水力学吴持恭第四版课件2-水静力学.ppt

'第二章水静力学§2-1静水压强及其特性§2-2液体的平衡微分方程§2-3重力作用下静水压强的分布规律§2-4测量压强的仪器§2-5重力和惯性力联合作用下液体的相对平衡§2-6作用在平面壁上的静水总压力§2-7作用在曲面壁上的静水总压力第二章水静力学 一、压强的定义：单位面积上所受的压力公式二、静水压强的特性第一特性：静水压强垂直于作用面，并指向作用面。APpADD=®D0lim平均压强点压强单位：N/m2（Pa）§2-1静水压强及其特性 证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体ⅠⅡPnPτPNNAB静水压强的方向与作用面的内法线方向重合，静水压强是一种压应力第二章水静力学 第二特性：某一点静水压强的大小与作用面的方位无关。第二章水静力学图静水压强方向示意hpcpcpccc Ap1=p2 任一点静水压强大小与受压面方向无关证明?pypxpz如果能证明，任意点在三个方向的压强相等即可 7OxyzΔzΔxΔypzΔxΔy12pnΔAnpxΔyΔz12pyΔxΔz12从静止液体中任取一微元四面体，考虑其受力平衡 8ΔPy＝左侧面压力OxyzΔzΔxΔypzΔxΔy12pnΔAnpxΔyΔz12pyΔxΔz12ΔPn＝斜面压力ΔPx＝后侧面压力ΔPz＝底面压力 四面体的体积DV为6yxDV·D·D=1zD总质量力在三个坐标方向的投影为DPyPzABCPnYXZOPx6zyFx·D·D=1xD·X16zyFy·D·D=xD·Y6zyFz·D·D=1xD·Z第二章水静力学 10考虑四面体在三个坐标方向的力平衡，则式中，:斜面法线与三个坐标方向的夹角OxyzΔzΔxΔyn第一式中zypnD·D·=21xnAxnpPnn·D·=),cos(),cos( 0),cos(=+-FPPxnxxn代入第一式则：整理后,有当四面体无限缩小到A点时，xD0因此：pnpx=同理，我们可以推出：pnpy=pnpz=和DPyPzABCPnYXZOPx第二章水静力学 这样我们可以得到：pypx=pnpz==上式表明任一点的静水压强p是各向等值的，与作用面的方位无关。第二特性得到证明DPyPzABCPnYXZOPx第二章水静力学 第二特性：某一点静水压强的大小与作用面的方位无关。PyPzPxABCDPnYXZOyxz第二章水静力学 pnsPn·D=pzyxPz·D·D=21pyxzPy·D·D=212pxzyPx·D·D=1相应面上的总压力为DPyPzABCPnYXZOPx第二章水静力学 四面体的体积DV为6yxDV·D·D=1zD总质量力在三个坐标方向的投影为DPyPzABCPnYXZOPx6zyFx·D·D=1xD·X16zyFy·D·D=xD·Y6zyFz·D·D=1xD·Z第二章水静力学 按照平衡条件，所有作用于微小四面体上的外力在各坐标轴上投影的代数和应分别为零第一式中zypnD·D·=21xnsxnpPnn·D·=),cos(),cos(DPyPzABCPnYXZOPx第二章水静力学 0),cos(=+-FPPxnxxn代入第一式则：整理后,有当四面体无限缩小到A点时，xD0因此：pnpx=同理，我们可以推出：pnpy=pnpz=和DPyPzABCPnYXZOPx第二章水静力学 这样我们可以得到：pypx=pnpz==上式表明任一点的静水压强p是各向等值的，与作用面的方位无关。第二特性得到证明DPyPzABCPnYXZOPx第二章水静力学 §2-2液体的平衡微分方程及其积分第二章水静力学液体处于平衡状态时，作用于液体上的各种力及其坐标间的微分关系 dxdydzYXZOA(x,y,z)NM第二章水静力学在平衡液体中，取一块平行六面微元体（其他形状也可，但六面体方便） §2-2液体的平衡微分方程及其积分dxdydzYXZOA(x,y,z)NM第二章水静力学 dxdydzYXZOA(x,y,z)NMA点的压强为一函数p（x,y,z)泰勒级数展开式为：运用泰勒级数将p(x,y,z)展开，并忽略二阶以上微量M点的压强？坐标第二章水静力学 N点压强为：dxxppxpdxPpN¶¶+=¶¶+=212则：M点压强为：dxdydzYXZOA(x,y,z)NM六面体左右两面的表面力为：dydzdxxppdydzdxxpp)21()21(¶¶+¶¶-第二章水静力学 dxdydzYXZOA(x,y,z)NM另外作用在微小六面体上的质量力在X轴向的分量为：dxdydzXr·根据平衡条件上述各力在X轴上的投影应为零，即：dydzdxxpp)21(¶¶-dydzdxxpp)21(¶¶+-dxdydzXr·+0=整理得：01=¶¶-xpXr同理，在x,y方向上可得：第二章水静力学 dxdydzYXZOA(x,y,z)NM上式为液体平衡微分方程。