水力学-肖明葵-重庆大学出版社

'水力学肖明葵主编重庆大学出版社 内容提要本书根据土木工程学科水力学课程基本要求,以及国家注册结构工程师流体力学考试大纲编写,适用于土建类的土木工程、交通土建工程、建筑工程、地下建筑工程、地质与环境工程等专业,参考学时50～60学时。全书阐述了水力学的基本概念、基本理论及工程应用。主要内容包括:水静力学、水动力学基础及水动力学三大方程,水流阻力和水头损失,孔口、管嘴出流和有压管流,明渠流动,堰流、渗流,以及量纲分析和相似原理。本书可作为土木工程专业的水力学教材,以及全国注册结构工程师基础考试中流体力学考试部分的参考书,也可供有关的工程技术人员参考。图书在版编目(CIP)数据水力学/肖明葵主编.—重庆:重庆大学出版社,2001.12土木工程专业本科系列教材ISBN7-5624-2374-1Ⅰ.水...Ⅱ.肖...Ⅲ.水力学—高等学校—教材Ⅳ.TV13中国版本图书馆CIP数据核字(2001)第091367号水力学肖明葵主编责任编辑彭宁*重庆大学出版社出版发行新华书店经销印刷厂印刷*开本:787×10921/16印张:000字数:000千2001年12月第1版2001年12月第1次印刷印数:1—5000ISBN7-5624-2374-1/TV13定价:00.00元 前言水力学是土建类各个专业的一门重要技术基础课,也是土木工程专业技术人员必需的基础理论知识。水力学研究以水为代表的流体的机械运动规律及其在工程中的应用。本书根据原国家教委高等学校工科力学课程指导委员会审定的水力学教学基本要求,以及全国注册结构工程师流体力学考试大纲,按照土木工程类路桥、工业与民用建筑、地下工程等专业50～60学时水力学课程教学基本要求编写的。本书系统地阐述了水力学的基本概念、基本理论和工程应用,全书共分为九章,主要内容包括绪论、水静力学、水动力学基础、水流阻力及水头损失、有压管道恒定流、明渠流、堰流、渗流、相似原理与量纲分析。本书各章后均编有思考题及习题,以便于读者加深对基础理论的理解。参加本书编写工作的有肖明葵(1、3、4、8章),邹昭文(2、5、6、7章),程光均(9章),本书由肖明葵主编。从教材编写大纲的制订,以及教材各章节的编写,都是在范世轼老师的悉心指导下完成的。在此,对范世轼老师在本书编写过程中的悉心指导以及所提出的宝贵意见和修改建议,对本书的编写所付出的心血和辛劳,致以衷心的感谢。本书插图由编者单位硕士研究生绘制,在此,向他们表示感谢。同时,谢谢各位关心本书编写的老师及同志们。由于编者水平有限,书中缺点和错误在所难免,恳请读者批评和指正。编者2001年5月 目录第1章绪论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11.1水力学的任务⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11.2液体的连续介质模型⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21.3液体的主要物理性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21.4作用在液体上的力⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8思考题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9第2章水静力学⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯112.1静水压强特性⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯112.2液体的平衡微分方程及其积分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯122.3质量力只有重力时水静力学基本方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯142.4液体测压计原理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯192.5作用在平面上的静水总压力⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212.6作用在曲面上的静水总压力⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯26思考题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯28习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯29第3章水动力学基础⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯363.1描述液体运动的两种方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯363.2液体运动学的几个基本概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯383.3液体运动的分类⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯413.4液体恒定一元流动的连续性方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯433.5连续性微分方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯453.6理想液体的运动微分方程(欧拉运动微分方程)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯473.7理想液体运动微分方程的伯诺里积分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯483.8重力作用下理想液体元流的伯诺里方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯493.9理想液体元流伯诺里方程的物理意义与几何意义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯493.10实际液体元流的伯诺里方程,总水头线,测压管水头线及其坡度⋯53·Ⅰ· 3.11实际液体总流的伯诺里方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯563.12恒定总流的动量方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯65思考题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯71习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯72第4章流动型态、水流阻力和水头损失⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯804.1水流阻力与水头损失分类⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯804.2实际液体流动的两种型态⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯824.3均匀流基本方程、均匀流沿程水头损失的计算公式⋯⋯⋯⋯⋯⋯854.4圆管中的层流运动⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯874.5液体的紊流运动⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯904.6圆管中的紊流⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯914.7圆管有压流的沿程阻力系数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯954.8局部水头损失⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1044.9绕流阻力及升力⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯112思考题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯115习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯116第5章孔口、管嘴出流和有压管流⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1205.1液体经薄壁孔口的恒定出流⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1205.2液体经管嘴的恒定出流⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1235.3孔口、管嘴的非恒定出流⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1255.4短管的水力计算⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1265.5长管的水力计算⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1325.6管网水力计算基础⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯143思考题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯149习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯149第6章明渠恒定流⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1576.1概述⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1576.2明渠均匀流⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1586.3明渠非均匀流的断面单位能和临界水深⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1676.4临界底坡、陡坡、缓坡⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1706.5明渠非均匀流的急流、缓流的判别准则⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1726.6棱柱形渠道渐变流水面曲线类型⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1736.7棱柱形渠道中恒定渐变流水面曲线的计算⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1796.8跌水和水跃⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯183思考题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯191习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯192·Ⅱ· 第7章堰流⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1967.1概述⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1967.2堰流的水力计算公式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯197思考题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯205习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯205第8章地下水动力学基础⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2068.1概述⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2068.2渗流基本定律⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2068.3地下水的均匀流与非均匀流⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2098.4集水廊道的渗流计算⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2158.5单井的水力计算⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2168.6井群的水力计算⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯220思考题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯223习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯223第9章量纲分析和相似原理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2279.1量纲分析的概念和量纲和谐原理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2279.2量纲分析法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2299.3流动相似的概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2329.4相似准则⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2339.5模型实验⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯236思考题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯239习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯239习题参考答案⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯241参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯248·Ⅲ· 第1章绪论1.1水力学的任务水力学是用实验和理论分析的方法研究以水为代表的液体平衡和机械运动的规律及其在工程中应用的一门科学。