水力学 第三章 流体运动学.ppt

'第三章流体运动学§3-0流体运动学的有关定义§3-1描述流体运动的两种方法§3-2描述流体运动的一些基本概念§3-3流体运动的类型第三章流体运动学§3-4流体运动的连续性方程§3-5流体微元运动的基本形式§3-6无涡流(无旋流)()1 §3—0流体运动学的有关定义§3—0流体运动学的有关定义1、流体的运动要素流体力学是研究表征流体运动的各种物理量间满足的物理定律，即运动要素之间的内在关系。这些物理量包括：质量力、表面力、速度、加速度、转动角速度、环量、密度、动量、能量等。2、流体运动学(fluidkinematics)研究内容在不涉及力及其作用因素下，研究流体运动要素随时间和空间的变化以及建立它们之间的关系是流体运动学的研究任务。2 §3-1描述流体运动的两种方法§3-1描述流体运动的两种方法3-1-1拉格朗日法从分析流体质点的运动着手，描述出每一个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的规律。通过所有流体质点的运动规律，了解整个流体运动的状况，又称质点系(systemofparticles)法。一、拉格朗日法（LagrangianMethod）3 二、流体运动的数学式每一个质点在t=t0时刻的坐标值(a,b,c)不一样，所以，每一个质点在任何时刻的空间位置，在直角坐标系中将是a，b，c，t的单值连续函数。1、空间位置(location)（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标，称为拉格朗日数（Lagrangiannumber）。所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和时间t的函数。（2）若t为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时不同质点在空间位置的分布情况，方程式所表示的是某一瞬时由各质点所组成的整个流体的照相图案。（3）若(a，b，c)和t均为变数，可得任意流体质点在任何时刻的运动情况，方程式所表达的是任意质点运动的轨迹。（1）若(a，b，c)为常数，t为变数，可得某个指定质点在任何时刻在空间所处的位置，方程式所表示的是这个流体质点运动的轨迹(方程)。§3-1描述流体运动的两种方法4 2、速度(velocity)（2）若t为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各质点的速度分布。（1）若(a，b，c)为常数，t为变数，可得某个指定质点在任何时刻的速度变化情况。§3-1描述流体运动的两种方法5 3、加速度(acceleration)拉格朗日法的优点：物理意义较易理解。拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。§3-1描述流体运动的两种方法6 3-1-2欧拉法从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。运动流体占据的空间，称流场(flowfield)。通过流场中所有空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场法。一、欧拉法（EulerMethod）§3-1描述流体运动的两种方法7 二、流体运动的数学式在直角坐标系中，选取坐标(x，y，z)将每一空间点区分开来。在一般情况下，在不同时刻、不同空间点物理量是空间点坐标(x，y，z)和时间t的函数。研究的是场。与速度场一样，压强场(pressurefield)、密度场为：1、速度x，y，z都应看作自变量，它们和t一起都被称为欧拉变数(Eulernumber)。（2）若t为常数，(x，y，z)为变数，可得同一瞬时通过不同空间点的流体质点速度的分布情况。如果场的物理量不随时间而变化，为稳定场；随时间而变化，则为非稳定场。（1）若(x，y，z)为常数，t为变数，可得在不同瞬时通过空间相应某一固定空间点的流体质点的速度变化情况。