水力学第二章

'水力学主讲教师：杨庆、张陵蕾2014年9～12月 FP，p，p的特性Euler平衡微分方程：静水压强与单位质量力的关系、静水压强与力势函数的关系帕斯卡定律（巴斯加原理）等压面的概念与性质仅有重力作用水体静水压强计算的基本公式pa，p，p´，pkp´=pa+p，pk=pa-p´测压管原理哪些面是等压面？标准大气压、工程大气压、水柱高度、水银柱高度98kPa=1个工程大气压=10m水柱=736mm水银柱静水压强计算公式，几何意义，能量意义1章内容简要回顾 静水压力、静水压强分布图作用在平面上的静水总压力的大小、方向及作用点作用在二向曲面上的静水总压力？作用在二向曲面上的静水总压力的水平分力的大小、方向与作用线？作用在二向曲面上的静水总压力的垂直分力的大小、方向与作用线？压力体的边界组成作用在二向曲面上的静水总压力的大小、方向、作用线1章内容简要回顾 2液体运动的流束理论 了解描述流体运动的两种方法；理解流动类型和流束与总流等相关概念；掌握总流连续性方程、能量方程和动量方程及其应用。本章学习基本要求 前言实际工程中经常遇到运动状态的液体。液体的运动特性可用流速、加速度等一些物理量，即运动要素来表示。水动力学研究运动要素随时空的变化情况，建立它们之间的关系式，并用这些关系式解决工程上的问题。液体做机械运动遵循物理学及力学中的质量守恒定律、能量守恒定律及动量定律。建立液体运动的基本概念依据流束理论建立方程从质量守恒定律出发建立水流的连续性方程从能量守恒出发建立水流的能量方程从动量定律出发建立水流的动量方程 2.1描述液体运动的两种方法2.2液体运动的一些基本概念2.3恒定总流的连续性方程2.4恒定总流的能量方程2.5恒定总流的动量方程2.6量纲分析与π定理目录 2.1.1拉格朗日法拉格朗日法以研究个别液体质点的运动为基础，通过对每个液体质点运动规律的研究来获得整个液体运动的规律性。所以这种方法又称质点系法。液体质点是指具有无限小的体积的液体质量，既不是液体分子，也不同于数学上的空间点（数学空间点既无大小也无质量）。液体质点相对于所研究的宏观运动而言小得类似一个点，但包含有众多液体分子。2.1描述液体运动的两种方法 运动轨迹质点速度令质点M在t0时刻的空间坐标为(a,b,c)，任意时刻t的空间坐标为(x,y,z)，则有：同理可得出质点运动的加速度。由于液体的易变形性，每个液体质点的运动要素都随时间连续变化，且与相邻质点有关。因此，用拉格朗日坐标描述液体质点群运动的数学方程将非常复杂，以致无法求解。使得这一方法的应用受到很大限制。 2.1.2欧拉法欧拉法是以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫做流场法。欧拉法着眼于空间点，将液体运动要素表示为空间位置和时间的连续函数。令任意时刻t任意空间点(x,y,z)上液体质点的流速为ux,uy,uz，则有：2.1描述液体运动的两种方法 若令t为常数，x，y，z为变数，则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的液体质点的流速的分布情况（即流速场）。若令上式中x，y，z为常数，t为变数，即可求得在某一固定空间点上液体质点在不同时刻通过该点的流速的变化情况。同一液体质点，经过时间dt从某一空间点移动到另一点，质点的流速和空间位置(x,y,z)都是时间t的函数其它运动要素也可类似地表示为空间坐标和时间的函数。 2.1描述液体运动的两种方法拉格朗日法欧拉法着眼点流体质点设法描述每一个液体质点自始至终的运动过程空间点设法描述每一个空间点上液体质点运动随时间变化的规律数学方程及求解加速度是二阶导数运动方程是二阶偏微分方程组（还需考虑与相邻质点的关系）加速度是一阶导数运动方程是一阶偏微分方程组液体运动要素测量需求追踪液体质点运动轨迹测量固定空间点液体质点运动状况 恒定流流场中任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变。任意空间点上，无论哪个液体质点通过，其运动要素均不变。运动要素仅仅是空间坐标的连续函数，而与时间无关。非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是随时间而变化的。2.2液体运动的一些基本概念2.2.1恒定流与非恒定流 恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数应等于零：水位不变 天然河流中的洪水，是典型的非恒定流。工程实践中，对于运动要素随时间变化较小的流动，常简化成恒定流，以方便求解。水位变化 2.2液体运动的一些基本概念2.2.2流线与迹线拉格朗日法研究个别液体质点在不同时刻的运动情况引出迹线概念某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点而连成的线称为迹线，即液体质点运动时所走过的轨迹线。欧拉法考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况引出流线概念是某一瞬时在流场中绘出的一条光滑曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。 迹线：某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点而连成的线称为迹线，即液体质点运动时所走过的轨迹线。 流线：是某一瞬时在流场中绘出的一条光滑曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。drawingflowline 2.2液体运动的一些基本概念流线的基本特性恒定流时，流线的形状和位置不随时间而改变恒定流时液体质点运动的迹线与流线相重合流线不能相交流线不能是折线 2.2液体运动的一些基本概念2.2.3.1流管在水流中任意一微分面积dA，通过该面积的周界上的每一个点，均可作一根流线，这样就构成一个封闭的管状曲面，称为流管。