计算水力学--第三章(1).ppt

'第三章有限差分的基本理论09级计算水力学教学课件 课程内容基本概念偏导数的差商近似差分方程截断误差和相容性收敛性稳定性Lax等价定理 §1.基本概念圣维南方程组：无法求解析解Z(x,t)，Q(x,t)连续的？圣维南方程组：数值计算方法Z(i,j)，Q(i,j)i=0，1，……，mj=0，1，……，n！ §1.基本概念基本概念xt0Δx-Δx2ΔtΔt求解域网格节点时间步长空间步长x–t平面 §1.基本概念本章主要研究：构造差分方程、分析数值误差数值解主要是求解节点上的末知变量的数值，利用有限的节点上的值来代替整个求解域内的连续函数值。概念离散、插值、误差均匀网格、非均匀网格 §2.偏导数的差商近似差分、差商的基本概念解析函数：导数定义：差分：差商： §2.偏导数的差商近似向前差分：向后差分：中心差分：xt0ii+1i-1j-1j+1j对“那个点”进行差分很重要！！！ §2.偏导数的差商近似一阶向前差商一阶中心差商一阶向后差商二阶中心差商 通过对差商近似点（i，j）的Taylor展开，可以分析差商对偏导近似的精度§2.偏导数的差商近似—Taylor展开法Taylor展开法 §2.偏导数的差商近似—Taylor展开法一阶向前差商：一阶向后差商： §2.偏导数的差商近似—Taylor展开法二阶中心差商： §2.偏导数的差商近似—Taylor展开法构造一阶偏导数具有二阶精度的差商近似边界处偏导数的差商近似 对点(0,j)进行Taylor展开§2.偏导数的差商近似—Taylor展开法边界处偏导数的差商近似 构造一阶偏导数的二阶精度的差商近似必须有§2.偏导数的差商近似—Taylor展开法解得：可得： §2.偏导数的差商近似—Taylor展开法构造二阶偏导数具有一阶精度的差商近似 §2.偏导数的差商近似—Taylor展开法构造二阶偏导数的差商近似必须有解得：可得： §2.偏导数的差商近似—Taylor展开法构造二阶偏导数具有二阶精度的差商近似 §2.偏导数的差商近似—Taylor展开法 §2.偏导数的差商近似—Taylor展开法构造二阶偏导数具有二阶精度的差商近似必须有解得：可得： 用多项式插值法把待求函数表示成含待定系数的解析函数，由节点函数值确定该系数，然后对此函数求偏导数，得到逼近偏导数的差商表达式。§2.偏导数的差商近似—多项式差值法设函数u可用抛物插值公式来近似： §2.偏导数的差商近似—多项式差值法设原点ｘ＝０在点ｉ的位置上，则有：解出待定系数：2 §2.偏导数的差商近似—多项式差值法 用高阶多项式插值可得到高阶差商表达式。高阶多项式插值具有龙格不稳定性，使得插值对计算误差十分敏感。多项式插值法在计算流体力学中多用于处理边界处的差商近似。偏导数的差商近似还有其它多种方法，但最终均需用Taylor展开来计算其近似的误差，因此在实际计算中通常均用Taylor展开法来构造，因为此法在构造差商近似的同时还得出了其近似的误差精度。§2.偏导数的差商近似—多项式差值法 Homework构造一阶偏导数具有二阶精度的差商近似边界（n，j）处偏导数的差商近似构造二阶偏导数具有一阶精度的差商近似构造二阶偏导数具有二阶精度的差商近似j210n-2n-1n ThankYou!'