如果场的物理量不随位置而变化，为均匀场；随位置而变化，则为非均匀场。§3-1描述流体运动的两种方法8 2、加速度欧拉描述流体质点的加速度由两部分组成（1）由于时间过程而使空间点上的质点速度发生变化的加速度，称当地加速度(或时变加速度)（LocalAcceleration）。1、在水位恒定的情况下：（1）AA流体质点不存在加速运动，加速度为零。（2）BB流体质点加速度运动，加速度是由不同位置的速度不同而产生；称为位变加速度（2）由于流动过程中质点由于位移占据不同的空间点而发生速度变化的加速度，称迁移加速度(或位变加速度)（ConvectiveAcceleration）。2、在水位变化的情况下：（1）AAA、A’点的速度相等，但随时而变，因而两点均存在加速度，称为时变加速度。（2）BBB、B’连点速度随时而变，且速度不等；由B运动到B’时，既存在时变加速度，又存在位变加速度。§3-1描述流体运动的两种方法9 加速度的表示式由于研究的对象是某一流体质点在通过某一空间点的速度随时间的变化，在微小时段dt内，这一流体质点将运动到新的位置，即运动着的流体质点本身的坐标是时间t的函数，所以不能将x，y，z视为常数。因此，不能只取速度对时间的偏导数，而要取全导数。§3-1描述流体运动的两种方法10 加速度的表示式因为dx、dy、dz是dt内流体质点位移ds在各坐标轴上的投影,以矢量形式表示§3-1描述流体运动的两种方法代入后，加速度表示为：11 斯托克斯(Stokes)表示式将随体导数分解为时变导数和位变导数之和的方法，对任何矢量和标量都是成立的。全加速度，随体导数，质点导数，（materialderivative)当地加速度，时变导数(Localderivative)迁移加速度，位变导数(Convectivederivative)§3-1描述流体运动的两种方法12 对于压强、密度而言，则分别为欧拉法的优点：反映实际工程问题，数学方程求解易，测量方法容易。欧拉法的缺点：不能追踪质点运动过程。§3-1描述流体运动的两种方法13 3-1-3迹线·流线·脉线迹线：一个流体质点在一段连续时间内在空间运动的轨迹线，它给出同一质点在不同时刻的速度方向。迹线的数学表示：空间曲线方程。迹线、流线是描绘流体运动的几何图形图景，直观形象地分析流体运动。1.迹线（PathLine）§3-1描述流体运动的两种方法14 确定迹线的微分方程式（2）由欧拉描述确定迹线的微分方程组式中：t是自变量，x，y，z是t的函数。积分后在所得表示式中消去时间t后，即得迹线方程。§3-1描述流体运动的两种方法（1）由拉格朗日描述确定迹线方程或表示为：拉格朗日法给出了质点运动方程，消去运动方程中的参变量t，即可得质点的运动轨迹——迹线方程。15 例3-1已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为:解：将以上两式等号两边均平方后相加，即可消去t，得式中，为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。上式表示流体质点的迹线是一同心圆族，圆心(0,0)，半径。速度方向如何确定？§3-1描述流体运动的两种方法16 例3-2设在流体中任一点的速度分量，由欧拉变数给出为解：迹线的微分方程是上两式是非齐次常系数线性一阶常微分方程。微分方程理论给出一阶非奇次线性常微分方程的解如下：试求t=0时，通过点A（-1，-1）流体质点的迹线。§3-1描述流体运动的两种方法微分方程形式：微分方程的通解：17 它们的解是当t=t0=0时，x=a，y=b，得积分常数Cl=a+l，C2=b+1，可得：速度方向如何确定？当t=0时，x=-1，y=-1，代人上两式得a=-1，b=-1。消去上两式中的时间t后，得：§3-1描述流体运动的两种方法例3-218 2.流线（StreamLine）流线：在流场内同一时刻不同质点所组成的曲线，在该曲线上的每一点的切线方向就是该点的流体质点的速度方向；所以流线给出该时刻不同流体质点的速度方向。