2.2.3微小流束与总流 2.2.3.2微小流束充满以流管为边界的一束液流，称为微小流束。微小流束的性质：微小流束内外液体不会发生交换；恒定流微小流束的形状和位置不会随时间而改变，非恒定流时将随时间改变；横断面上各点的流速和压强可看作是相等的。(因为微小)2.2液体运动的一些基本概念 2.2.3.3总流任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种有一定大小尺寸的实际水流称为总流。总流可以看作是由无限多个微小流束所组成。2.2液体运动的一些基本概念 2.2.3.4过水断面与微小流束或总流的流线成正交的横断面称为过水断面。该面积dA或A称为过水断面面积，单位m2。注意：过水断面可为平面也可为曲面。2.2液体运动的一些基本概念 2.2.3.5流量单位时间内通过某一过水断面的液体体积称为流量。流量常用的单位为m3/s，用符号Q表示。微小流束流量总流流量2.2液体运动的一些基本概念 2.2.3.6断面平均流速总流过水断面上的平均流速v，是一个想象的流速，如果过水断面上各点的流速都相等并等于v，此时所通过的流量与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，则流速v就称为断面平均流速。由此可见，通过总流过水断面的流量等于断面平均流速与过水断面面积的乘积，也即过水断面上各点水流均以同一平均流速运动。引入断面平均流速的概念，可以使水流运动的分析得到简化。2.2液体运动的一些基本概念 若水流中任一点的运动要素只与一个空间自变量有关，这种水流称为一元流或一维流动（1D）。流场中任何点的流速和两个空间自变量有关，此种水流称为二元流或二维流动（2D）。若水流中任一点的流速，与三个空间位置变量有关，这种水流称为三元流或三维流动（3D）。微小流束为一元流；过水断面上各点的流速用断面平均流速代替的总流也可视为一元流；宽直矩形明渠为二元流；大部分水流的运动为三元流。2.2液体运动的一些基本概念2.2.4一元流、二元流、三元流 液流运动过程中遵循质量守恒定律，连续性方程是质量守恒定律的一种特殊方式。根据质量守恒定律在dt时段内流入的质量应与流出的质量相等。取恒定流中微小流束，对不可压缩的连续介质，有2.3恒定总流的连续性方程 不可压缩液体恒定一元流微小流束的连续性方程为对总流过水断面积分得即为恒定总流的连续性方程。 变形可得上式表明在不可压缩液体恒定总流中，任意两个过水断面平均流速的大小与过水断面面积成反比，断面大的地方流速小，断面小的地方流速大。连续性方程总结和反映了水流的过水断面面积与断面平均流速沿流程变化的规律。 例题一三通管如图所示，其中两支管直径d1=15cm，d2=20cm，已知主管流量Q=0.14m3/s，两支管的断面平均流速相等，求两支管的流量Q1和Q2。 2.4.1理想液体恒定流微小流束的能量方程连续性方程说明了流速与过水断面的关系，是运动学方程。水流能量方程则是从动力学的观点讨论水流各运动要素之间的关系，是能量守恒定律在水流运动中的具体表现。首先讨论理想液体恒定流微小流束的受力关系。2.4恒定总流的能量方程 在理想液体恒定流中取一微小流束，并截取1-1和2-2断面间的长为ds，断面面积为dA的微分流段进行研究。微分流段受到的外力有：重力、动水压力 对微分流段沿s方向应用牛顿第二定律，有1-1断面动水压力：2-2断面动水压力：重力沿s方向分力为： 由于沿微小流束的运动是一元流，流速仅与流程坐标有关，故有代入上式并整理可得：将上式沿流程s积分得： 对微小流束上的任意两个过水断面有：为液体中某一点处的几何高度，单位重量液体的位能；代表单位重量液体的压能；为该质点单位重量液体所具有的动能。上式表明：在理想液体恒定流情况下，微小流束内不同的过水断面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等。上式即为理想液体恒定流微小流束的能量方程，又称伯努利（Bernoulli）方程。 在恒定总流中任取一微小流束进行研究。微小流束两端的过水断面分别是1-1、2-2，其面积分别是dA1、dA2，面积形心至基准面的高程分别是z1、z2。两个过水断面的流速u1、u2和动水压强p1、p2均为均匀分布。动能定律：运动物体在某时段内动能的增量，等于各外力对物体所作功之和。即： 经过时间dt，微小流束从位置1-1至2-2运动到新位置1´-1´至2´-2´。微小流束动能的变化量为：根据质量守恒定律，流段1-1´和2-2´的质量应相等，即：因此 作用在微小流束的外力有重力和动水压力。重力所作的功相当于1-1´流段的液体移动到2-2´位置时的势能变化，即：动水压力所作的功为： 根据动能定理，，可得：整理可得：上式即为理想液体恒定流微小流束的能量方程。尽管推导是针对微小流束应用动能定理进行的，但由于在初始时刻微小流束和控制体积重合，而液体又是恒定流，因此式中的各物理量就是微小流束过水断面上的值。 2.4恒定总流的能量方程2.4.2实际液体恒定流微小流束的能量方程理想液体没有粘滞性，无须克服内摩擦力而消耗能量，其机械能保持不变。对实际液体，令单位重量液体从断面1-1流至断面2-2所损失的能量为hw´。则1-1断面与2-2断面间的能量守恒方程为：上式为不可压缩实际液体恒定流微小流束的能量方程。实用中需将上述方程对总流过水断面积分，以得到总流的能量方程。但积分只能针对特殊的水流运动才能实现。 运动要素拉格朗日法与欧拉法恒定流与非恒定流流线与迹线流管、微小流束、总流、过水断面、流量、断面平均流速微小流束性质为什么以断面平均流速描述的总流是一元流？恒定总流的连续性方程及其物理意义理想液体恒定流微小流束的能量方程及其物理意义本次课内容的简要回顾 2.1～2.10下周三（9月24日）交本次作业42 THANKYOU'