离散数学第四版答案.doc

'浅谈高中数学新教材中课本例题的教学无锡市辅仁高级中学王文俊文章提要：搞好课本例题的多种形式教学，能使学生的数学思维能力得到进一步提高。本文从以下几个方面进行说明。首先，课本例题是解题规范参照的最佳样本；其次，课本例题是将设问引申的最理想起点；第三、课本例题是一题多解的最佳展示台；第四、课本例题是变式教学的最丰富源泉。关键词：课本例题规范引申一题多解变式《普通高中数学课程标准》指出：教师不仅是新课程的实施者,而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。《普通高中课程标准实验教科书—数学》，即通常所说的教材，具有完备的知识体系，又具有权威性，是教师进行数学教学的主要依据，也是学生学习数学基础知识的重要依据。而课本例题更是经过编者反复论证精心设计的，具有典型的范例作用，蕴含着基本的解题思想和方法，具有很高的教学价值。新教材中例题的选择更是力求与生活实际接近，许多情景甚至完全可以通过实际活动来表现。在高中数学教学中，搞好例题教学，特别是搞好课本例题的多种形式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力、培养和提高学生能力等方面，能发挥其独特的功效。但是对课本例题的教学，很多老师有时会照本宣科，或认为课本例题太过一般，不值得花费时间讲解，一带而过，而改用自己在其他参考书上找来的例题。事实上，这正是教师对课程、教材研究不深入的表现。只要教师认真钻研教材，深刻理解例题的用意，充分挖掘例题的价值，结合学生的实际情况和教学的实际需要，进行适当的引申和拓展，就可以满足不同层次教学的要求。下面就新教材中课本例题的教学，谈一下笔者几点简单的想法。一、课本例题是解题规范参照的最佳样本解题是深化知识、发展智力、提高数学能力的重要手段。规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平。语言（包括数学语言）叙述是表达解题程式的过程，是数学解题的重要环节。因此，语言叙述必须规范。规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当，言必有据。数学本身有一套规范的语言系统，切不可随意杜撰数学符号和数学术语，让人不知所云。在高中数学的学习中，有些题目的解答过程是有严格的规范和要求的，比如函数单调性的证明，立体几何证明等等。7 例1、求证：函数在区间上是单调增函数．（苏教版高中数学《必修1》第35页例2）例2、已知、分别是平面的垂线和斜线，、分别是垂足和斜足，，．求证：．（苏教版高中数学《必修2》第36页例2）（解答过程略）通过例1，教师应要求学生掌握解题的基本步骤是：①设所证区间内任意两个变量（通常情况下）②作差③变形（通常化成几个因式的乘积或商的形式）④判断差的正负⑤给出结论。教师可以通过让学生对照课本上该例题的解题过程来“回扣”函数单调性的定义，并强调凡是证明函数的单调性，必须严格按照这个解题规范来解答。通过这个例题，可以让学生明白，用定义解题，回扣课本，才是体现数学基础知识掌握好坏的一个重要方面。在立体几何解题过程中，证明过程的书写规范是体现学生立体几何学习水平的一个重要方面。而公理定理成立的条件，相关角和距离的说明等等，也一直是许多学生不能既简洁又准确书写到位的环节。例2就是一道立体几何证明题，只是立几部分课本例题中的一例。它的书写结构是最清晰的“联立大括号+推出符号”形式，而且证明过程中顺序合理，层次清楚，条件和结论书写都很规范，是学生以后证明立几问题时参照的最佳范本。课本例题已经为学生的解题规范作了最好的示范，而重视解题的规范化将对学生的数学学习带来积极的影响。新课程中加入《算法》的内容，学习流程图，也从一个方面说明了新课程强调数学解题要步骤清晰，规范到位。二、课本例题是将设问引申的最理想起点课本例题的最大特点是针对性强，基础性强，但大多数课本例题是一题一问，给学生的思维空间较小。尽管和老教材相比，新教材在部分例题解答后面安排了“思考”这个环节，对例题进行了一些挖掘，但大多数例题仍缺乏纵向和横向的引申。为了培养思维的深刻性和广阔性，激发学生的学习积极性，结合教学的实际情况，适当地对课本例题的设问进行引申是非常必要的。ABCD7 PA1B1C1D1例1、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1、C1、P三点所确定的平面与长方体表面的交线．（苏教版高中数学《必修2》第23页例2）例2、求下列函数的最小值：（1）；（2），．（苏教版高中数学《必修1》第36页例4）在解决了书中提出的设问后，针对例1，可以再提问学生：平面A1PC1与平面ABCD有没有公共点？事实上，部分空间想象能力较弱的学生会因为一时的表面现象而给出“平面A1PC1与平面ABCD无公共点”的错误答案，经同学和老师指正后，回忆起了“平面是无限延展的”这一性质，明确了平面A1PC1与平面ABCD应该也有一条交线。教师这时可适时提问：“如何作出这条交线？”一下子激发起学生强烈的探究欲望。通过和原题的比较，学生就会类似地利用所学的公理去寻找两个平面的公共点，从而得到答案。这样的设问引申可以极大地调动广大学生课堂思考的积极性，再次巩固了前面所学的公理并能更好的运用，也为后续的学习打下一个良好的注脚。针对例2，可以再提问学生：如何更改（1）中函数（保持解析式不变），可以使得该函数既有最小值，又有最大值？又如何进行更改可以使得该函数的最小值保持不变？学生通过思考后能说出若干不同的答案，并明确：保持解析式不变，虽然改变了函数的定义域，但最值、值域仍然可能相同。