第05讲(t)地下水文学

'地下水水文学主讲：杜发兴教授GroundwaterHydrology电话：13886728457 第5讲 第二章地下水运动2.2包气带水运动的基本方程 2.2包气带水运动的基本方程水分特征曲线包气带水的基质势或吸力是其含水率的函数，基质势m或吸力S与含水率关系的曲线即称为水分特征曲线(图2-14)。包气带土壤水分特征曲线须由实验室测出，不同土壤质地的水分特征曲线不同(图2-14a)，即使是同一土壤由于结构不同、干容重不等，其水分特征曲线也不相同(图2-14b)。 许多实验表明，对于同一个土样，即使在其它外界条件不变的情况下，土壤在由湿变干的脱湿过程，以及由干变湿的吸湿过程所测得的水分特征曲线是不相同的，产生所谓的滞后现象(图2-15)水分特征曲线斜率的倒数(或负倒数)称为(比)容水率，即或容水率或比容水率表示单位基质势(或吸力)的变化引起的含水量变化值，它随土壤含水率或包气带水基质势m(或吸力S)而变化，可记为C()、C(m)或C(S)。 2.2包气带水运动的基本方程包气带水渗流的基本定律包气带流动的达西定律1931年，理查德(L．A．Richards)最早提出，可以将达西定律引伸应用于包气带水的运动。不过，这时的渗透系数K不再是一个常值，而是一个与包气带含水率有关的函数值，记为K=K()。因此，包气带水运动的达西定律可表示为 式中V—包气带水运动的断面平均渗透速度；K()—与包气带含水率有关的包气带渗透系数，也称导水率；l—包气带水的渗透距离；()—与包气带含水率有关的包气带水的土壤水势，=z+m；()则指相距l的两处包气带水的土壤水势差，而则为其土壤水势梯度。 在笛卡尔坐标系中，包气带水的达西公式沿三个垂直方向的表达式记为2.2包气带水运动的基本方程包气带的渗透系数因包气带水的渗透系数K是包气带含水率的函数，而包气带基质势m也是含水率的函数。因此，包气带的渗透系取K也基质势的函数，即K=K(m)。 实验证明，包气带的渗透系数随含水率的减小而降低，其原因为：①随着含水率的减小，包气带孔隙的实际过水面积将减少，因此在单位时间内通过包气带。单位断面积的水量相应减小②在包气带含水率减小的过程，较大孔隙中的水分率先排出，余下的水分必将在较小的土壤空隙中流动，其所受的阻力相应增大；③随着水分愈趋于在小孔隙中流动，其流程必然更加弯曲，从而使实际流速相应降低。非饱和状态的包气带渗透系数K()恒低于饱和状态的饱水带渗透系数K，两者的比值称之为相对渗透率Kr。其与土壤含水率的关系曲线，如图2-16 2.2包气带水运动的基本方程包气带水运动的基本微分方程边长为x、y、z；时段tP点:渗透速度=V(Vx,Vy,Vz)，水的密度=x方向两侧面的流速分别为：左侧面：右侧面：y方向两侧面的流速分别为：后侧面：前侧面： z方向两侧面的流速分别为：下侧面：上侧面：x方向两侧面的径流量(质量)：左侧面(流入)为：右侧面(流出)为：x方向质量差：流入量-流出量= y方向质量差：流入量-流出量=z方向质量差：流入量-流出量=2.2包气带水运动的基本方程 设t时刻微元体的含水率为，t时间段内的含水率变化为则t时间段内的水量变化为:根据质量守恒原理，有化简得：将包气带水运动的达西公式(即下面三式)代入上式， 可得：将=z+m代入上式，得上式为均质各向异性包气带介质中包气带水运动的基本微分方程式，也称为理查德(Richards)方程2.2包气带水运动的基本方程 2.2包气带水运动的基本方程各种形式的Richards方程以基质势m为变量的基本方程包气带渗透系数K和容水率C均可表示为含水率的函数K()和C()，也可表示为基质势m的函数K(m)和C(m)。由此，可将Richards方程的左端改写为将Richards方程中的K()用K(m)代换，得将Richards方程中的m用毛管负压水头hm代换(m=hm)，得 2.2包气带水运动的基本方程以含水率为因变量的方程取包气带渗透系数K()和容水率C()的比值，定义为包气带的扩散系数D()，即扩散系数D()的量纲为[L2T-1]，它也是含水率、基质势m或吸力S的函数。先将Richards方程写成以下形式，由扩散系数D()的定义，可得对于二维和一维只要在上述方程中降维即可。对于一维垂向流动可写为对于一维水平流动可写为 包气带水运动方程的应用 包气带水运动方程的应用 包气带水运动方程的应用 包气带水运动方程的应用 包气带水运动方程的应用 包气带水运动方程的应用 包气带水运动方程的应用 包气带水运动方程的应用 2.3地下水稳定流运动裘布依公式地下水流向井内的平面流稳定运动公式。这个公式是法国水力学家裘布依（JulesDupuit，1804～1866)在达西定律的基础上导出的。