§3-1描述流体运动的两种方法19 2.流线（StreamLine）方程§3-1描述流体运动的两种方法设ds为流线上A处的一微元弧长：u为流体质点在A点的流速：dsuA即：速度与弧相切，所以有：展开得：式中：ux，uy，uz都是自变量x，y，z和t的函数，t作为一个参变量出现。欲求某一指定时刻的流线，需把t当作常数对上式进行积分。一把情况下，不同时刻，过同一点的流线不同。20 流线的特点在流场内，速度为零的点称驻点或停滞点(stagnationpoint)；速度为无穷大的点称奇点(singularity)。在充满流动的整个空间内可以绘出一族流线，所构成的流线图称流谱。（1）一般情况下，流线不能相交。（3）流线簇的疏密反映了速度的大小，流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小。（2）流线亦不能转折，只能是一条光滑的连续曲线。（4）恒定流，速度与时间无关，速度仅是坐标的函数，所以流线的微分方程和迹线的微分方程相同。U2L1L2U1§3-1描述流体运动的两种方法21 例3-3设在流体中任一点的速度分量，由欧拉变数给出为：解：流线的微分方程是上式中的t是参变量，当作常数，对上式积分，得试求t=0时，通过点A（-1，-1）流体质点的流线。上式可写为速度方向如何？当t=0时，x=-l，y=-1，代人上式，得C=-1。因此在流体中任一瞬时的流线是一双曲线族。§3-1描述流体运动的两种方法22 3.脉线（ColoringLine）/标记线（StreakLine）脉线又称色线：是在某一段时间内先后流过同一空间点的所有流体质点，在既定瞬时连成的曲线。§3-1描述流体运动的两种方法23 思考题1、什么是流线、迹线、色线？它们有何区别？3、实际水流中存在流线吗？引入流线概念的意义何在？2、流线、迹线各有何性质？色线有些什么作用？4、欧拉法、拉格朗日方法各以什么作为其研究对象？对于工程来说，哪种方法是可行的？§3-1描述流体运动的两种方法24 §3-2描述流体运动的一些基本概念§3-2描述流体运动的一些基本概念3-2-1流管·流束·过流断面·元流·总流流管（StreamTube）：在流场中，任意取一非流线且不自相交的封闭曲线，从这封闭曲线上各个点绘出流线，组成封闭管状曲面。流束（Streamfilament）：流管内的流体。过流断面（FlowCrossSection）：流束上和流线正交的横断面。建立在流线基础上的、用欧拉法描述流体运动时所涉及的基本概念。1122过水断面25 §3-2描述流体运动的一些基本概念§3-2描述流体运动的一些基本概念元流（Tube/ElementFlow）：过流断面面积无限小的流束。相应的流管称元流管。在元流同一过流断面上各点的运动要素如速度、压强等可认为是相等的。总流（TotalFlow）：过流断面面积具有一定大小的有限尺寸的流束。相应的流管称有限流管。总流同一过流断面上各点的运动要素如速度、压强等不一定都相等。26 3-2-2流量·断面平均速度流量（FlowDischarge/Rate）：单位时间内通过某一过流断面的流体数量。它可以用体积流量、重量流量和质量流量表示，单位分别为M3/s，kN/s，kg/s。元流单位时间内通过的流体的体积流量：总流单位时间内通过的流体的体积流量：总流单位时间内通过的流体的质量流量和重量流量：§3-2描述流体运动的一些基本概念27 指一种设想的速度，即假设总流同一过流断面上各点的速度都相等，大小均为断面平均速度v。以断面平均速度通过的流量等于该过流断面上各点实际速度不相等情况下所通过的流量。即：几何意义：以底为A，高为的柱体体积等于流速分布曲线与过水断面所围成的体积。u=§3-2描述流体运动的一些基本概念断面平均速度(meanvelocity)28 §3-3流体运动的类型§3-3流体运动的类型3-3-1恒定流和非恒定流按各点运动要素(速度、压强等)是否随时间而变化:1、恒定流（SteadyFlow）：又称定常流，各点运动要素都不随时间而变化的流体运动。速度、压强等可以仅是坐标的函数。u=u(x，y，z)，p=p（x，y，z）。