自然界的物质以三种形式存在,即固体、液体和气体。液体和气体统称为流体。从力学分析的意义上看,水作为一种流体,在其运动的过程中,表现出与固体不同的特点,其主要差别在于它们对外力的抵抗能力不同。固体由于其分子间距离很小,内聚力很大,所以它能保持一定的形状和体积,能抵抗一定量的拉力、压力和剪切力。而流体则由于分子间距离较大,内聚力很小而几乎不能承受拉力;运动的液体具有一定的抗剪切的能力,但静止的液体则不能抵抗剪切力,即使在很小的剪切力作用下,静止液体都将发生连续不断的变形运动,直到剪切力消失为止,这称为流体的易流动性。液体与气体两者的差别在于液体分子内聚力比气体分子内聚力大得多,因此,气体易于压缩,而液体难于压缩。但是,当所讨论的气流流速远小于音速时,气体的密度变化很小,气流的运动规律与水流相同,因而水力学的基本原理也适用于气体。本课程的主要内容包括三大部分:一、水静力学,研究液体平衡的规律,即液体处于静止状态时,作用于液体上各种力之间的关系;二、水动力学,研究液体处于运动状态时,作用于液体上的力与各运动要素(例如速度、加速度等等)之间的关系,液体的运动特性以及能量转换规律等;三、土建工程中的水力计算问题,例如管流、明渠流、堰流以及地下水的水力计算等。水力学是力学的一个分支,在研究水力学问题时,需要应用物理学和理论力学中关于物体平衡及运动规律的理论,如力系的平衡理论,动量定理和动能定理等等。液体处于平衡状态时,各液体质点间不存在相对运动,作用于液体上的各种力遵循力系的平衡理论;液体处于运动状态时,其动量及能量均发生变化,这些变化遵循物理学中的动量定理和动能定理这些普遍原理。因此,物理学和理论力学是学习水力学的必要的基础课。水力学在许多工程问题中都有着广泛的应用,在土建工程中也会碰到大量与液体平衡及运动规律有关的工程技术问题。例如:城市生活及工业用水的给排水问题,涉及到需要解决诸如取水口的布置、管路布置、水管直径及水塔高度的计算,水泵功率、井的产水量等一系列水力学的问题;在铁路、公路、桥梁、航道及港口建设中,又需讨论桥涵孔径设计、路基排水、隧道通风及排水等水力学的计算问题;在房屋建筑工程中,还会遇到地下水的运动,基础和围堰的渗流等问题;在风工程中,会遇到风荷载对构筑物的作用以及风的运动规律及其特性等等问题,由于风属于低速气流运动(12级台风风速仅约30m/s),所以,除注意气体与液体的物理参数·1· 水力学不同外,完全可以应用水力学的知识加以讨论。因此,水力学是高等工科院校土建类专业的一门重要的技术基础课。1.2液体的连续介质模型液体由大量的不断作无规则热运动的分子所组成,从微观的角度看,分子之间的真空区随机地变化,并且,其尺度远大于分子本身的尺度,因此,液体分子运动的物理量(如流速、压强等)的空间分布是不连续的。又由于液体分子运动的随机性,其运动物理量在时间过程中也是3不连续的。但从宏观的角度看,液体分子的体积极小,在标准状态下,每1cm的水,约有3.3422-8×10个水分子,分子之间的间距约为3×10cm。如此众多而密集的水分子,各自作不规则的随机运动,导致分子之间不断地发生碰撞,从而进行充分的能量和动量交换。因此,液体的宏观运动体现了众多液体分子微观运动的统计平均状况,而明显地呈现出均匀性、连续性和确定性。水力学是从宏观的角度去研究液体的机械运动。由于在工程实际问题中,所涉及的液体运动的特征尺度及特征时间远远大于分子间距及分子碰撞时间,个别分子的行为,几乎不影响大量液体分子统计平均后的宏观物理量(如质量、速度、压力等)。因此,从宏观角度去研究液体运动能够满足工程问题所要求的精度。在水力学中假定液体属连续介质,即认为液体所占据的空间完全由液体质点所充满而没有任何空隙,液体质点在时间过程中作连续运动。液体质点,是指微观上足够大而宏观上又充分小的液体分子团。微观上足够大是指液体分子团内包含足够多的分子,从而它们的运动物理量的统计平均值是一个稳定的数值;宏观上充分小是指分子团的宏观尺寸远远小于所研究问题的特征尺度,使得分子团内各分子的物理量可以看成是均匀分布的,因此,可将它近似地看成是一个几何上没有维度的点。例如,当讨论液体的密度时,若以L1表示分子运动的尺度,以L3表示所讨论的问题的特征尺度,那么,若分子团的尺度取得太小,小到与L1同数量级时,分子团中只有少数几个分子,由于分子运动会使分子团内的分子数目随机地变化,分子数目的微小增减都会使分子团的密度值产生明显的变化;反之,若分子团的尺度取得太大,大到与L3同数量级时,则物质分布的不均匀性也将使分子团内各处的密度不同。因而,这两种情形,都得不到分子团密度的稳定统计平均值,只有当分子团的尺度L2小于L3而大于L1,即保证其微观上足够大而宏观上充分小时,其密度值才是稳定不变的。采用连续介质假设,就可以应用连续函数的数学分析工具有效地描述液体的平衡和运动的规律。连续介质假设是水力学中第一个基本假设,本书的所有论述均以该假设为基础。顺便指出,对大多数气体运动问题,也采用了连续介质假设。1.3液体的主要物理性质液体机械运动的规律不仅与作用于液体的外部因素及边界条件有关,而更主要地是取决于液体本身所具有的物理性质。在水力学中常常涉及的液体的主要物理性质有密度、重度、粘·2· 第1章绪论度,压缩性、表面张力和汽化等等。下面分别讨论这些物理性质。(1)密度和容重液体与任何物体一样,具有惯性。惯性是指物体保持原有运动状态的特性。惯性的大小以质量来度量,质量越大的物体,惯性也越大。液体密度是指单位体积液体所含有的质量,以符号ρ表示。若一均质液体质量为M,体积为V,则其密度为ρ=M/V(1.1)333密度的量纲为〔M/L〕(L表示长度),国际单位为千克/米(kg/m)。液体的密度随温度和压强而变化,在压强变化不太大时,密度主要随温度而变化,在土建工程中的大多数水力计算问题中,通常视密度为常数,采用在一个标准大气压下,温度为4℃时的蒸馏水密度来计算,33此时,ρ=1000千克/米(kg/m)。液体还具有万有引力特性。在水力学中所涉及的万有引力就是重力。一质量为M的液体,所受重力的大小为:G=Mg(1.2)2式中g为重力加速度。在本课程中采用g=9.8m/s。液体的容重(又称:重度)是指单位体积液体所具有的重量,以γ表示。一重量为G,体积为V的均质液体,其容重为:γ=G/V(1.3)或γ=mg/V=ρg(1.4a)则:ρ=γ/g(1.4b)33333容重的量纲为[F/L](F表示力),国际单位为牛/米(N/m),或千牛/米(kN/m)。不同液体的容重是不相同的。纯净的水在一个标准大气压条件下,其密度和容重随温度而变化,其变化值如表1.1所示。表1.1水的密度和容重(标准大气压下)t/℃0°4°10°20°30°-3密度/kg·m999.871000.00999.73998.23995.67-3容重/N·m9798.739800.009797.359782.659757.57t/℃40°50°60°80°100°-3密度/kg·m992.24988.07983.24971.83958.38-3容重/N·m9723.959683.099635.759523.949392.12在土建工程中的水力计算问题常视容重为常数,取在一个标准大气压下,4℃的蒸馏水容333重γ=9800牛/米(N/m),水银容重取为γ=133280N/m。表1.2几种常见液体的容重γ值(标准大气压下)流体名称空气水银汽油酒精四氯化碳海水-3容重/N·m11.821332806664～73507778.3156009996-10084测定温度/℃20°0°15°15°20°15°·3· 水力学(2)粘性与粘性系数1)粘性水具有易流动性,这说明静止的液体没有抵抗剪切变形的能力。但是对于运动的液体,当液体质点之间存在着相对运动时,则质点之间会产生内摩擦力抵抗其相对运动,即,运动的液体具有一定的阻抗剪切变形的能力,这种特性称为液体的粘性或粘滞性。