工程流体水力学第四章习题答案.doc

'第四章理想流体动力学和平面势流答案4－1设有一理想流体的恒定有压管流，如图所示。已知管径，，过流断面1-1处压强p1>大气压强pa。试按大致比例定性绘出过流断面1-1、2-2间的总水头线和测压管水头线。解：总水头线、测压管水头线，分别如图中实线、虚线所示。4－2设用一附有液体压差计的皮托管测定某风管中的空气流速，如图所示。已知压差计的读数h＝150mmH2O，空气的密度ρa=1.20kg/m3，水的密度ρ=1000kg/m3。若不计能量损失，即皮托管校正系数c=1，试求空气流速u0。解：由伯努利方程得（1）式中为驻点压强。由压差计得（2）联立解（1）（2）两式得4－3设用一装有液体（密度ρs=820kg/m3）的压差计测定宽渠道水流中A点和B点的流速，如图所示。已知h1=1m，h2=0.6m，不计能量损失，试求A点流速uA和B点流速uB。水的密度ρ=1000kg/m3。解：（1）（2）由伯努利方程可得 （1）（2）式中、和、分别为A点和B点处的水深和驻点压强。由（1）、（2）式可得（3）由压差计得，，所以(4)由（3）式、（4）式得。4－4设有一附有空气－水倒U形压差计装置的皮托管，来测定管流过流断面上若干点的流速，如图所示，已知管径d=0.2m，各测点距管壁的距离y及其相应的压差计读数h分别为：y=0.025m，h=0.05m；y=0.05m，h=0.08m；y=0.10m，h=0.10m。皮托管校正系数c=1.0，试求各测点流速，并绘出过流断面上流速分布图。解：因，所以过流断面上的流速分布如图所示。4－5已知试求该流动的速度势函数，并检查速度势函数是否满足拉普拉斯方程。解：(1)在习题3－19中，已判别该流动为有势流，所以存在速度势函数。 积分上式可得（2）满足拉普拉斯方程。4－6已知，，，试求该流动的流函数和流线方程、迹线方程。解：(1)在习题3－8中，已判别该流动满足连续性方程，所以存在流函数。等流函数线方程即为流线方程。，，积分上式可得（2）迹线方程，，积分上式可得4－7已知ux=－ky，uy=kx，uz=0，试求该流动的流函数和流线方程、迹线方程及其形状（k是不为零的常数）。解：流函数和流线方程：积分上式可得迹线方程:，由上式可知，流线为平行于Oxy平面的同心圆族，由于恒定流的流线与流线上液体质点的迹线相重合，所以迹线亦是同心圆族，液体质点作圆周运动。4－8已知ux=4x，uy=－4y，试求该流动的速度势函数和流函数，并绘出流动图形。解：由习题3－8和3－19，可知该流动存在流函数和速度势函数。 ，积分上式可得：，积分上式可得流动图形如题4－16图所示。4－9已知Φ=a（x2－y2），式中a为实数且大于零。试求该流动的流函数。解：，积分上式可得4－10已知速度势函数，式中M是不为零的常数。试求该流动的流函数，并绘出流动图形。解：，对积分可得题4-10图上式对ρ取偏导数，则又由上两式可得，即＝常数。因此可得上述流动即为偶极流。流动图形可参照题4—10图。4－11已知流函数=3x2y－y3，试判别是有势流还是有涡流。证明任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离ρ。解：，所以是有势流。，所以任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离。 4-12设水平面流场中的速度分布为，，k是不为零的常数，如图所示。试求流场中压强p的分布。设ρ=∞，=0处的压强为p∞；水的密度为ρF。解：由例3-6（如题4-12图所示）知，该流体运动除原点（ρ=0）外，是有势流。因是有势流，理想流体恒定流伯努利方程式适用于整个有势流；又因在同一水平面内，所以流场中除原点（ρ=0，u=）外，，因此。