没有当地加速度。流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相重合。流线、流管不随时间而改变其位置和形状。29 2、非恒定流（Unsteady/non-steadyFlow）速度、压强是坐标、时间的函数。u=u(x，y，z，t)，p=p(x，y，z，t)。有当地加速度；非恒定流的流线和流线上流体质点的迹线不相重合；流线、流管随时间而改变其位置和形状。严格的恒定流只可能发生在层流，在紊流中，由于流动的无序，其实流速或压强总有脉动，但若取时间平均流速（时均流速）不随时间变化，则紊流认为恒定。§3-3流体运动的类型又称非定常流，空间各点的运动要素随时间而变化的流体运动。30 3-3-2均匀流和非均匀流·渐变流和急变流按各点运动要素(主要是速度)是否随位置而变化或沿流程各个过流断面上位于同一流线上的点的速度(大小、方向)是否相等区分流动。1、均匀流（uniformflow）：在给定的某一时刻，各点速度都不随位置而变化的流体运动或相应点速度相等的流体运动。均匀流各点都没有迁移加速度，表示为平行流动，流体作均匀直线运动。特点：过流断面是一平面，且其大小和形状都沿程不变；各过流断面上点速度分布情况相同，断面平均速度沿程不变。例如：等直径直管中的液流，断面形状和水深不变的长直渠道中的水流。一、均匀流和非均匀流§3-3流体运动的类型31 在给定的某一时刻，各点速度都随位置而变化的流体运动。或相应点速度不相等的流体运动。均匀流各点都有迁移加速度特点：过流断面不是一平面，且其大小或形状沿程改变；各过流断面上点速度分布情况不完全相同，断面平均速度沿程变化。§3-3流体运动的类型2、非均匀流（non-uniformflow）32 二、渐变流和急变流1、渐变流（GraduallyVariedFlow）：各流线的曲率半径很大，即各流线几乎是直线的流体运动。特征：（1）流线之间的夹角很小即流线几乎是平行的），同时流线的曲率半径又很大（即流线几乎是直线）。（2）渐变流流过水断面可看作是平面。（3）渐变流的加速度在过流断面上的投影很小，所以惯性力也很小，可以忽略不计。对非均匀流，按各流线是否接近于平行直线，可分为渐（缓）变流预计变流。§3-3流体运动的类型33 各流线之间的夹角很大，或者各流线的曲率半径很小的流体运动。特征：流线间夹角很大或曲率半径较小或二者兼而有之，流线是曲线。急变流的加速度较大，因而惯性力不可忽略。速度分布直管流速分布§3-3流体运动的类型2、急变流(rapidlyvariedflow)34 3-3-3有压流(有压管流)、无压流(明渠流)、射流按限制总流的边界情况可将流动分为:1、有压流(pressureflow)或有压管流：边界全部为固体(如为液体流动则没有自由表面)的流体运动。2、无压流(freesurfaceflow)或明渠流：边界部分为固体、部分为大气，具有自由表面的液体运动。3、射流(jet)：运动的流体脱离了原来限制它的固体边界，在充满流体的空间继续流动的流体运动。§3-3流体运动的类型35 3-3-4三维流(三元流)、二维流(二元流)、一维流(一元流)按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的个数:1、三维流或三元流（Three-dimensionalFlow）：若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数。例如：水在断面形状与大小沿程变化的天然河道中流动，水对船的绕流等等，这种流动属于三元流动。§3-3流体运动的类型36 若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数。流动流体的运动要素是二个空间坐标（不限于直角坐标）函数。如实际液体在圆截面（轴对称）管道中的流动，运动要素只是柱坐标中r,x的函数而与角无关，这是二元流动。§3-3流体运动的类型2、二维流或二元流（Two-dimensionalFlow）37 若流体的运动要素仅是空间一个坐标和时间t的函数。