运动液体的内摩擦力由分子内聚力和分子间的动量交换产生。液体分子间的内聚力随温度增高而减小,分子的动量交换则随温度升高而增大,但是,液体分子的动量交换对液体粘性的影响不大。所以,液体的温度增高时粘性减小。气体的粘性则主要由分子间的动量交换产生,温度增高时,动量交换加剧,因此,气体粘性随温度增高而增大。2)粘性对液体运动的影响如图1.1所示,液体沿一个固体平面壁作平行的直线运动,设液体质点是有规则地一层一层向前运动而不相互混掺(称为层流运动,在后面的章节中将详述层流运动及其特性)。由于液体具有粘性,因而各液层的流速不相等,最底层的液体分子由于粘性的作用而粘在固体边界上不动,以后各层的质点离开固体边界越远,受固壁的约束作用越小,因而流速越大,但在液体的表面,液体质点与空气接触,空气阻力的作用使得液面层质点的流速略为减小,因而,如图1.1(a)所示,在垂直于固壁边界的y方向上,液体的速度分布是不均匀的。设距固体边界为y处的流速为u,在相邻的y+dy处的流速为u+du,由于两相邻液层的流速不同,在两液层之间将成对出现切向阻力,如图1.1(b)所示。(为便于清楚地标示两切向阻力的作用面,图中将相邻两液层拉开一距离画出),阻碍两相邻流层的相对运动的切向阻力称为粘滞力或粘性力,或称为内摩擦力。下面一层液体对上面一层液体作用了一个与流速方向相反的内摩擦力,而上面一层液体对下面一层液体则作用了一个与流速方向一致的内摩擦力,这两个内摩擦力大小相等、方向相反。作用在上面一层液体上的内摩擦力有减缓其运动的趋势,作用在下面一层液体上的内摩擦力有加速其流动的趋势。在流动过程中,由于内摩擦力要作功,因此,必然会有机械能的损失,这将在后面的章节中详细讨论。图1.13)粘滞力由对水所作的实验知,相邻液层接触面的单位面积上所产生的粘滞力(或内摩擦力)τ的大小与两液层之间的速度差du成正比,与两液层之间的距离dy成反比,可以表示为:duτ=μ(1.5)dy式中τ———单位面积上的内摩擦力,称为内摩擦切应力;μ———动力粘滞系数,其值随流体种类及温度、压强的不同而异;·4· 第1章绪论du———称为流速梯度,是两液层流速差与距离的比值。dy①流速梯度的物理意义、牛顿内摩擦定律在层流中取出一高度为dy的矩形微元体来研究。如图1.2所示。设在瞬时t,矩形微元体位于ABCD处,经过dt时段,运动到新的位置A′B′C′D′,由于该液层的上、下两表面存在着流速差du,微元体在新位置由原来的矩形变为平行四边形,即产生了剪图1.2切变形(或角变形),AC边及BD边都转动了dθ角,以dt除dθ,可dθ得剪切变形速度为。在dt时段内,C点较A点多移动了距离dudt。因为dt为微分时段,角dt变位dθ亦为微量,故:dudtdudθdθ≈tan(dθ)=∴=(1.6)dydydt即:流速梯度的大小反映了角变形速度,单位为1/秒(1/s)。于是公式(1.5)又可写为:dθduτ=μ=μ(1.7)dtdy式(1.5)及式(1.7)均称为牛顿内摩擦定律的表达式,它表明液体作层流运动时,内摩擦切应力的大小与剪切变形速度成正比。②动力粘滞系数μ动力粘滞系数μ又称为粘性系数或动力粘度,由式(1.5)可得:duμ=τ/()dy即:μ表示单位角变形速度所引起的内摩擦切应力。液体的粘性以粘性系数μ度量,粘性大的液体μ值大,粘性小的液体μ值小。μ的国际制22单位为牛顿·秒/米(N·s/m)或帕斯卡·秒(Pa·s)。③运动粘性系数为能综合反映液体的粘性和惯性性质,引入运动粘性系数ν,ν是动力粘性系数μ和液体密度ρ的比值,μν=(1.8)ρ2因为ν不包含力的量纲,而仅具有运动量的量纲(L/T),故称ν为运动粘性系数,它的国际制2222单位为米/秒(m/s),习惯上把1厘米/秒(cm/s)称为1“斯托克斯”。其换算关系为:2“1斯托克斯”=0.0001m/s对于同一种液体,μ和ν通常是压力和温度的函数,压力的影响很小,主要对温度的变化较为敏感。水的运动粘性系数一般按下列经验公式计算:0.01775ν=2(1.9)1+0.0337t+0.000221t2其中t为水温,以℃计,ν的单位为cm/s。工程上应用可直接查表1.3所列的不同温度时水的ν值。例1.1试求水温为21℃时水的运动粘性系数ν和动力粘滞系数μ。·5· 水力学解求ν和μ可以采用式(1.9)计算或者查表1.3,进行线性内插求得水温为21℃时的ν和μ,0.017750.017752ν=2=2=0.00983m/s1+0.0337t+0.000221t1+0.0337×21+0.00021×212μ=ρν=9.8×0.0983=0.0963N·s/m查表1.3,t=20℃时,ν=0.01010,t=22℃时,ν=0.0989,由线性内插得:t=21℃时,ν=220.009999m/s,相应的μ=9.8×0.009999=0.09899N·s/m表1.3不同水温时的ν值温度/℃0°2°4°6°8°10°12°2-1ν/cm·s0.017750.016740.015680.014730.013870.013100.01239温度/℃14°16°18°20°22°24°26°2-1ν/cm·s0.011760.01180.010620.010100.009890.009190.00877温度/℃28°30°35°40°45°50°60°2-1ν/m·s0.008390.008030.007250.006590.006030.005560.004784)牛顿流体与非牛顿流体牛顿内摩擦定律有其适用范围,仅适用于一般流体(例如水、空气等),而对于某些特殊流体是不适应的。根据流体的内摩擦力是否符合牛顿内摩擦定律,划分牛顿流体与非牛顿流体两类。内摩擦力符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体,否则为非牛顿流线。其主要差别如图1.3所示。du从图中可知,在温度不变的条件下,牛顿流体的τ与为dy图1.3一斜率不变的直线,说明其剪切应力与剪切变形速度成正比,并且,当剪切变形速度为零时,内摩擦切应力也为零。其余的曲线都表示非牛顿流体,其中理想宾汉型流体(这类流体包括泥浆、血浆等)只有当切应力达到du某一值时,才开始剪切变形,但τ与的关系为线性的;假塑性流体(这类流体包括尼龙、橡胶dydu溶液、颜料、油漆等)及膨胀性液体(如生面团,浓淀粉糊等)的τ与的关系均是非线性的。dy本书只讨论牛顿流体。5)理想液体模型粘性是实际流体所固有的物理属性,它对流体运动有着不容忽视的重要影响。由于流体运动的复杂性,理论分析和数学求解非常困难。为简化分析工作,提出“理想流体”的概念。理想流体是指无粘性的流体简化模型,即设μ=0的流体。水力学的研究方法是首先对理想液体的运动进行理论分析,然后再用实验研究去检验并修正由于没有考虑粘性所引起的理论分析结果的误差。(3)液体的压缩性和不可压缩液体模型液体不能承受拉力,但可以承受压力。液体受压而宏观体积减小,密度增大,去掉压力则·6· 第1章绪论能消除变形而恢复原有体积和密度,这种性质称为液体的压缩性。当温度升高时,液体体积增大,这称为液体的膨胀性。液体的压缩性以体积压缩系数β度量。若压缩前液体的体积为V,压强增加Δp以后,体-ΔV积减小-ΔV,则其体积应变为。体积压缩系数定义为:VΔVVβ=-(1.10)Δpβ越大,表明液体越易压缩。因液体的体积随压强增大而减小,ΔV与Δp的符号相反,故式22(1.10)右端有一负号,而β保持为正值。β的单位为米/牛顿(m/N)。体积弹性系数(弹性模量)K是体积压缩系数的倒数,即:1ΔpK==-(1.11)βΔVV22K的单位为牛/米(N/m)。不同种类的液体具有不同的β值和K值。同一种液体,β值和K值随温度和压强略有变化。-92水的压缩性很小,当压强在1～100个大气压范围内,β=0.52×10m/N,即,每增加一1个大气压,水体积相对压缩量只有。工程上一般都忽略水的压缩性,视水的密度和容重20000为常数。