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'22水静力学水静力学的任务：研究液体平衡规律及其实际应用。液体的平衡状态有两种：静止、相对平衡注意：液体在平衡状态下没有内摩擦力，此时理想液体和实际液体一样。 2.1静水压强及其特性1静水压力与静水压强 22.1静水压强及其特性静水压力：静止（或相对平衡）液体作用在与之接触的表面上的水压力称为静水压力，常以字母P(或Fp)表示。静水压强：取微小面积，令作用于的静水压力为，则面上单位面积所受的平均静水压力为静水压强静水压力P的单位：牛顿（N）；静水压强p的单位：牛顿／米2（N／m2）、帕斯卡（Pa）工程单位制中，压强常用Kgf/cm2(公斤力/cm2) 2.1静水压强及其特性两个重要特性：1．方向垂直指向受压面2静水压强特性 2.1静水压强及其特性两个重要特性：2．任一点大小和受压面方向无关，或同一点上各方向的静水压强大小相等。2静水压强特性(a)(b)p=p(x,y,z) 2.1静水压强及其特性2静水压强特性特性2证明：为作用在O`DB面上的静水压力；为作用在O`DC面上的静水压力；为作用在O`BC面上的静水压力；为作用在DBC面上的静水压力； 2.1静水压强及其特性2静水压强特性特性2证明：四面体体积：四面体质量：设x单位质量力为fx则总质量力F在x方向投影为：考虑x方向力的平衡问题：设分别表示O’DB、DBC的面积，有：平衡式除以有：类似可证：即： 2.2液体的平衡微分方程式及其积分1液体平衡微分方程式:是表征液体处于平衡状态下，作用于液体上各种力之间的关系式。取平行六面体如图： 2.2液体的平衡微分方程式及其积分表面力X方向：静水压力各为及质量力X方向：则X方向：－＋＝0以除上式各项并化简后为： 2.2液体的平衡微分方程式及其积分同理，对于Y、Z方向可推出类似结果，从而得到欧拉平衡微分方程(组):(1775，Euler，微分方程一般式)该式的物理意义为：平衡液体中，静水压强沿某一方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。 2.2液体的平衡微分方程式及其积分2欧拉微分方程积分式、综合式将欧拉平衡微分方程式各式分别乘以dx，dy，dz然后相加得（微分方程综合式）：或者：（微分方程积分式） 3等压面等压面：均质连通液体中，压强各点相等的点构成的面称为等压面。等压面性质（证明见书，略）：1、等压面是等势面（重力、惯性力等质量力称为有势力。有势力做功与路径无关，仅与起点和终点有关。）2、等压面与质量力正交注意:静止液体质量力仅为重力时，等压面必定是水平面，也即等压面应是处处和地心引力成正交的曲面;平衡液体与大气相接触的自由表面为等压面；不同流体的交界面也是等压面。2.2液体的平衡微分方程式及其积分 2.2液体的平衡微分方程式及其积分 2.3重力作用下静水压强分布规律实际工程中，作用于平衡液体上的质量力常常只有重力，即所谓静止液体。1、静水力学基本方程 2.3重力作用下静水压强分布规律 2.3重力作用下静水压强分布规律 2绝对压强、相对压强、真空值绝对压强p’设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强，称为绝对压强。总是正的。相对压强p把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。可正可负。以表示绝对压强，p表示相对压强，表示当地的大气压强。则有2.3重力作用下静水压强分布规律 2.3重力作用下静水压强分布规律 真空及真空度绝对压强总是正值，相对压强可正可负。相对压强为负值时，则称该点存在真空。真空度（值）是指该点绝对压强小于当地大气压强的数值。pk=pa－p’说明：关于真空值（一般pk）或真空度(一般pk/γ)概念：由于压强的三种度量方法，二者区别并不明显。有人认为真空度来自真空高度，因此真空度更多用液柱高度表示。