若考虑流道（管道或渠道）中实际液体运动要素的断面平均值，则运动要素只是曲线坐标s的函数，这种流动属于一元流动。§3-3流体运动的类型3、一维流或一元流（One-dimensionalFlow）38 3-3-5层流与紊流按流体的流动形态:层流与紊（湍）流。1、层流（LaminarFlow）：亦称片流，是指流体质点不互相混杂，流体质点作有条不紊的有序的直线运动。特点：（1）有序性。（2）水头损失与流速的一次方成正比。（3）在流速较小且雷诺数Re较小时发生。（4）层流遵循牛顿内摩擦定律，粘性抑制或约束质点作横向运动。§3-3流体运动的类型39 亦称湍流，是指随流速增大，流层逐渐不稳定，质点相互混掺，流体质点沿很不规则的路径运动。特点：（1）无序性、随机性、有旋性、混合性。（2）水头损失与流速的1.75~2次方成正比。（3）在流速较大且雷诺数较大时发生。紊流是工程实践中最常见的一种流动，紊流中质点运动要素具有随机性。可以说没有两个流体质点可以沿着同样的，甚至相似的路径运动。§3-3流体运动的类型2、紊流（Turbulent）40 思考题1、“只有当过水断面上各点的实际流速均相等时，水流才是均匀流”，该说法是否正确？为什么？3、“渐变流断面上各点的测压管高度等于常数”，此说法对否？为什么？2、恒定流、均匀流等各有什么特点？41 §3-4流体运动的连续性方程§3-4流体运动的连续性方程质量守恒定律应用于流体运动称为连续原理，它的数学表示式即为流体运动的连续性方程。3-4-1系统与控制体1、系统(system)：采用拉格朗日描述方法引入系统的概念。包含着确定不变的物质的集合称为系统。在流体力学中，就是流体团。系统以外的一切称为外界。系统的边界是把系统和外界分开的真实或假想的表面。42 §3-4流体运动的连续性方程流体系统的边界有以下几个特点：（1）系统的边界随流体一起运动，系统的体积边界面的形状和大小随时间而变化；（2）在系统的边界处没有质量的交换，即没有流体流进或流出系统的边界；（3）在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力；1、系统(system)边界特点（4）在系统的边界上可以有能量交换，即可以有能量进人或外出系统的边界。43 2、控制体（controlvolume）被流体所流过的，相对某个坐标系，固定不变的任何体积称为控制体。占据控制体的流束即为流体系统。控制体的边界面称为控制面(controlsurface)，它总是封闭表面。控制体控制断面(controlsection)控制断面§3-4流体运动的连续性方程采用欧拉法研究问题的方法引入控制体的概念。44 2、控制面的特点控制面有以下几个特点：（1）控制面相对于坐标系是固定的；（2）在控制面上可以有质量交换，即可以有流体流进或流出控制面；（3）在控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内物体上的力；§3-4流体运动的连续性方程（4）在控制面上可以有能量交换，即可以有能量进人或外出控制面。45 uxuzuyM3-4-2流体运动的连续性微分方程1、用微元分析法推导流体连续性方程（continuityequation）在dt时段内，沿x轴方向流进和流出六面体的流体质量差为EABFHDCGdzdydxzyxoN’N§3-4流体运动的连续性方程46 同理，得到沿y、z轴方向流进和流出六面体的流体质量，则有：在dt时段内六面体内因密度的变化而引起的质量增量为：根据质量守恒定律(conservationofmass)，在同一时段内，流进和流出六面体的流体质量之差应等于因密度变化所引起的质量增量，即§3-4流体运动的连续性方程y方向：z方向：1、用微元分析法推导流体连续性方程47 整理得：上式即为可压缩流体的连续性微分方程。它表达了任何可能实现的流体运动所必须满足的连续性条件，即：质量守恒条件。适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定；可压缩流体或不可压缩流体。