水力学 教学课件 作者 裴国霞 唐朝春4，5，6章第六章 量纲分析与相似原理.ppt

'第6章量纲分析与相似原理6.1量纲分析法6.2相似基本原理6.3相似准则6.4相似原理的应用 量纲分析和相似原理，为科学的组织实验及整理实验成果提供理论指导。对于很多复杂的流动问题，可借助量纲分析和相似原理来建立物理量之间的联系。 单位（Unit）：量度各种物理量数值大小的标准量成为单位。如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。量纲(Dimension)：撇开单位的大小，表征物理量的性质和类别。如长度量纲为。——“质”的表征。6.1量纲分析法6.1.1量纲的概念 诱导量纲：是指由基本量纲导出的量纲。基本量纲：具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。不可压缩流体运动中一般取质量M、长度L、时间T为基本量纲。量纲 量纲公式：在力学问题中，任何一个物理量的量纲都可以用三个基本量纲的指数积来表示，若选择长度、时间、质量为基本量纲，即几何学量纲：运动学量纲：动力学量纲：分类[][][][]cbaMTLX= 当时，称为量纲一的量，数值大小与量纲所选用的单位无关。特点：（1）无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性；（2）不受运动规模的影响，模型与原模型常用同一无量纲数。量纲一的量两个同类物理量的比值几个有量纲物理量组合lhJw=如如 6.1.2量纲和谐原理量纲和谐原理:正确、完整地反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是相同的。量纲和谐原理可以用来确定经验公式中系数的量纲，以及分析经验公式的结构是否合理。例如谢才公式量纲 a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验物理方程或经验公式的正确性和完整性。b、根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。c、可用来建立物理方程式的结构形式。为科学的组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。量纲和谐原理的重要性： 若某一物理过程包含有等n个物理量，该物理过程一般可表示成如下函数关系，即6.1.3量纲分析法及其应用量纲分析法：依据量纲和谐原理，从量纲的规律性入手来推求物理量之间的函数关系，从而找到物体的运动规律。1、π定理瑞利法π定理量纲分析法 可选m个物理量作基本物理量，即(n-m)个无量纲数此称为定理。对于均质不可压缩液体运动，一般取,分别选几何学的量(水头、管径)，运动学的量(速度、加速度)和动力学的量(密度、动力粘滞系数)各一个，作为基本物理量。选取作为基本物理量，则可由分子分母的量纲相等来确定 (1)确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式：（2）确定基本量：从n个物理量中选取m个基本物理量，对于不可压缩液体运动，一般选取。设为所选的基本物理量，则由量纲公式得：2、定理应用 满足基本物理量量纲独立的条件是量纲式中的指数行列式不等于零，即(3)基本变量依次与其余物理量组成项，即 （4）满足为为无量纲项，确定出各项基本物理量的指数。（5）整理方程，写出该物理过程的函数关系式选择基本变量的原则：1)基本变量与基本量纲相对应。2）选择基本变量时，应选择重要的变量。3）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的，换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。 6.2相似基本原理原型：天然流体和实际建筑物称为原型。模型：通常把原型（工程实物）按一定比例关系缩小（或放大）代表物，称为模型。水力学模型试验的目的：利用模型流动来模拟和研究原型流动问题。流动相似：若两个流动的对应点上的同名物理量（如速度、压强及各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。 模型和原型保证流动相似，应满足：几何相似运动相似动力相似牛顿一般相似原理关键问题：使模型流动和原型流动保持流动相似。 1、几何相似指原型和模型两个流场的几何形状相似，即两个流场相应的线段长度成比例，相应的夹角相等。 2、运动相似指原型和模型流体运动的速度场相似，即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度及加速度方向相同，且大小具有同一比值。 