水力学第十章.ppt

'第十章液体运动的三元分析§10-1液体微团运动的基本形式§10-2无涡流与有涡流§10-3液体三元运动的连续方程§10-4理想液体的运动微分方程§10-6恒定平面势流 §10-1液体微团运动的基本形式液体质点与液体微团的区别液体质点：是可以忽略线性尺寸效应的液体最小单元。液体微团：是液体质点组成的具有线性尺寸效应的最小液体团。刚体运动与液体运动的区别刚体运动：平移运动和旋转运动。液体运动：平移运动和旋转运动，变形运动。 平移运动B点流速C点流速ux,uy为平移速度 变形运动线运动线变形速度剪切变形运动剪切变形速度 线变形速度dt时段后AB边在x方向上的伸长(或缩短)为单位时间单位长度的线变形称为线变形速度。 剪切变形速度A点角速度平面上角变形速度的一半为剪切变形速度。 液体微团的剪切变形速度XY平面的剪切变形速度 旋转运动液体微团上两条线旋转角速度的平均值定义为液体微团的旋转角速度。单位时间内AB边的旋转角度单位时间内AC边的旋转角度 旋转角速度 举例1：理想液体在收缩管中的流动当液体微团由A移动到B点时,只有伸缩变形,而没有剪切变形和旋转运动。微团上的两条直线1与2之间的夹角及其方向没有变化。 举例2：旋转水桶中的水流运动当液体微团由A移动到B点时,有旋转运动而没有剪切变形。直线1、2始终保持垂直，夹角没有变化而两条直线的方向发生了变化。 举例3：水轮机导轮中的水流运动液体微团由A移动到B时,无旋转运动而有剪切变形。直线1沿流线顺时针方向旋转一个角度δα，则直线2逆时针方向旋转相同的角度，而二者的夹角发生了变化。 速度分解定理用液体微团基本运动形式表示液体微团内任意相邻两点之间速度关系的定理。 速度分解定理(亥姆霍兹定理)P（x,y,z）点的邻近点Q(x+dx,y+dy,z+dz)的速度由三部分组成：(1)与P点相同的平移速度；(2)变形在Q点引起的速度；(3)绕P点旋转在Q点引起的速度。 例10.1.1已知二元平板间层流运动的流速分布为其中h为两平板间的距离的一半。试求：该流动中液体微团所具有的运动形式。 例题：已知一平面流动，其流速场为：试判断流动是否有旋，是否有变形。流动有旋流动没有线变形流动有剪切变形 §10-2无涡流与有涡流若液体流动时每个液体微团不存在绕自身轴的旋转运动此流动称为无涡流，也称为无旋流；若液体流动时每个微团都存在着绕自身轴的旋转运动，则称此流动为有涡流，也称有旋流。 注意：涡是指液体微团绕自身轴旋转的运动，不要将涡与液体质点运动的轨迹相混淆。 例1：剪切流动速度场：a是常数，流线是平行x轴的直线。流动是有旋的 例2：点涡运动速度场：b是常数，流线是以原点为中心的同心圆。流动是无旋的 无涡流 矢量形式称为流速势函数无涡流中存在着流速势函数，无涡流也称为势流。求解无涡流问题也就归结为求流速势函数 有涡流涡线在同一时刻，涡线上所有空间点处的旋涡向量与该曲线相切。涡线微分方程涡管在涡场中通过某一闭曲线上各点的涡线所形成的管称为涡管。 元涡横断面面积很小的涡管内的流体称为元涡或者涡束。涡量将元流的横截面面积dA与2倍旋涡矢量ω的点积定义为元涡的涡量或涡管强度。整个涡管横断面上的涡量或涡管强度 速度环量速度矢量沿封闭曲线s的线积分，称为速度环量。速度环量是标量。速度方向与积分路径方向一致时为正。取逆时针方向积分路径为正，逆时针方向的速度环量为正。 无涡流的速度环量当流动为无涡流，即势流时当流速势函数φ为单值时，Γ为零。 速度环量与涡量之间的关系斯托克斯公式速度矢量沿封闭曲线s的环量等于旋涡矢量通过张于s上的曲面A的通量。通过分析速度环量来研究有涡流更为方便。 速度环量是线积分，被积函数是速度本身，而涡量是面积分，被积函数是速度的偏导数；液体微团的速度可以测量，涡量和液体微团的旋转角速度不能直接测量。只有当液体微团的旋转角速度为常数时，通过计算涡量求速度环量才更显简便。 §10-3液体三元运动的连续方程应用控制体概念根据质量守恒定律，推导液体三元运动连续方程。 对于不可压缩液体 §10-4理想液体的运动微分方程欧拉运动微分方程不可压缩液体的连续方程 葛罗米柯运动微分方程 葛罗米柯形式的运动微分方程葛罗米柯形式的运动微分方程与旋转角速度建立起了联系，便于分析无涡流和有涡流。 