§3-4流体运动的连续性方程1、用微元分析法推导流体连续性方程48 （1）对均质流体ρ=const，及不可压缩流体上式三项之和为流体的体积变形率(膨胀率或收缩率)，即单位时间内单位流体的膨胀量或缩小量。因此，流体的体积变形率为零，它的体积不会发生变化。有：§3-4流体运动的连续性方程2、流体连续性方程的讨论经整理，连续性方程可表示为:适用于理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩（或均质）流体。即:49 物理意义：单位时间内流入单位空间的流体质量，与流出的流体质量之差等于零。3、连续性方程在、柱坐标系中的表示（2）恒定流动：流体密度分布满足适用范围：理想或实际流体的恒定流动。§3-4流体运动的连续性方程2、流体连续性方程的讨论则连续性方程可表示为：如何推证？作业3-11，p.112。即：50 3-4-3总流的连续性方程1、用微元连续性方程积分推导对于不可压缩均质流体的恒定总流，有：根据高斯定理，体积积分可用曲面积分来表示s是体积V的封闭表面，un是封闭表面上各点处外法线方向的速度投影，曲面积分是通过封闭表面的速度通量。由上两式可得：n2112v1n1v241235V1>V2§3-4流体运动的连续性方程51 1、用微元连续性方程积分推导流管的全部表面s包括两端断面和四周侧表面。在流管侧表面上un=0，则得式中：Al为流管的流人断面面积，A2为流管的流出断面面积，可得不可压缩均质流体恒定总流的连续性方程它表明上述总流的流量沿程不变，即单位时间内流过总流各过流断面的流体体积相等；沿总流的任意两过流断面平均速度与面积成反比。适用范围：固定边界内的不可压缩流体，包括恒定流、非恒定流、理想流体、实际流体。§3-4流体运动的连续性方程对恒定分布密度条件，同理可推得：或52 2、用有限(体)分析法推导出恒定总流的连续性方程流体由断面1-1流向断面2-2，两断面间没有汇人流量(汇流)或分出流量(分流)。取元流管如图中虚线所示。经过dt时段后，所取元流段流到断面1’-1’、2’-2’的位置，即断面1-1、2-2分别移动了距离根据质量守恒定律，1-1’段的质量应等于2-2’段的质量或上式为可压缩流体恒定元流的连续方程。§3-4流体运动的连续性方程对均质流体，ρ=const，有：53 将式(3-26)对总流的过面面积积分由断面平均速度v的定义可知上式为可压缩流体恒定总流的连续性方程。适用于固定边界内所有恒定流，包括可压缩或不可压缩流体、理想流体、实际流体。有汇流或分流的情况Ql+Q2=Q3Ql=Q2+Q3§3-4流体运动的连续性方程表明总流的质量流量沿程不变，单位时间内流过总流各过流断面的流体质量都相等。2、用有限(体)分析法推导出恒定总流的连续性方程54 思考题3、连续性微分方程有哪几种形式？4、不可压缩流体的连续性微分方程说明了什么问题？5、总流的连续性方程与连续性微分方程有无联系？将连续性微分方程在微元体上积分，并引入断面平均流速的定义，得连续性方程。1、如何选取有限体的控制断面？为什么？2、控制体积是固定的空间区域，还是固定的流体质量？55 §3-5流体微元运动的基本形式§3-5流体微元运动的基本形式3-5-1流体微元运动形式的分析流体质点：是可以忽略线性尺度效应(如膨胀、变形、转动等)的最小单元。流体微元：是由大量流体质点所组成的，具有线性尺度效应的微小流体团。流体微元运动的基本形式：平移、转动和变形三种。实际的流体运动常是上述三种或两种(如没有转动)基本形式组合在一起的运动。一、流体微元运动形式基本概念平移变形线变形，体积改变转动56 刚体与流体微元的运动特点异同刚体的运动是由于平移和转动两部分组成。流体微元的运动，一般除了平移、转动外，还要发生变形（角变形和线变形）。§3-5流体微元运动的基本形式刚体的转动是指整个刚体绕某一瞬时轴的转动。流体的转动指流体微元绕其自身轴的转动。57 ABCD二、流体微元运动形式的几何意义和数学表示式1、线变形和线变率流体微元在x轴、y轴、z轴方向的伸长和缩短，称线变形(lineardeformation)。