际问题时，一般采用直角坐标系中的投影形式：注意：动量方程中的外力：包括质量力(重力)和表面力。 二.总流动量方程的应用举例：1.解题关键——正确地选取控制体。通常将控制面的一部分取在运动液体与固体的交界面（或液体与气体的分界面）上，另一部分取在渐变流断面上，并使控制面封闭。2.解题步骤：1）.先利用连续性方程、伯努利方程等求出一些相关参数。2）.选取渐变流断面，确定控制体；并建立直角坐标系。3）.分析作用在控制体内液体上的所有外力及渐变流断面上的流速V；确定力和速度的方向，并将其在坐标轴上投影。4）.列动量方程，并求解之。一般，动量方程用于求解液体作用在固体壁面上的力。 确定射流对平板的冲击力（1）：平板受力分析：左边受动水压强p，右边受大气压强pa。平板受到的射流的作用力T由相对压强所引起。平板对射流的反作用力为F，有：F与T大小相等，方向相反。 确定射流对平板的冲击力（2）：平板为光滑平板，不计水头损失：如图，有： 例9：矩形断面水渠中有一平板闸门。水渠和闸门的宽度B=3.4m。闸门上、下游水深分别为h1=2.5m,h2=0.8m。求:固定闸门应该施加的水平力F。（书上P91例3-16）解：对1-1及2-2断面列伯努利方程，不计水头损失，有：以上两式联解，可得： 在水平方向列动量方程，有： 例10：如图，已知：V1、A1；；相对压强p1、p2；且管轴线在水平面内，试确定水流对弯管的作用力。解：对1-1及2-2断面列伯努利方程，不计水头损失，有：在x方向列动量方程，有：可求出V2、A2。 在y方向列动量方程，有： 作业：P107，第13题、P108，第18题、P109，第26题。 例11：嵌入支座内的一段输水管，其直径由d1为1.5m变化到d2为1m，(见图1)，当支座前的压强p1=4个工程大气压(相对压强)，流量为1.8m3/s时，试确定渐变段支座所受的轴向力R，不计水头损失。图1解：由连续性方程知：在1-1及2-2两断面列伯努利方程(不计损失，用相对压强)： 取控制体如图2建立坐标系xoy。图2 显然，支座对水流的作用力R′的作用线应与x轴平行。设R′的方向如图2所示：在x轴方向列动量方程：图2根据牛顿第三定律，支座所受的轴向力R与R′大小相等，方向相反(R的方向水平向右)。'