但在某些特殊情况下,如讨论管道中的水击问题时,由于压强变化很大,则要考虑水的压缩性。1水的膨胀性也很小,每增加1℃水温,体积相对膨胀率小于,因此,在温度变化不大1000的情况下,一般不考虑水的膨胀性。忽略其压缩性的液体称为不可压缩液体,这又是一种简化分析模型,称为“不可压缩液体模型”。(4)表面张力与表面张力系数液体自由表面在分子作用半径一薄层内,由于分子引力大于斥力而在表层沿表面方向产生的拉力,称为表面张力,液体在表面张力作用下具有尽量缩小其表面的趋势。表面张力很小,一般情况下可忽略不计,仅当研究某些特殊问题时,如微小液滴的运动,水深很小的明渠水流和堰流等,其影响才不能忽略。表面张力的大小,用表面张力系数σ度量。σ是指自由表面单位长度上所受的拉力,单位为牛顿/米(N/m)。σ的值随液体种类和温度而变化,在20℃时,对于水σ=0.074N/m,对于水银σ=0.54N/m。细口径管子中的液体表面张力的影响十分显著,可从图1.4所示水力学试验中看到。将直径很小,两端开口的管子插入盛水或水银的容器中,由于表面层液体分子的表面张力作用,以及液体分子与固体壁的附着力的相互作用而发生毛细管现象。毛细管升高值h的大小与管径大小以及液体的性质有关。对于20℃的情况下,直径为d的玻璃管中的水面高出容器水面的高度h约为:·7· 水力学29.8h=(mm)d对于水银,玻璃管中汞面低于容器汞面的高度h约为:10.15h=(mm)d图1.4由此可见,管径越小,则毛细管升高值h越大,为避免由于毛细现象影响而使测压管读数产生误差,所选用的测压管的直径不应小于1cm。1.4作用在液体上的力无论是处于静止状态或运动状态的液体,都受到各种力的作用。作用于液体上的力,按其物理性质可以分为重力、惯性力、压力、内摩擦力和表面张力等等。在水力学中,通常把这些力分为表面力和质量力两大类。(1)表面力水力学中讨论问题往往需要从液体中分离出一封闭表面所包围的液体,作为隔离体进行分析。作用在隔离体表面上的力称为表面力,它是相邻液体或其他介质的作用结果。由连续介质假设,表面力连续分布在隔离体的表面上,表面力的大小与作用面面积成正比。常用单位面积上所受的表面力,即应力的概念进行分析。通常,将表面力分解为垂直于和相切于作用面的法向力和切向力。1)法向力法向力是指垂直于隔离体表面的表面力。由于液体不能承受拉力,故法向力只能是压力,单位面积上的压力称为压应力或压强。如图1.5所示,在隔离体表面上取包含A点的微小面积Δω,作用在Δω上的法向力为ΔP,则在微小面积Δω上的平均压强为:ΔPp=(1.12)Δωp反映了受压面Δω上压强的平均值。根据连续介质的概念,令Δω→0,图1.5对上式取极限,则得A点处的压强力:ΔPp=lim(1.13)Δω→0Δω2)切向力切向力指与作用面平行的力,切向力与液体的粘性有关,对于层流而言,切向力就是内摩擦力,如图1.5所示,作用在Δω上的切向力为ΔT,则A点的切应力为:ΔTτ=lim(1.14)Δω→0Δω对于静止液体,液体间没有相对运动,而对于理想液体,忽略粘性,即μ=0,所以,切向力均为零,即τ=0。这两种情况下,作用在Δω上的表面力就都只有法向力ΔP。22表面力的国际制单位是牛(N),压强p及切应力τ的国际制单位是牛/米(N/m),或称·8· 第1章绪论2为帕(Pa);表面力的工程制单位是公斤力(kgf),压强p及τ的工程制单位是公斤力/厘米2(kgf/cm)。两种单位制的换算关系为:1kgf=9.8N水力学中规定压强用正号表示。(2)质量力质量力是指作用在隔离体内每个液体质点上的力,其大小与液体的质量成正比。重力、惯性力等都是质量力。若所取的隔离体内的液体是均质的,其质量为M,总质量力为F,则:f=F/M(1.15)2f称为单位质量力,具有与加速度相同的量纲[L/T]。设总质量力在直角坐标轴上的投影分别为Fx,Fy,Fz,记单位质量力f在x、y、z坐标轴上的投影分别为X、Y、Z,则X=Fx/M,Y=Fy/M,Z=Fz/M(1.16)f=Xi+Yj+Zk水力学中常采用的是单位质量力。思考题1.1什么是液体的连续介质模型?1.2静止的液体能否抵抗剪切变形?1.3为什么运动的液体有一定抵抗剪切变形的能力?这种能力以什么形式表现?1.4何谓牛顿内摩擦定律?1.5牛顿流体与非牛顿流体的区别是什么?1.6液体的压缩性与什么因素有关?1.7理想液体模型忽略了什么因素?1.8动力粘性系数及运动粘性系数分别反映液体的什么性质?它们的量纲分别是什么?1.9什么是液体的表面力?什么是液体的质量力?它们的大小分别与什么因素有关?习题31.1体积为4m的水,温度不变,当压强从一个大气压(98kPa)增加到5个大气压时,体积减少1L,求该水的体积压缩系数及弹性系数。1.2要使水的体积缩小1%,该加多大的压强?31.3水在温度18℃时,如容重仍取γ=1000kg/m,求该水的动力粘滞系数μ及运动粘滞系数ν。1.4图示一平板在油面上作水平运动,已知运动速度u=1m/s,板与固定边界的距离δ2=1mm,油的动力粘性系数μ值为1.15N·s/m,由平板所带动的油的运动速度在板的垂直线方向上呈直线分布。求作用在平板单位面积上的粘滞阻力为多少?1.5一滑动轴承,轴的直径d=15cm,轴承宽度b=25cm,间隙t=0.1cm,其中充满润滑·9· 水力学题1.4图题1.5图油,当轴以转速n=180r/min正常旋转时,已知润滑油的阻力损耗的功率为12.7W,求润滑油的粘性系数μ为多大?31.6某种液体的容重为8kN/m,求它的密度。1.7一圆柱形大水箱,直径10m,高5m,上端开口,盛满20℃清水至箱顶缘齐平,如将水加热至100℃,将有多少体积的水从箱顶缘外溢?1.8上端开口的玻璃管,直径为1cm,试计算管中毛细水在20℃时的上升高度h;若玻璃管中改盛汞,试计算因毛细作用而下降的高度h。·10· 第2章水静力学水静力学研究液体在静止状态下的力学规律。静止液体内部各质点之间没有相对运动,隔离体的表面力只有压力;质量力只有重力,重力通常是已知力。压力或压强分布通常未知。因此,水静力学的主要任务是:根据诸作用力的平衡关系研究静水压强的分布规律及其应用(例如,液体测压计原理),进而研究各种固体边壁上静水总压力的计算方法。2.1静水压强特性静水压强有两个特性:一是它的方向和作用面的内法线方向一致;二是任何一点上各个方向的静水压强的大小都相等,与作用面的方位无关。对特性二证明如下:在静止液体中取出一个包括M点在内的微小四面体MABC,如图2.1所示。为方便起见,设其中3个正交面与坐标平面方向一致,棱长分别为dx、dy、dz。四面体的倾斜面面积为dS,以px、py、pz、和pn分别表示3个正交面和斜面ABC上的平均压强。如果当四面体MABC无限地缩小到M时,等式px=py=pz=pn成立,则特性二便得到了证明。为此,用Px、Py、Pz和Pn分别表示垂直于x、y、z的平面及斜面上的图2.1总压力,则有:1Px=dydz·px21Py=dzdx·py2(a)1Pz=dxdy·pz2Pn=dS·pn四面体MABC除了受到上述表面力的作用外,尚有质量力作用,静止液体的质量力为重1力。四面体的体积为dxdydz,液体密度为ρ。令X、Y、Z分别为液体单位质量力在相应坐标6轴方向的分量,则质量力在各坐标轴方向的分量为:·11· 水力学1Fx=ρdxdydz·X61Fy=ρdxdydz·Y(b)61Fz=ρdxdydz·Z6根据力系平衡条件,可分别写出作用在四面体上各力在各坐标轴投影的平衡方程。以X方向为例:Px-Pncos(n,x)+Fx=01式中(n,x)表示倾斜面法向n与x轴的夹角,而Pncos(n,x)=pndScos(n,x)=pn·dydz,2将表达式(a)和(b)中有关方程代入上式中,得:111pxdydz-pndydz+ρdxdydz·X=02261用dydz除上式后,得到21px-pn+ρdxX=03当四面体无限地缩小到M点时,因dx→0,上式中的最后一项便趋于零,于是,得:px=pn同理,在y方向可得py=pn,在z方向可得pz=pn,由此可得:px=py=pz=pn因为n方向是任意选定的,故上式表明,静水中同一点上各个方向的静水压强值均相等,与作用面的方位无关,可以把各个方向的压强均写成p。