这样的引申能使学生更好的把握函数定义域与值域的关系，以及函数定义域对值域的影响，又能与书中第33页习题13和第94页习题19形成前后呼应。以上两题的解决过程并不困难，大多数学生很快就能得出答案。但若在教学过程中就题讲题，不再引申，就会丧失拓展学生创新思维的大好时机，很难激发学生的学习兴趣，造成教师、学生争相“扔掉”7 课本而投身到大量写板书抄笔记的运动中去，这是完全和新课程的理念背道而驰的。三、课本例题是一题多解的最佳展示台课本例题大部分是一题一解，目标明确，且解法的基础性强，符合大多数学生的认知要求。但这样做不利于发散性思维的培养，不利于求异思维和创新能力的培养，同样也不利于知识的融会贯通和综合解题能力的提高。一题多解的思想具有对所学知识加以融会贯通的作用，不仅体现了解题能力的强弱，更重要的是其具有开放式思维特点，是一种培养创新能力的重要思维方法。因此，一题多解应当成为教师和学生掌握数学知识和探索数学思维规律的重要手段。αβ例、如图，三个相同的正方形相接，求证：．（苏教版高中数学《必修4》第103页例3）OABxyβα证法1（三角函数法）：由，可得，又，所以．证法2（解析几何法）：7 如图，由，，利用到角公式可求得直线OA到直线OB的角的正切等于1，所以．αβABCDEF证法3（平面几何法）：如图，设每个小正方形边长为1，易得EA=EF=，AF=，故△EAF是等腰直角三角形，可得∠EAF=，所以．αBAEDCFβ7 证法4（相似三角形法）：如图，设每个小正方形边长为1，易得，故△EAF∽△ECA，所以．以上是针对本题的4种解法，分别是利用了三角、解几、平几（沟股定理）、相似三角形的相关知识。相信对于此题，很多老师在教学中都会介绍除书本解法外的其他解法。这样做，使学生既加深了对各部分知识的理解，又找到了各部分知识之间的联系，积累了研究问题的经验，提高了解决问题的能力。在教学中，教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题，培养学生积极探索的能力与意识。这样，即可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能拓宽学生的解题思路，发展学生的思维能力，使学生熟练掌握知识的内在联系。四、课本例题是变式教学的最丰富源泉变式教学，就是引导学生在解答某些数学题之后，进行观察、联想、判断、猜想，对数学题的内容、形式、条件和结论作进一步的探索，从不同的侧面深入思考数学题的各种变化，并对这些“变式题”进行解答，从而培养学生灵活、深刻、广阔、发散的数学思维能力。在数学教学中,若将课本例题充分挖掘，注重对课本例题进行变式教学,不但可以抓好基础知识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力；不仅能让教师对教材的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加准确，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的乐趣。例、长为（是正常数）的线段AB的两端点A、B分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段AB中点M的轨迹．（苏教版高中数学《选修2—1》第57页例1）变题1：长为（是正常数）的线段AB的两端点A、B分别在互相垂直的两条直线上滑动，延长AB到点M，且使AB=BM，求点M的轨迹．变题2：长为（是正常数）的线段AB的两端点A、B分别在互相垂直的两条直线上滑动，点M在直线AB上且（），求点M的轨迹．变题3：长为（是正常数）的线段AB的两端点A、B分别在互相垂直的两条直线上滑动，点C在直线AB上，若MC⊥AB且（其中为非零常数），求点M的轨迹．7 上面这个例题只是最基本的求轨迹问题（转移法），但在三个变题中先是将转移点的位置进行了变化，轨迹由圆变化为椭圆，接着转移点的数量一般化，化简出轨迹方程后需经过分类讨论来说明所表示的曲线类型，最后一个变题则更进一步要求学生综合运用求轨迹的知识，合理化简轨迹方程，并通过分类讨论描述轨迹。在题目条件背景相同的情况下，以这个例题为基础变化出了三个层次渐进的变题，由易到难，由浅入深，使学生进一步巩固了轨迹问题的求解，并且也让学生注意到了分类讨论的解题思想在求轨迹问题中的应用。新教材中可以这样进行变式教学的例题还有很多，还有许多看似平淡但却很精彩的题目，忽视对这些题目的研究和运用，是很可惜的。所以，进行变式教学，请记住：课本例题就在你的手边。纵观近几年高考数学试卷，源于课本的题型占了很大的比重，大多是将课本题型进行变式提高，灵活应用，这与高考命题中的“源于课本，高于课本”的原则是一致的。所以，只有讲好，学好，用好课本，发挥课本例题的最大作用，才能在高考中取得好成绩。课本例题一般都具有典型性、示范性和关联性，它们或是渗透着某些数学方法，或是体现了某种数学思想，或提供某种重要结论。教师应该让学生充分认识例题本身所蕴含的教育价值，学会怎样进行数学思维，怎样运用数学知识进行思考、解题，如何表述自己的解题过程等等。教师只有充分地利用教材，发挥课本例题的潜能，才能达到优化学生的认知结构，开阔学生的眼界，活跃学生的思维，提高学生解题能力的目的。参考文献1教育部.《普通高中数学课程标准（实验）》北京：人民教育出版社，20032单墫.普通高中课程标准实验教科书(必修).南京:江苏教育出版社,20053刘占溪.挖掘习题资源培养思维品质.中学数学教学参考，2006，84陈凌，宗平芬.再议“一题多解”及其教学策略.中学数学教学参考，2006，10 7'