流体微元在x轴、y轴方向的单位时间、单位长度的线变形，简称线变率(rateoflineardeformation)；用εxx、εyy、εzz表示。沿x的线变率为A1B1C1D1B2D2c2§3-5流体微元运动的基本形式其中第一个下标，表示正交边所平行的坐标轴；第二个下标，表示该边发生变形时，端点将在哪一轴向发生位移。58 1、线变形和线变率同理可以推得εyy、εzz的表示式，即对三维情况有：§3-5流体微元运动的基本形式经dt时段，微元的体积变化速率（体变率）为：与不可压缩连续方程比较可知微元体体积不变。59 2、角变形和角变率角变形(angulardeformation)：微元相互垂直两边变形前的夹角与变形后夹角之差。转动角度A1B1C1D1ABCD§3-5流体微元运动的基本形式角变率(rateofangulardeformation)：单位时间的角变形。60 角变形大小习惯取夹角差值的一半（平均值）角变形§3-5流体微元运动的基本形式2、角变形和角变率得角变率εxy：式中：下标ij表示在Oij平面内的角变率，第一个下标表示正交边所平行的坐标轴，第二个下标表示该边转动发生角度变化时，端点将在哪一轴向发生位移。同理可得：61 3、角转动和角转速角转动：相互垂直两边变形前的分角线和变形后的分角线发生转动的微元运动。定义角转速（angularvelocity）：§3-5流体微元运动的基本形式转动后的角分线：转动前的角分线：转动后与转动前角分线之差：62 式中表示方法：以第一式为例，下标x表示转动轴的方向是沿x轴的方向，按右手法则垂直于oyz平面，xyz排序为正（右手法则），xzy为负（右手法则）。同理可得：§3-5流体微元运动的基本形式3、角转动和角转速63 4、描述流体微元运动形式的独立分量流体微元运动除平移外，还有线变形、角变形与角转动，在一般情况下需有九个独立分量来描述，即：有明确的物理意义，因此用九个分量可以确定地描述流体微元的运动形态。这九个分量又是由三个速度分量的九个微分分量组合而成：§3-5流体微元运动的基本形式64 3-5-2Hemholtz速度分解定理流体微元内任意相邻两点的速度关系分析以速度在x方向的分量为例，改用流体微元运动基本形式的组合来表示如下：§3-5流体微元运动的基本形式65 3-5-2Hemholtz速度分解定理上述三式称为亥姆霍兹速度分解定理。式中：等号的右边第一项为平移速度；第二项为线变形引起的速度增量；第三、四项为角变形引起的速度增量；第五、六项为转动引起的速度增量。同理：§3-5流体微元运动的基本形式66 §3-6无涡流(无旋流)和有涡流(有旋流)§3-6无涡流(无旋流)和有涡流(有旋流)按流体微元有无转动运动，可将流体运动分为无涡流和有涡流。无涡流或无旋流（IrrotationalFlow）：流体微元的角转速等于零的流体运动，即凡是质点速度场不形成流体微元转动的流体运动。有涡流或有旋流（RotationalFlow/Vortex）：流体微元的角转速不等于零的流体运动，即凡是质点速度场形成流体微元转动的流体运动。无涡流有涡流67 3-6-1无涡流•速度势（有势流）上式是某一函数的全微分的必要和充分条件。因此对无涡流必然存在标量函数φ，满足下列关系：由上式可知φ称为速度势(velocitypotential)(函数)，即无涡流的速度矢量是有势的。所以无涡流又称有势流（PotentialFlow）。若x=y=z=0，则流动为无旋流§3-6无涡流(无旋流)和有涡流(有旋流)68 3-6-2有涡流1、涡线•涡管•涡旋断面•元涡•涡通量(1)涡线(vortexline)：就是这样的曲线，对于某一固定时刻而言，曲线上任一点的角转速方向与曲线在该点的切线方向重合。涡线的微分方程若x、y、z中任一个或全部不等于零的流体运动，绕自身轴有旋转的运动。§3-6无涡流(无旋流)和有涡流(有旋流)涡线69 (2)涡管(vortextube)：在流场中任意取非涡线且不自相交的封闭曲线。从这封闭曲线上各个点绘出涡线，组成封闭管状曲面。涡束(vrotexfilament)：涡管内(绕着涡线作旋转运动)的流体。