因此,被视为连续介质的静止液体的压强p只是作用点的空间坐标的连续函数:p=p(x,y,z)2.2液体的平衡微分方程及其积分前面已提到,作用在液体上的力有表面力和质量力。现讨论在平衡状态下,这些力相互之间应满足的关系,即建立表达液体平衡条件的微分方程。(1)液体平衡的微分方程在平衡液体中取出以点Q为中心的直角微小六面体,边长为dx、dy、dz,各边分别与坐标轴平行,如图2.2所示。六面体上的表面力是周围液体对它的压力。设六面体中心点Q(x,y,z)的压强为p,已知压强是空间坐标的连续函数p=p(x,y,z),用泰勒级数展开并忽略级数展开后的高阶微量,dxpdx则ABCD面的中心点M(x-,y,z)的压强pM=(p-·),EFGH面的中心点N(x+2x2dxpdx,y,z)的压强pN=(p+·),由于六面体各受压面积微小,可认为pM、pN为所在平面2x2·12· 第2章水静力学的平均压强,因此,x方向的表面力为1pABCD面上pM=(p-·dx)dydz2x1pEFGH面上pN=(p+·dx)dydz2x此外,作用在微小六面体上的总质量力在x方向的分量为:X·ρdxdydz根据液体平衡条件,各力在x方向的投影代数和应为零,即图2.21p1p(p-dx)dydz-(p+dx)dydz+X·ρdxdydz=02x2x用ρdxdydz除上式,可得出单位质量液体在X方向的平衡方程式:1p同理,在y、z方向可得X-=0ρx1pY-=0(2.1)ρy1pZ-=0ρz式(2.1)称为液体的平衡微分方程,是欧拉(Euler)于1775年导出的,故又称为欧拉平衡微分方程。它指出液体处于平衡状态时,单位质量液体所受的表面力(压力)与质量力相平衡。(2)液体平衡微分方程的积分为了求得平衡液体中任意一点的静水压强p,需将欧拉平衡微分方程进行积分。为此,将式(2.1)中3个方程的等号两端分别乘以dx、dy和dz,然后3式相加,得pppdx+dy+dz=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)xyz上式左边是连续函数p(x、y、z)的全微分dp,于是有dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)(2.2)(2.2)式称为液体平衡微分方程的综合式,当液体所受的质量力已知时,可用以求出液体内的压强分布函数p(x,y,z)。由于不可压缩液体的密度ρ为常量,式(2.2)右边括号内3项总和也应是某一函数W(x、y、z)的全微分,即dW=Xdx+Ydy+Zdz(2.3)而WWWdW=dx+dy+dzxyz从而有WWWX=,Y=,Z=(2.4)xyz满足式(2.3)的函数W(x,y,z)称为力的势函数,具有势函数的质量力称为有势的力。例如,重力、惯性力都是有势的力。可见,不可压缩液体要维持平衡,只有在有势的质量力作用下·13· 水力学才有可能。把质量力用势函数表示,平衡方程(2.2)又可写成:dp=ρdW(2.5)积分,得p=ρW+C(2.6)式中积分常数C由已知边界条件确定。当液体某点的压强p0和势函数W0已知时,代入式(2.6),得C=p0-ρW0于是式(2.6)可写成为p=p0+ρ(W-W0)(2.7)式(2.7)为在具有势函数W的某一质量力系作用下静止或相对平衡的液体内任一点的压强p的表达式。(3)等压面液体中压强相等(p=常数)的点系所组成的面(平面或曲面)称为等压面,例如液体的自由表面,或者处于平衡状态下的两种液体的交界面都为等压面。等压面上任意两点的压强差为零,即dp=0。由式(2.2)可以得出等压面方程为:Xdx+Ydy+Zdz=0(2.8)上式中X、Y和Z是单位质量力F在3个直角坐标轴上的投影,dx、dy和dz是等压面上任意微小曲线段ds在相应坐标轴上的投影。将上式写成矢量方程,则为F·ds=0可见,等压面与质量力F正交。所以,若已知质量力的方向便可求得等压面的方向,反之亦然。例如,质量力只有重力时,等压面与重力加速度方向相垂直,可知等压面为水平面。2.3质量力只有重力时水静力学基本方程(1)水静力学基本方程在质量力只有重力作用下的静止液体内,设直角坐标系如图2.3所示,令坐标面xoy与液面重合,z轴铅垂向上。设液面上的压强为p0,液体质量为M,则单位质量液体的质量力在各坐标轴方向的分量分别为:X=0Y=0Z=-Mg/M=-g所以液体平衡微分方程的综合式可写成dp=-ρgdz=-γdz对于不可压缩液体,γ=常数,积分上式得p=-γz+C′图2.3或写为pz+=C(2.9a)γ·14· 第2章水静力学式中C=C′/γ为积分常数,可由边界条件确定。式(2.9a)即为质量力只有重力时液体平衡微分方程的积分式,称为水静力学基本方程。对于静止液体中任意两点来说,上式可写为p1p2z1+=z2+(2.9b)γγ式中z1、z2分别为任意两点在z轴上的铅垂坐标值,p1、p2分别为上述两点的静水压强。由式(2.9b)可知,当z1p2即位置较低点的压强恒大于位置较高点的压强,说明水深越大的地方,静水压强也越大。若已知某点的静水压强及其位置标高,便可求得液体内其他点的静水压强。对于自由液面(z=0,p=p0),式(2.9b)可写为p=p0-γz(2.10a)式中-z为液体质点在自由液面以下的深度,若采用水深坐标h=-z表示,上式又可写为p=p0+γh(2.10b)这是水静力学基本方程的另一种形式。(2.10b)式中第一项为自由液面的压强,第二项可由γhdω图2.3知,如在水深为h处,取包含某点的A在内的微小受压面dω,则γh=,即γh为Adω点到液面的单位面积上垂直液柱的重量。此式表明:在静止液体中,任一点的压强p是由自由表面上的压强p0与该点到液体自由表面的单位面积上的垂直液柱重量γh之和。该式还表明,位于同一淹没深度的各点静水压强值相等,因而静水中的等压面为水平面。根据静力学基本方程及静水压强的两个特性(即垂直性和各向等值性),可用带有箭头的直线表示压强的方向,用直线的长度表示压强的大小,将作用面上的静水压强分布规律形象而直观地画出来。所画出的几何图形称为静水压强分布图。由水静力学基本方程知:静水压强随水深按线性规律增加,对于受压面为平面的情况,例如图2.4所示的平板闸门AB,可取两压强已知的点:A点,pA=pa及B点:pB=pa+γH,画出它们的压强pA及pB,然后将它们的尾端连一直线DE,即得出整个受压面AB的压强分布图。对于受压面为曲面的情况,要注意到各点的压强均在该点处与受压面垂直,故压强分布图的外包线是曲线,如图2.5所示。如果受压曲面是圆柱面,则各点压强均指向圆柱面的中心轴。图2.4图2.5(2)绝对压强、相对压强、真空压强p的大小根据起量点的不同,分为绝对压强和相对压强。以设想的没有气体分子存·15· 水力学在的绝对真空状态的气体压强为零,以此为起点所度量的压强值称为绝对压强,用符号pabs表示。在土建工程中,水流表面或构筑物表面多为大气压强pa,所以,也可以当地大气压作为度量压强的基准。以当地大气压强为压强零点所度量的压强值称为相对压强,又称为计示压强或表压强,用符号p表示。图2.7表达了绝对压强与相对压强的关系,即:p=pabs-pa(2.11)或pabs=pa+p当液面上为大气压强pa时,用相对压强表示的水静力学基本方程(2.10)便为:p=pabs-pa=(p0+γh)-pa所以p=γh(2.12)当只考虑相对压强时,图2.4及图2.5所示闸门的压强分布图外包线为AC线。图2.6所示受压面为斜面AC及铅垂面CB组成,由于AC面上的C点及CB面上的C点重合且位于同一水深处,因此,C点的相对压强值应相等,均为pc=γh,相对静水压强分布如图所示。绝对压强的数值只可能是正的,而相对压强的数值则可能是正值,也可能是负值。