裘布依推导公式时的假定条件是：①含水层是均质、各向同性、等厚、水平的；②地下水为层流，符合达西定律，地下水运动处于稳定状态；③静水位是水平的，抽水井具有圆柱形定水头补给边界；④对于承压水，顶底板是完全隔水的，对于潜水，井边水力坡度不大于1/4，底板完全隔水 2.3地下水稳定流运动均质岩层中地下水的稳定流运动底板水平的潜水运动假设潜水流动近似水平(如下图所示)，对上式积分图2-17潜水稳定流模型Kq0含水层平均厚度h平均水力梯度I或(2-49)(2-50)根据达西公式，在x处的单宽流量q为(2-51)如果已知渗透系数K及h1、h2、l，则可由(2-50)计算出单宽流量q。(2-48)或 图2-17潜水稳定流模型Kq0如果(2-48)式的积分上限为x和h，即则得由于为稳定流，则各断面的单宽流量q相等，有整理得或(2-53)由(2-53)式，取不同的x值，可算出对应的h值，从而获得潜水位线(或浸润曲线)，它是一条抛物线。2.3地下水稳定流运动 等厚含水层承压水稳定流运动隔水底板水平、等厚的均质承压含水层，如图2-18所示，其单宽流量为图2-18承压水稳定流模型K对上式积分同样，对任一断面x，有根据稳定流定义，可得承压水头线方程它是一条直线(2-55)(2-54)(2-58)2.3地下水稳定流运动 非均质岩层中地下水的稳定流运动水平层状含水层中的渗流对于层状承压含水层(图2-19)，各层有共同的承压水位，在整个断面上的单宽流量是各层单宽流量之和，即2.3地下水稳定流运动图2-19水平层状含水层中的渗流模型 式中， 对于二元结构的含水层(双层含水层)，上层为潜水运动，下层可看作是承压水运动，则单宽流量q为2.3地下水稳定流运动图2-20二元结构含水层中的渗流模型 垂直层状含水层中的渗流根据潜水运动单宽流量计算，因为稳定流，由上两式得从而可得对于n层结构的含水层，不难导出2.3地下水稳定流运动图2-21垂直层状含水层中的渗流模型 称为等效渗透系数式中， 渗透性变化复杂含水层中的渗流根据潜水运动单宽流量公式，在这种情况下，K和h都在变化，不仿用一个函数f(H)表示Kh，则上式可写为如前，对上式积分根据中值定理，得式中f(Hm)为Kh的中值，采用算术平均值，即代入上式后，得2.3地下水稳定流运动图2-22复杂含水层中的渗流模型 2.4河渠附近地下水非稳定流运动 2.5河渠附近地下水非稳定流运动设有渠道过水，水位瞬时上升H，由此引起附近地下水位上升，如图2—26所示。假设垂直入渗或潜水蒸发＝0，并且考虑在一维流条件下，则由布氏方程化简为在给定具体的河渠水位上升条件下，可对上式进行求解图2-26河渠水位上升时的地下水流动式中，H0S=h-H0 河渠水位迅速上升时的非稳定流计算求河渠附近地下水位上升高度假设在河渠沟水位上升前，地下水位与河渠沟水位处于同一水平状态(图2—38)，则上式可改写为图2-38河渠水位上升时的地下水流动式中S—地下水位上升值或下降值(下降时取负值)初始条件(I.C.)和边界条件(B.C.)为(I.C.)(B.C.)H0S=h-H0 采用拉普拉斯变换求得式中—河渠沟补给地下水位的影响系数，它是时间t和距离x的函数，即在已知含水层的压力传导系数a，并且给定距离x和时间t，可根据上式先算出Z，由Z值查表2—5得，将代入式(2—104)即可求出S值来。表2—5是根据误差函数事先算出的。(2-104)(2-105)(2-106) 求河渠附近地下水单宽流量q有了上述公式可以求出任意时刻t，通过距离河渠x处的单宽断面的地下水流量q(x，t)，根据达西定律经变换有(2-107)将(2-108)代入(2-107)，得(2-108)ZZ (2-109)分子分母同乘以，而，把z值代入，整理得在x＝0处的地下水单宽流量(即在时刻t时河渠补给一侧地下水的流量)q0为(2-110)(2-110‘)所以q(0,t)与q(x,t)的关系为 求河渠补给地下水一侧的单宽总水量从0时刻开始到t时间内，通过河渠沟附近任一断面x处的单宽总水量为或式中G(Z)函数值见表2-6从开始到t时间，在河长取单宽条件下，从河渠的一侧，补给地下水的总量为(2-111)(2-111’)(2-112)(2-113) 河渠水位等速上升时非稳定流计算在河渠沟水位上涨速度V0是一常数的条件下，在t时间内，上升的高度H=V0t，在这种情况下，同样可以求解地下水位上升值、地下水流量等。地下水非稳定流的基本方程仍为(一)求河渠附近地下水位上升高度初始条件和边界条件为求得解为 (2-114)M(Z)为一特殊函数，可自表2—7中查得，式(2—114)表示河渠沟附近地下水位上升高度S(x,t)等于河渠水位上升高度V0t乘以河渠沟对地下水位的影响系数。 (二)求河渠沟附近地下水的渗透速度与单宽流量在t时刻，距河渠沟岸x断面处的地下水渗透速度(2-115)距岸x处的地下水单宽流量为在x＝0处，河渠沟补给地下水的单宽流量为(2-118) (三)求河渠沟补给一侧地下水的单宽总水量从开始到时间t，通过河渠沟附近x处断面的单宽总水量为可自表2-8中查得在t时间内，在x=0处，河渠沟补给地下水的单宽总水量为(2-121) 第5讲结束 图2-14 图2-15土壤水分特征曲线的滞后现象S 图2-16非饱和砂的相对渗透率Kr与土壤含水率、饱和度Sw的关系 Z '