由上式可知，压强p随半径ρ的减小而降低。题4-12图4-13水桶中的水从桶底中心小孔流出时，常在孔口上面形成旋转流动，水面成一漏斗形，如图a所示。流速场在平面内，如图b所示，可表示为，uρ=0，k是不为零的常数。试求自由水面曲线的方程式。解：该流体流动除原点（ρ=0）外，是有势流。因是有势流，理想流体恒定流伯努利方程式适用于整个有势流，流动剖面如图所示。当ρ时，水面高程为h；另取自由表面上任意点M，对上述两点写伯努利方程，可得,,该式即为自由表面方程式。4－14直角（）弯头中的流动，设为平面势流，如图所示。已知弯头内、外侧壁的曲率半径r1、r2分别为0.4m和1.4m，直段中均匀来流的流速为10m/s，流体密度为1.2kg/m3。试求弯头内外侧壁处的流速和内外侧壁的压强差。题4-14图解：由例4－6（如题4-14图所示）知弯段内的流速分布为，式中是不为零的常数。值可由连续性方程决定，即外壁处流速，内壁处流速内外壁处的压强差 （注：外侧压强大）4－15已知（1），，k是不为零的常数；（2）,,为常数。试求上述两流场中半径为ρ1和ρ2的两条流线间流量的表示式。解：（1），，，（2），，，4－16直角内流动。已知平面流动的速度势Ф=a(x2－y2)，流函数=2axy，式中为实数且大于零。等流函数、等势线，如图所示；当=0时的流线称零流线，与两轴线重合。如果将x、y轴的正轴部分，用固体壁面来替换，即得直角内流动。试分析该流动沿壁面流动时，壁面上的压强分布。设静止处（坐标原点）的相对压强为零，流体密度为ρF。解:，沿壁面流动时，分两种情况：当沿x轴流动时，，，当沿y轴流动时，，，可得上述两种情况说明，负压随距转角点距离的平方成正比地增大。4－17兰金（Rankine）椭圆。均匀直线流沿x轴方向的速度为u；源流强度与汇流强度均为q，汇点置于x轴上，位于源点的右边，他们与坐标原点O的距离均为a。如果将上述组合成的复合势流的流函数=0时的流线方程，用固体边界来代替，这个轮廓线称兰金椭圆，如图所示。试求该椭圆长半轴l、短半轴b的方程。 解：题述流动组合成的复合势流的流函数为速度分布为因为驻点速度为零，即，解上两式可得驻点位置，或，为，。=l（即为椭圆长半轴），，。通过驻点的流线的流函数，对于，，则由上述复合势流的流函数表示式可得。所以的流线方程即为。如果用固体边界来代替上式所表达的流线，这个物体的轮廓线即为兰金椭圆，它的短半轴b，可将，代入上式，由试算求得。实际流体绕经上述物体时，在其后尾部将形成涡流（在第八章中要介绍），与上述流动的情况不同，所以不能按上述方法求解。但是，在物体的前端部，由于边界层（在第八章中要介绍）很薄，且流动处于加速区，按上述理论推算与实测结果很相符合。4－18源流和汇流的强度q均为60m2/s，分别位于x轴上的（－a，0）、（a，0）点，a为3m。计算通过（0，4）点的流线的流函数值，并求该点的流速。解：通过（0，4）点的流线的流函数值为通过（0，4）点的流速为4－19向右的水平均匀直线流和顺时针的环流及源流（均在原点）相叠加，如图所示。试求用直角坐标形式来表示的流速分量和驻点位置。解：驻点的，所以 ，，，y（驻点坐标）4－20设一均匀直线流绕经一圆柱体，如图所示。已知圆柱体中心位于坐标原点（0，0），半径为r0=1m；均匀直线流速度u=3m/s。试求x=－2m，y=1.5m点处的速度分量（uρ，）和（ux，uy）。解：由图中可知，，所以4-21设一均匀直线流绕经一圆柱体，如图所示。已知圆柱表面上的流速分布为=－2usin，uρ=0，u是均匀直线流速度。试证明作用于圆柱表面上的压强在x轴及y轴方向的合力都等于零。解：由伯努利方程可得 或在圆柱上取，=，作用于此微段上的压力；在x、y轴的分量分别为，，对上两式积分，分别为因为，；，.即证明之。'