例10.4.1在水平放置的等直径管中充满不可压缩的理想液体，此液体在按单摆变化规律的压力梯度作用下沿管轴方向运动，其中A、ω为常数，试求管中的运动速度ux(t)。 §10-5理想液体运动微分方程的积分恒定流的能量方程运动是恒定的质量力有势液体不可压缩 重力作用下理想液体恒定流的能量方程 行列式为零的条件能量方程适用整个势流场，不限于同一条流线上液体是静止的欧拉能量方程重力作用下水静力学基本方程 在同一条流线上能量方程成立伯努利能量方程能量方程在理想液体恒定涡流的同一条涡线上成立 非恒定无涡流的能量方程质量力有势液体不可压缩流动是无旋的 拉格朗日积分：在理想不可压缩质量力有势的势流流动中，在某一指定时刻t，式在流场中任何位置具有相同的值。 当质量力只有重力时，拉格郎日能量方程 §10-6恒定平面势流无涡的平面流动称为平面势流。求解无涡流问题也就归结为求流速势函数。 流速势函数的性质1.流速势函数φ在某一方向m上的偏导数，就等于流速u在该方向上的投影。2.等势面或等势线与流线正交，等势面就是过水断面。 3.流速势函数沿流线s方向增大。4.流速势函数是调和函数。流速势函数φ满足拉普拉斯方程，在数学上称满足拉普拉斯方程的函数为调和函数。 流函数不可压缩液体平面运动的连续方程平面运动的流线方程只要满足不可压缩液体的连续方程，流函数必存在。由平面流动的流函数就可以确定该平面流动的速度场。 流函数的性质1.流函数ψ对任意方向m的偏导数，等于流速u在m方向顺时针旋转90o后m`方向上的流速分量um`。2.流函数为常数代表一条流线。不同的常数代表不同的流线。 3.流函数沿流线s方向逆时针旋转90o后的n方向增大。4.通过两条流线间的单宽流量q等于这两条流线的流函数值之差ψ2-ψ1。 5.平面无涡运动的流函数也是调和函数。 恒定平面势流问题的求解在一定得边界条件下，求解关于流速势函数或流函数的拉普拉斯方程。根据流速与φ、Ψ的关系求得流速场柯西-黎曼条件根据欧拉能量方程求出压力场 关于φ和Ψ的拉普拉斯方程的求解直接解析法在给定边界条件下，直接求解拉普拉斯方程，由于边界条件的复杂性一般得不到通解，只能得到极简单边界条件下的特解。间接解析法主要有势流叠加法，保角变换法及奇点法等。数值计算法用有限差分法，有限元法或边界单元法等将拉普拉斯偏微分方程化为线形方程组，然后解此方程组求出φ和Ψ的离散数值的一种方法。 流网法等流函数线就是流线；等流速势函数线就是等势线；用绘制流网的方法求解拉普拉斯方程的方法，称为流网法。流线与等势线正交的，这两组曲线所构成的正交的网状图形就是流网。 流网的性质1.流线与等势线正交。 2.当dφ=dΨ时，流网的网眼将成曲边正方形。只要网眼的对角线互相垂直且相等就认为网眼是曲边正方形。 对于曲边正方形的流网，两条流线间通过的流量相等。已知某个网眼的Δn1和u1，求解其他网眼的流速u已知某点的z1、u1、p1,可以求得流场中任意点的压强p。流网法求解流场 例：已知平面流动中的速度场为试求流函数Ψ。（1）首先检查该流动是否存在，即是否满足连续方程故满足连续方程，此流动客观上存在。 （2）求流函数Ψ 10.8已知平面流动的流速分量为试判别上述流动中是否存在流函数Ψ，如果存在求Ψ，并划出流动图形，说明是什么流动。（1）（2） 10.9一平面流动的x方向的流速分量在点（0,0）处uy=0，试求通过两点A（0,0）、B（1,1）连线的单宽流量。 10.10已知平面流动的流速分量为式中A、B为常数。试判别上述两种情况是否存在流速势φ，如果存在求φ的表达式。（1）（2） 例题1：已知平面流动中的流速场：试判断：（1）试判断流动是否有变形；（2）上述流动中是否存在流速势函数，如果存在求流速势函数；（3）上述流动中是否存在流函数，如果存在求流函数。 例题2：已知某流场的流速势为式中a为常数，试求：（1）ux及uy；（2）流函数方程。 例题3：在不可压缩流场中流函数为式中a为常数。（1）判断该流场是否是势流？（2）如果是势流求出势函数，并证明流线与等势线相互垂直。'