当压强大于当地大气压强时,相对压强为正值(如图2.7中的pA),当压强小于大气压强时,则相对压强为负值(如图2.7中的pB),称为负压。图2.6图2.7在水力学中,当液体的相对压强为负压时,称液体处于真空状态,负压的绝对值称为真空值,用pv表示,pv=|p<0|。由图2.7可见:pv=pa-pabs(2.13)相对压强是相对于当地大气压而言的压强。必须注意,不同的地理位置,当地大气压强是不相等的。所以,在一个方程中,只有当所涉及问题的地理位置差别不大,各点的大气压强基本相等,即度量相对压强的基准可认为相同时,才可采用相对压强计算。(3)压强的计量单位在水力学中常用的压强计量单位有下列3种:22①从压强的定义出发,用单位面积上的力来表示。国际单位为牛/米(N/m),或帕(Pa)。222221Pa=1N/m。工程制单位为公斤力/米(kgf/m),1kgf/m=9.8N/m。②用大气压的倍数表示。在水力学中一般采用工程大气压,一个工程大气压强(相当于海22拔200米的正常大气压)为9.8N/cm,或98kN/m。·16· 第2章水静力学③用液柱高度来表示。常用水柱高度或水银柱高度。将式(2.12)改写成h=p/γ,可见,只要知道液体容重γ,则一定的液柱高度h值对应着一定的压强值。例如,一个工程大气压相应的水柱高度为:2p98000N/mh==3=10m水柱γ9800N/m相应的水银柱高度为:298000N/mhp=3=0.736m汞柱=736mm汞柱133280N/mpv真空压强pv也可表示为液柱高度hv=,hv称为真空度。γ2例2.1如图2.8所示的封闭水箱内,液面的绝对压强为poabs=78.4kN/m,水深h1=0.5m,h2=2.5m。试求:A、B两点的绝对压强,相对压强和真空值。解利用式(2.10)p=p0+γh可求得A、B两点的绝对压强为:2pAabs=p0+γh1=78.4+9.8×0.5=83.3kN/m2pBabs=p0+γh2=78.4+9.8×2.5=102.9kN/m由式(2.11)可求得A、B两点的相对压强为:2pA=pAabs-pa=83.3-98=-14.7kN/m2pB=pBabs-pa=102.9-98=4.9kN/mA点的相对压强为负值,说明A点处于真空状态,其真空值为:图2.82pAv=pa-pAabs=|pA|=14.7kN/m真空度为pAv/γ=1.5m水柱2例2.2若当地大气压强相当于700mm水银柱高,试将绝压强pabs=19.60N/cm用其他不同的单位表示。解先计算当地大气压强。2已知736mm水银柱相当于9.80N/cm的压强,故700mm水银柱高所对应的压强为:42pa=γ汞×h汞=133280×0.7=9.33×10N/m242对于绝对压强pabs=19.6N/cm=19.6×10N/m,改用其他单位表示:①用水柱高度表示3因为γ水=9800N/m419.6×10所以h水=pabs/γ水==20m水柱9800②用水银柱高度表示3因为γ水=133280N/m419.6×10所以h汞=pabs/γ汞==1.47m汞柱133280③用工程大气压表示419.6×10pabs=4=2工程大气压9.8×10若用相对压强表示,则:·17· 水力学2①用N/m表示:2p=pabs-pa=19.6-9.33=10.27N/cm=4210.27×10N/m②用水柱高度表示:4p10.27×10==10.49m水柱γ水9800③用水银柱高度表示:4p10.27×10==0.771m汞柱γ汞133280④用工程大气压表示:410.27×10p=4=1.048工程大气压9.8×10(4)位置水头、压强水头、测压管水头p重力作用下水静力学基本方程z+=c表明:在重力作用下,静止液体中无论哪一点的γp(z+)总是一个常数。下面以图2.9的例子说明水静力学基本方程中各项的意义。γ图2.9所示为一盛水封闭容器,在容器壁上任一点A处接通一两端开口、弯成直角的玻管,玻管上端开口与大气相通,此玻管称为测压管,任选一水平面0-0称为基准面,则zA表示A点相对于基准面的位置高度,称为位置高度或位置水头。物理意义为单位重量液体相对于基准面的位置势能,称为位能。如果A点的压强大于大气压强,则在A点的液体压强pA作用下,容器中的水沿测压管上图2.9升一高度hA,玻管底部的A′点与容器中的A点位于同一水平面上,所以,pA′=pA。测压管液面压强为大气压强,因此,A点的相对压强为:pA=pA′=γhApA或hA=γpA可见:实际上表示了测压管液柱上升的高度,称为压强水头,物理意义是单位重量液体所具γp有的压强势能,称为压能,而(z+)是测压管液面相对于基准面的高度,称为测压管水头,是γ单位重量液体具有的总势能。若在图示容器中另一点B处同样接通一测压管、选相同的基准面0-0,由(2.9b)式可知,pA、B两点处的测压管液面必在同一高度。即在静止液体中各点测压管水头(z+)相等,或γ者说,静止液体中各点单位重量液体的势能相等。·18· 第2章水静力学2.4液体测压计原理测量液体压强的仪器有两类,一类是利用压力与弹簧变形的确定关系所制造的金属测压计,金属测压计所测出的压强值是相对压强值。另一类是液体测压计,它们利用液柱高度来确定液体压强值。常用的测压管或液体压差计有下列几种:(1)测压管最简单的测压管如图2.9所示。当在一个容器中接通一根测压管之后,便可确定容器中任一点的液体压强值。例如:在图2.9中,测量A点或B点的压强就是利用测压管的原理。例2.3一封闭盛水容器如图2.10所示,其测压管中的液面低于容器液面高度h=2m,试求液面的绝对压强、相对压强和真空值。解测压管液面接大气,其延长面N-N为等压面,因而,N-N面上各点的相对压强为零。由水静力学基本方程得:p0+γh=pN=0所以,容器液面的相对压强为:22p0=-γh=-9800×2=-19600N/m=-19.6kN/m液面的绝对压强为22poabs=po+pa=-19600+98000=78400N/m=78.4kN/m其真空值为2pov=|γh|=19.6kN/m图2.10图2.11对于较小的压强值,为提高量测精度,可以用放大标尺读数的办法。方法之一是将玻璃测压管倾斜放置,如图2.11所示,此时标尺读数为l,而压强水头为铅直高度h,所以p=γh=γlsinα(2.14)1即:标尺读值l=h/sinα把h值放大了倍。通过调整倾角α,可以调整放大的倍数。sinα方法之二是在测压管内放轻质而又和水不混掺的液体,其重度γ′<γ水,则同样的压强值p可以有较大的液柱高度h。(2)水银测压计对于较大的压强值,如用上述测压管量测,则需要的玻璃管太长,应用不方便。这时可以·19· 水力学改用容重较大的液体,例如水银,其重度γp>γ水。从而使测压管中液柱高度较小。水银测压计是一根U形玻璃管,两端均开口,其中一端与容器接通如图2.12所示,管内弯曲部分装有水银。在容器内液体压强作用下,若压强大于大气压,则弯管左侧支管的水银面下降,右侧支管的水银面上升,至平衡时为止。为求A点的压强pA,可利用U形管中的等压面1-1,并根据方程(2.10a)及(2.12)分别有:左侧管中:p1=pA+γh1右侧管中:p1=γphp所以pA+γp1=γphp则pA=γphp-γh1(2.15)图2.12图2.13(3)水银压差计用水银压差计可测出液体中两点的压强差或测压管水头差。水银压差计是一U形玻管,如图2.13所示。弯管内装有水银,两支管分别接通测点A、B。用水银柱差hp表示这两点的测压管水头差。以水平面0-0为基准面,并取等压面1-1,则根据静力学基本方程得:左侧管中:p1=pA+γzA+γhp右侧管中:p1=pB+γzB+γphp所以pA-pB=(γp-γ)hp+γ(zB-zA)(2.16)A、B两处的测压管水头差为pApBγp-γ(zA+)-(zB+)=hp(2.17)γγγ如果A和B同高,则pA-pB=(γP-γ)hp(2.18)33若两压源A、B皆为水时,γ=9.80kN/m,而γp=133.28kN/m,则有pApB(zA+)-(zB+)=12.6hp(2.19)γγ上述各种测压计不单可以用来测量静水压强,也可用于测量流动液体中某点的压强,只要使测压管在与流动液体接通处垂直于流速方向,测压管进口方向的流速分量为零,从而测压管内液体仍为静止状态,这样便也可以用来测量动水压强,如以上所述水银压差计,可测得两管流中某点处的压强差。