2.3重力作用下静水压强分布规律 几个基本数据：1标准大气压=760mmHg柱=1.01325×105Pa1工程大气压=1kgf/cm2=10mH2O柱=736mmHg柱=9.8×104Pa1标准大气压=1.033工程大气压关于大气压强的数值使用建议：如果题目中有标准大气压或工程大气压单位的已知量（不考虑涉及换算的题目），其它待求量计算与此一致；如果没有这样的数据，采用标准大气压或工程大气压均可，以解题方便为准，许多时候采用工程大气压计算比较方便。2.3重力作用下静水压强分布规律 标准大气压被定义为101.325KPa，记作1atm。1标准大气压=760毫米汞柱=10.336米水柱。大气压不是固定不变的。1954年第十届国际计量大会上规定了一个“标准”：在纬度45°的海平面上，当温度为0℃时，760毫米高水银柱产生的压强叫做标准大气压。既然是“标准”，在根据液体压强公式计算时就要注意各物理量取值的准确性。从有关资料上查得：0℃时水银的密度为13.595×103kg／m3，纬度45°的海平面上的g值为9.80672m／s2。于是可得760毫米高水银柱产生的压强为p水银=ρ水银gh=13.595×103kg／m3×9.80672m／s2×0.76m=1.01325×105帕。这就是1标准大气压的值，记为1atm。2.3重力作用下静水压强分布规律 例：一封闭水箱（见图），自由面上气体压强为85kN/m2，求液面下淹没深度h为1m处点C的绝对静水压强、相对静水压强和真空度。解：C点绝对静水压强为C点的相对静水压强为相对压强为负值，说明C点存在真空。真空度为2.3重力作用下静水压强分布规律 例：情况同上例，试问当C点相对压强p为9.8kN/m2时，C点在自由面下的淹没深度h为多少？解：相对静水压强：代入已知值后可算得2.3重力作用下静水压强分布规律 例：如图，一封闭水箱，其自由面上气体压强为25kN/m2，试问水箱中A、B两点的静水压强何处为大？已知h1为5m，h2为2m。解：A、B两点的绝对静水压强分别为故A点静水压强比B点大。实际上本题不必计算也可得出此结论（因淹没深度大的点，其压强必大）。2.3重力作用下静水压强分布规律 例:如图，有一底部水平侧壁倾斜之油槽，侧壁倾角为300，被油淹没部分壁长L为6m，自由面上的压强，油的密度为816.3kg/m3，问槽底板上压强为多少？解：槽底板为水平面为等压面，底板上各处压强相等。底板在液面下的淹没深度h=Lsin30°=6×1/2=3(m)。底板绝对压强：底板相对压强：因为底板外侧也同样受到大气压强的作用，故底板上的实际荷载只有相对压强部份。2.3重力作用下静水压强分布规律 例：如图，一开口水箱，自由表面上的当地大气压强为98kN/m2，在水箱右下侧连接一根封闭的测压管，今用抽气机将管中气体抽净（即为绝对真空），求测压管水面比水箱水面高出的h值为多少？解：因水箱和测压管内是互相连通的同种液体，故和水箱自由表面同高程的测压管内N点，应与自由表面位于同一等压面上，其压强应等于自由表面上的大气压强，即。从测压管来考虑因（）故2.3重力作用下静水压强分布规律 4、压强测量与测压管若欲测容器中A点的液体压强，可在容器上设置一开口细管。则A、B点位于同一等压面，两点压强相等。式中h称为测压管高度或压强高度。测量液体（或气体）压强的仪器很多，这里只是介绍一些利用静水力学原理设计的液体测压计。2.3重力作用下静水压强分布规律 当A点压强较小时：1.增大测压管标尺读数，提高测量精度。2.在测压管中放入轻质液体（如油）。3.把测压管倾斜放置（见后图）。A点的相对压强为当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改用U形水银测压计。2.3重力作用下静水压强分布规律 (a)(b)2.3重力作用下静水压强分布规律 U形水银测压计在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。