计算水力学--第三章(4).ppt

'第三章有限差分的基本理论水文09级计算水力学教学课件 回顾Lax等价定理稳定性证明误差传播方程级数展开放大因子保证误差不放大的条件 课程内容基本概念偏导数的差商近似差分方程截断误差和相容性收敛性Lax等价定理稳定性——不同格式的稳定性分析差分方程数值效应 马斯京根法的稳定性4FTFS格式的稳定性2蛙跳格式的稳定性33FTCS格式的稳定性31§7.稳定性—不同格式的稳定性分析 FTCS格式误差传递方程：FTCS格式的稳定性31ijj+1i+1i-1 放大因子GFTCS格式的稳定性31 FTFS格式误差传递方程：FTFS格式的稳定性2ijj+1i+1 放大因子GFTFS格式的稳定性2 蛙跳格式误差传递方程：蛙跳格式的稳定性33i-1j-1j+1i+1ij 蛙跳格式的稳定性33放大因子|G| 所以此格式稳定性条件为：蛙跳格式的稳定性33(G1,2)2|G1,2| 马斯京根法马斯京根法的稳定性4误差传递方程： 马斯京根法的稳定性4放大因子|G|2∴格式稳定性条件为： 稳定性FTBS格式FTCS格式：无法收敛，不稳定格式FTFS格式：-1≤η≤0蛙跳格式：-1≤η≤-1马斯京根法格式：η>0时：Θ≤0.5FTBS格式：0≤η≤1η<0时：Θ≥0.5 §8.差分方程数值效应物理耗散与弥散1混淆误差3数值耗散与弥散32“逆风”效应34 §8.差分方程数值效应—物理耗散与弥散洪水波传播平移坦化变形 §8.差分方程数值效应—物理耗散与弥散洪水波传播平移坦化变形 §8.差分方程数值效应—物理耗散与弥散洪水波传播平移坦化变形 坦化变形在一固定位置，时间相差一个周期T，其波高相等§8.差分方程数值效应—物理耗散与弥散弥散是指波的相速度C随波数发生变化的现象。物理耗散是指波幅A因阻尼作用而衰减的现象。 1、无耗散和色散的模型§8.差分方程数值效应—物理耗散与弥散解析解：无衰减、无弥散的物理现象。波幅不衰减，相速度不变 §8.差分方程数值效应—物理耗散与弥散2、有耗散的模型分别为二阶、四阶耗散系数解析解：波幅衰减，相速度不变有衰减、无弥散的物理现象。 §8.差分方程数值效应—物理耗散与弥散3、有弥散的模型分别为三阶、五阶弥散系数解析解：波幅不衰减，相速度变化无衰减、有弥散的物理现象。 用差分方程逼近微分方程时引入了误差，有时这些误差项使计算结果的幅值衰减和相速度发生变化，其作用相当于流动中的物理耗散和弥散，这种虚假的物理效应称作数值耗散和数值弥散。§8.差分方程数值效应—数值耗散与弥散 考察方程右端项>1阶偏导数偶次方奇次方有耗散有弥散§8.差分方程数值效应—数值耗散与弥散 §8.差分方程数值效应—数值耗散与弥散例对流方程描述的是既无耗散又无弥散的流体运动A物理效应B数值效应—伪物理效应物理耗散物理弥散数值耗散数值弥散 §8.差分方程数值效应—数值耗散与弥散FTBS格式的等价方程FTFS格式的等价方程FTCS格式的等价方程耗散为主耗散为主不稳定 §8.差分方程数值效应—数值耗散与弥散蛙跳格式的等价方程弥散为主马斯京根法的等价方程耗散为主不稳定弥散为主 §8.差分方程数值效应—混淆误差fj-1jj+1x 考虑可辨认的短波。如λ＝4Δx，则kΔx＝2πΔx/λ=π/2，衰减比为r=2/π，这时差商带来了很大的误差。对于和空间步长Δx接近的短波，差商无法近似导数。§8.差分方程数值效应—混淆误差 物质的对流输运出现了与波速相反方向传播的不合理现象，称为“逆风”效应，是一伪物理现象的数值效应。§8.差分方程数值效应—“逆风”效应“逆风”效应FTCS格式对流方程 假定在某瞬时j在某一断面k处引入某一物理量u＝1，η＝1§8.差分方程数值效应—“逆风”效应FTCS格式 物理量向上、向下游两个方向传播，出现了与波速相反方向传播的不合理现象，称之为“逆风”效应。§8.差分方程数值效应—“逆风”效应采用何种格式还与波速的方向有关，例如潮水河道，则可以采用“逆风”格式“逆风”格式 差分、差商、差分方程截断误差和离散误差相容性、收敛性和稳定性LAX等价定理差分方程的数值效应逆风效应与逆风格式本章要点 本堂课内容放映结束ThankYou!'