它表明：液体处于平衡状态时，对于单位质量液体来说，质量力分量（X，Y，Z）和表面力的分量1¶¶xpr1¶¶ypr1¶¶zpr（）是对应相等的。又称欧拉平衡微分方程01=¶¶-zpZr01=¶¶-ypYr01=¶¶-xXrp第二章水静力学 p01=¶¶-zZrp01=¶¶-yYr将01=¶¶-xXrp依次乘以dx,dy,dz后相加得：ZdzYdyXdxdzzpdyypdxxp++=¶¶+¶¶+¶¶)(1rdzzpdyypdxxp¶¶+¶¶+¶¶)(因为是P(x,y,z)的全微分改写成全微分的形式就是液体平衡微分方程就是说，静水压强的的分布规律完全是由单位质量力决定的。第二章水静力学 由于密度r可视为常数，也是函数U（x,y,z)的全微分即：则函数U（x,y,z)的全微分为：由此得：满足上式的函数U（x,y,z)称为力函数或力的势函数，具有这种势函数的质量力称为有势的力。由此可见：液体只在有势的质量力作用下才能平衡)ZdzYdy（Xdx++式子第二章水静力学 等压面：液体中各点压强相等的面。在等压面上p=常数，即dp=ρdU=0，而ρ≠0故dU=0即U=常数，等压面即等势面。等压面的重要特性：等压面恒与质量力正交。证明之在等压面上式中dx、dy、dz可设想为液体质点在等压面上的任意微小位移ds在相应坐标轴上的投影。质量力作的微功为零，而质量力和ds都不为零，所以等压面与质量力必然正交。第二章水静力学 §2-3重力作用下静水压强的分布规律一、水静力学基本方程重力在坐标轴上的投影分别为：X=0、Y=0、Z=-g代入液体平衡方程得YZP0X0积分得：或第二章水静力学 即为重力作用下的水静力学基本方程式上式表明：YZP0X0在静止液体中，任何一点的（）总是一个常数，对液体内任意两点，上式可写成：在液体自由表面上，代入得：因此：公式可写成：第二章水静力学 对于液体中各点来说，一般用各点在液面以下的深度代替,因此将代入上式得：静水全压强上式即为水静力学基本方程式的另一种形式它说明：1、在静止的液体中，压强随深度线性规律变化2、静止液体中任一点的压强等于表面压强与从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量之和。应用上式，便可以求出静止液体中任一点的静水压强第二章水静力学 二、压强的表示方法和单位1、压强的表示方法：⑴绝对压强：数值是以“完全真空”为零（基准）算起的。用Pabs表示。⑵相对压强：在实际工作中，一般建筑物表面均作用着大气压强，这种以当地大气压强为零算起的压强为相对压强。用P表示。也称为静水全压强也叫计算压强或称表压，用公式表示：如果自由表面压强与当地大气压强相等则也称静水超压强或重量压强第二章水静力学 绝对压强永远为正值，最小值为零。相对压强可正可负，当PabsPa绝对压强相对压强的负值（真空）Pabs相对压强PaPabs第二章水静力学 2、压强的单位⑴、应力表示。如：牛顿/米2（N/m2)；千牛顿/米2(KN/m2);等。⑵、工程大气压表示。如：一个工程大气压=98KN/m2=9.8N/cm2=9.8×104Pa⑶、用液柱高度表示。可写成对于任一点的静水压强可以用上式化为对任何一种容重为的液柱高度。如：水柱、汞柱等第二章水静力学 三、静水压强的图示1、方法由压强与水深成线性关系。因而，在任一平面的作用面上，其压强分布为一直线。只要算出作用面最上和最下两个点的压强后，即可定出整个压强的分布线。2、原则⑴、每一点处的压强垂直于该点处的作用面。⑵、静水压强的大小随着距自由面的深度而增加另外：对实际工程有用的是相对压强的图示。如欲绘制绝对压强分布图，则将常量附加上即可。第二章水静力学 例1BADhCABC即为相对压强分布图ABED即为绝对压强分布图例2BAh1h2叠加后余下的红色梯形区域即为静水压强分布图E第二章水静力学 例3为一折面的静水压强分布图h2h1CABh1h2DE作用于平面AC例4为两种和的液体先做再做则ADEC即为所求压强分布图第二章水静力学 例5h右图为一弧形闸门各点的压强只能逐点计算，且沿半径方向指向圆弧的圆心。注：只是要把静水压强的箭头倒转过来即可，并且负的静水压强上大下小，也可以把相对压强改成绝对压强再按上述方法绘制以上讨论的是P>0的例子对于P<0的情况，可同样绘制。第二章水静力学 四、测压管高度，测压管水头及真空度P0一个密闭容器，P0>PahAPaZA则：在水力学中，hA高度即为测压管高度。这种测量压强的管子叫测压管。在容器内有在右管中有因此所以：测压管高度hA表示A点的的相对压强（计算压强）Ah第二章水静力学 若P0