对测压计右支对测压计左支A点的绝对压强A点的相对压强式中，与分别为水和水银的密度。2.3重力作用下静水压强分布规律 差压计差压计是直接测量两点压强差装置。若左、右两容器内各盛一种介质，其密度分别为和。因c-c面是等压面，于是2.3重力作用下静水压强分布规律 若被测点A，B之压差甚小，为了提高测量精度，可将U形测压计倒装，并在U形管中注入不与容器中介质相混合的轻质液体。则A、B两点间压差计算公式。当时当时2.3重力作用下静水压强分布规律 5、压强的三种度量方法①单位面积上的应力：国际单位制：Pa（帕）、kPa、MPa等工程单位制：kgf/cm2（公斤力/厘米2）、t/m2（吨/米2）CGS制（厘米克秒制）：达因/厘米2（微巴μbar）、毫巴（mbar）、巴（bar）②大气压（标准大气压、工程大气压）③液柱高度（汞或水等）2.3重力作用下静水压强分布规律 压强的液柱表示法（见前，此处略）水头和单位势能在静水压强的基本方程式中：z：位置高度、位置水头、单位位能：测压管高度、压强水头、单位压能：测压管水头、单位总势能。静止液体中的能量守恒定律：单位重量液体所具有的位能。=单位重量液体所具有的压能。单位重量液体所具有的势能，等势体2.3重力作用下静水压强分布规律 例若已知抽水机吸水管中某点绝对压强为80kN/m2，试将该点绝对压强、相对压强和真空度用水柱及水银柱表示出来（已知当地大气压强为）。解：绝对压强或为水柱或为水银柱相对压强或为水柱，或为水银柱真空度或为1.84mm水柱，或为135mm水银柱2.3重力作用下静水压强分布规律 6、静水压强分布图几种情况下静水压强分布图2.3重力作用下静水压强分布规律 几种情况下静水压强分布图2.3重力作用下静水压强分布规律 2.5几种质量力同时作用下的液体平衡相对平衡：液体质点之间及液体与器皿之间无相对运动。方便的研究方法是达兰贝尔原理，即把坐标取在运动器皿上，液体相对坐标是静止的。这样便可以作为静止问题来研究。这样处理问题时候，质量力除重力外，还有惯性力。而惯性力计算方法是：先求出某质点相对地球的加速度，将其反号乘以该质点的质量。 2.5几种质量力同时作用下的液体平衡 2.5几种质量力同时作用下的液体平衡 2.5几种质量力同时作用下的液体平衡5.2等角速旋转器皿中液体的相对平衡z0 2.5几种质量力同时作用下的液体平衡 2.5几种质量力同时作用下的液体平衡 2.5几种质量力同时作用下的液体平衡 2.5几种质量力同时作用下的液体平衡 2.5几种质量力同时作用下的液体平衡直线等加速器皿中液体的相对平衡等角速旋转器皿中液体的相对平衡1压强服从静水力学基本方程压强服从静水力学基本方程2等压面为与液面平行的斜面等压面为绕中心轴的一簇旋转抛物面3测压管水头在x固定时才是等值的测压管水头在r固定时才是等值的该节主要掌握下面三点就可以了： 2.5几种质量力同时作用下的液体平衡例题1.1内半径为R,原水深为H,求以角速度ω旋转时最高值zw与最低水深z0。Hzs解：自由液面方程1.24为取zs=zw有由几何学知：旋转抛物体体积等于同底等高圆柱体体积一半。按旋转后体积不变，有Zw柱体积-（zw-z0）高空体体积=水体积上式表明：边壁处水深比静止时上升了代入Z0为 1.9作用于平面上的静水总压力静力奇象h桶内底面压强相同，面积同，底面静水压力同但桶对桌面压力不同 1.9作用于平面上的静水总压力1.9.1作用在矩形平面上的静水总压力（限于矩形一边与液面平行情况，压力图（体积）法）1)．绘制压强分布图：(1)按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的大小。(2)用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂直。(3)两侧有液体作用时，应抵消画出。 1.9作用于平面上的静水总压力1.9.1作用在矩形平面上的静水总压力（限于矩形一边与液面平行情况，压强分布图（体积）法，几何法）2．)