§3-6无涡流(无旋流)和有涡流(有旋流)1、涡线•涡管•涡旋断面•元涡•涡通量涡管（3）涡旋断面(vortexsurface)：在涡束上取一横在所有各点上都和涡线正交，这一横断面。元涡(elementvortex)：无限小的涡旋断面的这种涡束。（4）涡通量(vortexflux)（涡强)：涡旋断面面积和两倍角转速的乘积，以I表示为：式中：Ω称为旋度或涡量(vorticity)：为微元角转速的两倍。涡旋断面面积A为有限的涡束的涡通量为：70 2、速度环量斯托克斯定理沿整个线段l，从曲线A点到B点的速度环量，可根据曲线积分求出。设在流场中，在某一瞬时做任意一曲线AB，线段长度为l，曲线AB上任一点M的速度为u，在该点附近可作线段l的切线s，速度u与切线s的夹角为α。在M点附近，在切线上取一微小线段ds，在曲线上取一微小线段dl与ds是重合的。将速度u投影到切线s方向，然后再乘以微小线段dl的长度，这样一项乘积称为沿微小线段dl的微小速度环量：§3-6无涡流(无旋流)和有涡流(有旋流)（1）速度环量（velocitycirculation）71 沿封闭曲线的速度环量(即速度在封闭曲线切线上的分量沿该封闭曲线的线积分)为：§3-6无涡流(无旋流)和有涡流(有旋流)对有势流动，沿封闭曲线的速度环量为：当φ时空间坐标的单值函数时，Γ=0。由此可见，对单连通域，可以用速度环量是否为零来判定流动是否有势或有旋。2、速度环量斯托克斯定理72 （2）斯托克斯定理（Stokes’Theorem）§3-6无涡流(无旋流)和有涡流(有旋流)在单连通域上，沿封闭曲线L的速度环量Γ等于通过由该曲线L所围面积A的涡通量I。其中：环量积分方向———使所围面积在曲线的左侧；面积A的法线n方向——与曲线积分方向成右手螺旋关系。即：斯托克斯定理给出了通过分析速度环量来研究涡流的方法，涡不易测定，而速度的测定方法较多，且测量精度较高。2、速度环量斯托克斯定理73 思考题2、粘性流有可能是无旋流吗？为什么？1、什么是有旋流、无旋流？它们各有什么特点？可能；粘性可忽略的情况注意：无旋流一般存在于无粘性理想流体中。有旋流一般存在于有粘性实际流体中，但在粘性流体中的层状渗流看成无旋流。思考题7474 本章小结本章小结一、基本概念1、基本概念及其性质（1）流线及其性质：a、同一时刻的不同流线，不能相交。b、流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。c、流线簇的疏密反映了速度的大小。（2）流体微元运动的基本形式：平移、转动和变形三种。（3）涡线：在某一固定时刻，曲线上任一点的角转速方向与曲线在该点的切线方向重合。75 本章小结本章小结2、描述流体运动的两种方法（拉格朗日法和欧拉法）——当地加速度，——迁移加速度，，恒定流。，均匀流。欧拉加速度：76 3、流体的流动分类及其判别（1）流态层流有序紊流（湍流）无序、紊乱（2）随时间变化恒定流（定常流）：非恒定流：（3）随流程变化均匀流：非均匀流渐变流（缓变流）：接近均匀流急变流：加速度惯性力不可忽略。本章小结本章小结7777 （4）空间坐标一元流：流速沿一个运动方向，流速用断面平均V表示。二元流：ux，uy，uz中必有一项为0。三元流：u(x,y,z,t)，ux·uy·uz≠0（5）角转速1）有旋流（涡流）2）无旋流（势流、有势流）本章小结本章小结7878 二、基本方程及其应用：迹线方程：——t为自变量流线方程：——t为参数无旋势流：xzy记忆法则本章小结本章小结7979 连续性方程通式：不可压缩：条件：a无任何条件；b不可压缩，其余不限。本章小结本章小结8080 本章小结三、解题方法1、求迹线方程：t为自变量，消除积分常数时保留t。2、求流线方程：t为参数，消除积分常数时同时消除t。3、判别可压缩性：为不可压缩流体。判别流动是否可能发生（是否满足连续性方程）：则流动可能发生。本章小结81 本章作业本章作业pp.111-1133-2；3-3；3-4；3-8（选做2小题）；3-9；3-10；3-12；3-14；3-16；3-19；3-20（选做3小题）；本讲结束82'