3、动力相似指原型和模型流动相应点处质点受同性质作用，力的方向相同，大小成比例。力的比例尺 4、牛顿一般相似原理设作用在液体上外力的合力为，使流动产生的加速度为，液体的质量为M，由牛顿第二定律可知，力的比尺也可表示为或写为为一无量纲数，称牛顿数，用来表示，即 表明，两个流动的动力相似，归结为牛顿数相等。若用比尺表示上式，则或称为相似判据。对于动力相似的流动，其相似判据为1，或相似流动的牛顿数相等，这就是牛顿一般相似原理。 6.3相似准则要使流动完全满足牛顿一般相似原理，就要求两个流动的牛顿数相等，也就是要求作用在相应点上的各种同名力均有同一的力的比尺。6.3.1重力相似准则当作用在液体上的外力主要是重力时，例如流经闸、坝的水流，起主导作用的力就是重力。重力可表示为，重力的比尺为 以代替式中的，则有即也可以写成开方 式中的无量纲数为弗劳德（Froude）数Fr，则有可知，作用力只有重力时，两个流动相似系统的佛劳德数应相等，这就叫做重力相似准则，或称佛劳德准则。在式中，因要做到流动的重力相似，原型与模型之间各物理量的比尺必须遵循佛劳德准则。⑴流速比尺 ⑵流量比尺⑶时间比尺⑷力的比尺若模型与原型液体相同，，则 ⑸压强比尺当取时，则⑹功的比尺当取时，则⑺功率比尺当取时，则 6.3.2粘滞力相似准则当作用力主要为粘滞力时，例如流动在层流区，由牛顿内摩擦定律得粘滞力表达式为粘滞力的比尺为以代替式中的，则有其中，故，代入上式并整理得 式中的无量纲数为雷诺数，其中为断面的特征尺寸，用雷诺数表示则有这表明，水流处于层流状态，粘滞力起主要作用的两个相似流动，它们的雷诺数应相等，这就叫做粘滞力相似准则，或称雷诺准则。或 由雷诺准则推导模型与原型各种物理量的比尺与模型比尺的关系如下：若模型与原型采用同一种液体，则，由式可得⑵流量比尺⑴流速比尺 ⑶时间比尺⑷力的比尺若模型与原型液体相同，，则⑸压强比尺当取时，则 ⑹功的比尺当取时，则⑺功率比尺当取时，则 6.3.3阻力相似准则当流动的主要作用力为阻力，其表达式为因，阻力的比尺为以代替式中的，则有即 因为，，所以，将值代入上式，得即表明，要保证原型与模型在阻力作用下流动相似，必须使原型与模型相应流段上的沿程阻力系数相等。当流动为粗糙区紊流时，因，用曼宁公式，由式可得 因为，取，则式中的无量纲数为弗劳德（Froude）数，则有按重力相似准则设计模型，要想满足阻力相似，则必须使得原型和模型相应流段上的水力坡度相等，即可见，流动为粗糙区紊流时，按式选取糙率的比尺，就可实现阻力作用下的流动相似。 6.3.4其它相似准则⒈压力相似准则当作用力主要为压力时，其表达式为，其中为压强，为受压面积，压力的比尺为以代替式中的，则有 即或写为式中的无量纲数称为欧拉数，用表示，上式也可写为要使两个流动的压力相似，它们的欧拉数必须相等，这就是压力相似准则，或称为欧拉准则。在大多数流动中，对流动起主要作用的是压强差，而不是压强的绝对值，欧拉数中常以相应点的压强差代替压强，即 ⒉弹性力相似准则当作用力主要为弹性力时，例如有压管道中的水击问题，弹性力表达式，式中为体积弹性模量，弹性力比尺为以代替式中的，则有整理为或 式中的无量纲数称为柯西数，用表示，上式也可写为要使两个流动的弹性力相似，它们的柯西数必须相等，这就是弹性力相似准则，或称为柯西准则。⒊惯性力相似准则当作用力主要为惯性力时，例如非恒定流问题，惯性力表达式，式中为质量，惯性力比尺为以代替式中的，则有 整理为或式中的无量纲数称为斯特罗哈数，用表示，上式也可写作要使两个流动的惯性力相似，它们的斯特罗哈数必须相等，这就是惯性力相似准则，或称为斯特罗哈准则。 ⒋表面张力相似准则当作用力主要为表面张力时，例如毛细管中的水流，表面张力表达式，式中为单位长度上的表面张力，表面张力比尺为以代替式中的，则有整理为或 式中的无量纲数称为韦伯数，用表示，上式也可写作要使两个流动的表面张力相似，它们的韦伯数必须相等，这就是表面张力相似准则，或称为韦伯准则。在一般情况下，水流的表面张力、弹性力可以忽略，恒定流时没有当地惯性力，所以作用在液流上的主要作用力只有重力、摩擦力及动水压力。要使两个液流相似，则佛劳德数、雷诺数及欧拉数必须相等。一般这三个准则只要有两个得到满足，其余一个就会自动满足，因为作用在液体质点上的三个外力与其合力的平衡力（惯性力）构成一个力的封闭多边形，只要对应点的各外力相似，则它们的合力就会自动相似；反之，若合力和其它任意两个同名力相似，则另一个同名力必定自动相似。通常动水压力是待求的量，只要对应点的佛劳德数和雷诺数相等，欧拉数就会自动相等。所以佛劳德准则、雷诺准则称为独立准则，欧拉准则称为导出准则。'