计算总压力：大小等于平均压强乘以矩形面积Ω(1)压强分布图为三角形时平均压强为总压力为(2)压强分布图为梯形时平均压强为总压力为即：总压力大小等于压强分布图体积 1.9作用于平面上的静水总压力1.9.1作用在矩形平面上的静水总压力（限于矩形一边与液面平行情况，压强分布图（体积）法）3．)总压力作用点(1)压强分布图为三角形时作用点距底边e为(2)压强分布图为梯形时作用点距底边e为总压力作用点通过压强分布图的形心。 1.9作用于平面上的静水总压力1.9.2作用在任意平面上的静水总压力（公式法、解析法）形心C作用点D倾角α 任意平面形状静水总压力大小等于受压面积A与形心处压强pc（可理解为平均压强）乘积。1）．总压力的大小作用在围绕点M的微分面积dA的静水压力整个平面EF上的静水总压力为：而（平面EF对Ob轴的面积矩）为形心点C淹没深度，为形心静水压强。1.9作用于平面上的静水总压力 2）．总压力的作用点合力矩定理（合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和），对Ob轴取力矩令则有（惯性矩平移定理）于是有1.9作用于平面上的静水总压力 1.9作用于平面上的静水总压力由此看出，即总压力作用点D在平面形心C之下。再将静水压力对OL轴取矩：令可得只要求出LD及bD，则压力中心D的位置即可确定。（一般对纵向对称问题不计算bD） 1.9作用于平面上的静水总压力已知惯性矩时计算：*：LD、LC均为从水面算起的斜距LD算法1(建议)： 1.9作用于平面上的静水总压力*当闸门为铅垂置放时，，此时L1为h1，为**对等腰三角形平面，相当于等腰梯形平面中令b＝0的情况。LD算法2： 1.9作用于平面上的静水总压力例1-9某泄洪隧洞，在进口倾斜设置一矩形平板闸门（见图），倾角为600，门宽b为4m，门长L为6m，门顶在水面下淹没深度h1为10m，若不计闸门自重时，问沿斜面拖动闸门所需的拉力T为多少（已知闸门与门槽之间摩擦系数f为0.25）？门上静水总压力的作用点在哪里？ 1.9作用于平面上的静水总压力解：当不计门重时，拖动门的拉力至少需克服闸门与门槽间的摩擦力，故FT＝。（1）用压强分布图法计算首先画出闸门AB上静水压强分布图。门顶处静水压强为门底处静水压强为压强分布图为梯形，静水总压力 1.9作用于平面上的静水总压力总压力P距水面的斜距（2）用解析法计算FP及 1.9作用于平面上的静水总压力求P的作用点距水面的斜距对矩形平面，绕形心轴的面积惯矩为可见，采用上述两种方法计算其结果完全相同。3）FT 1.9作用于平面上的静水总压力例1-10一垂直放置的圆形平板闸门（见图），已知闸门半径R为1m，形心在水下的淹没深度hC为8m，求作用于闸门上静水总压力的大小及作用点位置。 解：计算总压力作用点D应位于纵向对称轴上，故仅需求出D点在纵向对称轴上的位置。在本题情况下，，。故圆形平面绕圆心轴线的面积惯矩。则1.9作用于平面上的静水总压力 1.10作用于曲面上的静水总压力(二向曲面)在水利工程上常遇到受压面为曲面的情况，如拱坝坝面、弧形闸墩或边墩、弧形闸门等等。 1.10作用于曲面上的静水总压力作用于曲面上任意点的相对的静水压强，其大小仍等于该点的淹没深度乘以液体的单位体积的重量，起方向也是垂直指向作用面的．这里着重分析二向曲面的静水总压力计算如图：α 1.10.1静水总压力的水平分力取微元面积dA，作用于面上的静水压力为dFp，dFp在水平方向上的分力为则有上式表明作用在曲面上静水总压力FP的水平分分力，等于曲面在平面上的投影面上的静水总压力。很明显，水平分力的作用线应通过平面的压力中心。 1.10.2静水总压力的垂直分力静水压力dP沿铅垂方向的分力为则合力而所以V：称为压力体。作用于曲面上静水总压力的垂直分力，等于压力体内的水体重。垂直分力的作用线，应通过压力体的体积形心。 压力体组成：（压力体中不一定装满液体。）1．受压曲面本身；2．液面或液面的延长面；3．通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面。的方向：当液体和压力体位于曲面的同侧时，向下（实压力体）；当液体及压力体各在曲面之一侧时，向上（虚压力体）。当曲面为凹凸相间的复杂柱面时，可在曲面与铅垂面相切处将曲面分开，分别绘出各部分的压力体。 a实压力体AA虚压力体方向判断二：以曲面为界，压力体与水体方向判断一：根据曲面受静水压力方向同侧：实压力体，向下；异侧：虚压力体，向上。PP 复杂曲面压力体画法以切点C为界，分别投影，再合成. 两侧均有水：ABAB 1.10.3静水总压力由二力合成定理，曲面所受静水总压力的大小为特别地，当曲面是圆柱或球面的一部分时，总压力是汇交力系的合成，总压力必然通过圆心或球心。 例1-11韶山灌区引水枢纽泄洪闸共装5孔弧形闸门，每孔门宽b为10m，弧门半径R为12m，其余尺寸见图。试求当上游为正常引水位66.50m、闸门关闭情况下，作用于一孔弧形门上静水总力大小及方向。思：本题画压力体（放大细节画） 解：（1）首先求水平分力（2）求垂直分力如图所示，压力体的侧面积为弓形面积EGF＋三角形面积EFL 其中，弓形面积EGF＝弦长故弓形面积EGF＝＝6.24m2 三角形面积EFL＝故三角面积则因压力体与液体分别位于曲面之一侧，故的方向向上。总压力总压力与水平方向的夹角为，，则。因各点压强均垂直于柱面并通过圆心，故总压力也必通过圆心O点。 例1-12有一薄壁金属压力管，管中受均匀水压力作用，其压强为P，管内径为D，当管壁允许拉应力为[]时，求管壁厚为多少?(不考虑由于管道自重和水重而产生的应力)。 解：因水管在内水压力作用下，管壁将受到拉应力，此时外荷载为水管内壁（曲面）上的水压力。为了分析水管内力与外荷载的关系，沿管轴方向取单位长度的管段，从直径方向剖开，在该剖面上管壁所受总内力为2F，并且式中，为管壁上的拉应力。 令P为作用于曲面内壁上总压力沿内力方向的分力，由曲面总压力水平分力计算公式外荷载与总内力应相等：若令管壁所受拉应力恰好等于其允许拉应力[]，则所需要的管壁厚度为。 1.11作用于物体上的静水总压力，潜体与浮体的平衡及其稳定性本节了解 1-11作用于物体上的静水总压力，潜体与浮体的平衡及其稳定性一、作用于物体上的静水总压力——阿基米德原理当物体淹没于静止液体之中时，作用于物体上的静水总压力，等于该物体表面上所受静水压力的总和。 二、物体在静止液体中的浮沉若物体在空气中的自重为G，其体积为V，当物体全部浸没于水中时。则G＞时，沉体。G＜时，浮体。G＝时，潜体。 三、潜体的平衡及其稳定性潜体的平衡：是指潜体在水中既不发生上浮或下沉，也不发生转动的平衡状态。潜体在有浮力及重力作用下保持平衡的条件是：1．作用于潜体上的浮力和重力相等，即G＝。2．重力和浮力对任意点的力矩代数和为零。潜体平衡的稳定条件是要使重心位于浮心之下。潜体的重心与浮心重合时，潜体处于任何位置都是平衡的，此种平衡状态称为随遇平衡。 (a)(b)(c)物体重心为C点，浮心为D点。 (a)(b)物体重心为C点，浮心为D点。 四、浮体的平衡及其稳定性浮体的平衡条件和潜体一样。浮体平衡的稳定条件为定倾中心要高于重心，或者说，定倾半径大于偏心距。 本章小结一、概念1.静水压强2、等压面：均质连通液体中，压强各点相等的点构成的面称为等压面。（等压面二性质：等压面是等势面，等压面与质量力正交）3、各项含义 在静水压强的基本方程式中：z：位置高度、位置水头、单位位能：测压管高度、压强水头、单位压能：测压管水头、单位总势能。静止液体中的能量守恒定律：单位重量液体所具有的位能。=单位重量液体所具有的压能。单位重量液体所具有的势能，等势体本章小结 本章小结二、问题 本章小结二、问题 本章小结二、问题 本章小结二、问题 本章小结二、问题力计算三要素：大小方向作用点 本章小结二、问题9、二向曲面（柱面）静水压力计算、压力体的绘制α 本章小结二、问题9、二向曲面（柱面）静水压力计算、压力体的绘制 谢谢！敬请指正！'