·20· 第2章水静力学例2.4一盛水的封闭容器(图2.14),装有两支水银测压计,已知h1=60cm,Δh1=25cm,Δh2=30cm,求深度h2。解采用相对压强计算。先作N-N等压面求出容器内的液面压强p0=γpΔh1-γh1再作M-M等压面,有p0+γh2=γPΔh2γh2=γpΔh2-p0=γpΔh2-γΡΔh1+γh1最后求得γΡ图2.14h2=(Δh2-Δh1)+h1=γ133.28(0.3-0.25)+0.6=1.28m9.8也可由已知pN=γΔh1及pM=γpΔh2,利用两点压强差公式求解,即:γp(Δh2-Δh1)=γ(h2-h1)γph2=(Δh2-Δh1)+h1γ2.5作用在平面上的静水总压力确定作用在平面上的静水总压力的大小,方向和压力作用点,是许多工程技术上必须解决的力学问题(如分析水池、水坝、闸门、路基等的作用力)。计算静水总压力的方法有解析法和图算法两种。(1)图算法求矩形平面上的静水总压力求解矩形平面上的静水总压力,采用图算法比较简单。使用图算法,需要先绘出压强分布图,然后根据该图计算静水总压力。如图2.15所示为一任意倾斜放置的矩形平面ABEF,平面长为L,宽为b。其顶边在水面以下h1处,底边在水面下h2处。根据静水压强分布规律,考虑相对压强,则液面压强为零,水深为h1的A点处压强为γh1,水深为h2的B图2.15点处压强为γh2,将A、B两点压强以直线直连,则可作出该受压平面的压强分布图如图2.15所示。压强分布图的面积Ω,即为受压面单位宽度上总压力。作用在矩形平面ABEF上的静水总压力的大小等于压强分布图的面积Ω乘以受压面的宽度b:γP=bΩ=(h1+h2)bL(2.20)2·21· 水力学静水总压力P的作用线通过压强分布图的形心,P的方向垂直并指向受压面。因矩形平面有纵向对称轴,P的作用点D(称为压力中心)必位于纵向对称轴0-0上,压力中心D离底点的距离e可由合力之矩定理求得:L2p1+p2L2h1+h2e==·(2.21)3p1+p23h1+h2例2.5路基涵洞进口有一矩形平面闸门(图2.15),长边L=6m,宽度b=4m,倾角α为60°,顶边水深h1=10m,试用图算法求闸门所受静水总压力P的大小和压力中心D。解首先作闸门AB上静水压强分布图(如图2.15所示)。门顶处静水压强为2γh1=9.8×10=98kN/m门底处静水压强为32γh2=γ(h1+lsin60°)=9.8(10+6×)=149kN/m2压强分布图为梯形。压强分布图面积γ1Ω=(h1+h2)L=(98+149)×6=741kN/m22静水总压力的大小为P=b·Ω=4×741=2964kN静水总压力P距门底边的距离:L2p1+p262×98+149e==×=2.79m3p1+p2398+149总压力P距水面的斜距(即压力中心D的位置)yD=(l+h1csc60°)-e=(6+10/0.866)-2.79=14.75m例2.6已知一矩形平面宽b=1.0m,两边水深边h1=3m及h2=2m,如图2.16所示。试用图算法求静水总压力P及其作用点D。解首先绘出静水压强分布图如图2.16所示,图AFBCEA是受压面两侧的压强分布之和。应用公式(2.20)12P=b·Ω=b[γ(h1-h2)+γ(h1-h2)h2]=2122122bγ(h1-h2)=×1×9.8×(3-2)=2224.50kN图2.16P力作用线可由合力之矩定理求得,即121121P·BD=γh1·h1-γh2·h223231γ3319.833BD=·(h1-h2)=×(3-2)=1.27mPb24.506P力作用线通过D点。(2)解析法求任意平面上的静水总压力设液体中有一任意形状的受压平面AB,它位于某一深度处,并与水平面成一倾角α,如图2.17所示,受压平面面积为ω,左侧承受水压力,液面压强为大气压强。·22· 第2章水静力学将坐标平面xoy建于AB所在平面内,该坐标面与液面的交线为ox轴线。图2.17中所示的xoy面是该坐标面与受压平面AB一起绕oy轴旋转了90°的情况。在AB平面内取任一微小面积dω,其中心点M在水面以下的深度为h,作用在dω上的液体压力为dP=pdω=γhdω(2.22)其方向与dω正交且为内法线方向。由于AB为一平面,故每一微小面积上的压力方向都是互相平行的,根据平行力系求和的方法,将各微小面积的压力dP沿整个受压面进行积分求和,则得作用在受压面AB上的总压力为:P=∫dP=∫ωγhdω=∫ωγysinαdω=γsin∫αωydω(2.23)式中的积分∫ydω是面积ω对x轴ω的静面矩,其值等于面积ω与其形心坐标yc的乘积。因此P=γsinα·ycω=γhc·ω=pc·ω(2.24)式中:pc为受压面形心的相对压强;hc为受压面形心在液面下的深度。式(2.24)指出,作用在任意形状平面上的静水总压力P的大小等于该平面的面积ω与其形心处静水压强pc的乘积。可见,形心处的静图2.17水压强就是整个作用面上的平均压强。总压力P的方向沿着受压面的内法线方向。总压力P的作用点(压力中心)D的位置,可利用合力之矩定理求出,即,令液体压力对ox轴取矩:2PyD=∫ydP=∫ωy·γysinαdω=γsin∫αωydω=γsinα·Ix2式中:Ix=∫ωydω为受压面面积对ox轴的惯性矩。γsinαIxγsinα·IxIx所以yD===(2.25)Pγsinα·ycωyc·ω2根据惯性矩的平行移轴定理,有Ix=Ixc+ω·yc,Ixc为该受压面对于通过它的形心c并与ox轴平行的轴的惯性矩,于是2Ixc+ycωIxcyD==yc+(2.26)yc·ωyc·ωIxc由于>0,从式(2.26)可知yD>yc,或hD>hc。ycω同理,对oy轴取力矩,可得压力中心D到y轴的距离xD。在工程实际中,受压平面多是轴对称面(对称轴与oy轴平行),这种情况下,总压力P的·23· 水力学作用点D必位于对称轴上,因此,只需确定yD的值,压力中心D点的位置就确定了。例2.7用解析法求例2.5中的静水总压力P及其作用点。解由式(2.24)求得总压力P的大小为P=pc·ω=γhc·ω式中l6hc=h1+sin60°=10+×0.866=12.60m22所以P=9.8×12.61×4×6=2965kN由公式(2.26),得P力作用点的位置IxcyD=yc+yc·L·b式中lh110yc=+=3+=3+11.5=14.5m2sin60°sin60°1313Ixc=bL=×4×6=72m121272所以yD=14.5+=14.5+0.21=14.71m14.5×4×6例2.8铅直梯形壁面,其顶边与水面齐平,如图2.18所示。试求静水总压力P及其作用点。解由公式(2.24)可求得静水总压力P的大小为ha+2bhP=γhcω=γ·()·(a+b)=3a+b22hγ·(a+2b)bha+2b图2.18式中可由材力知识知:hc=3(a+b)。P力作用点位置由式(2.26)确定,即IxcyD=yc+yc·ωy坐标与水深坐标h同向,因此,yc=hc,又由材力知识知:2213a+4ab+bIxc=h()36a+b1ω=h(a+b)2a+3bh得:yD=·a+b2D点位于对称轴上。例2.9如图2.19所示,已知某小型圆形闸门AB直径d=20cm,水头H=5m,试求闸门所受静水总压力及作用点位置。解作用在闸门AB上的静水总压力P:·24· 第2章水静力学图2.19图2.20P=γhc·ωπ2π22式中ω=d=×0.2=0.0314m44d0.2hc=H-sin45°=5-×0.707=4.929m22故P=9.8×4.929×0.0314=1.52kN设静水压力P的作用点为DIcLD=Lc+Lc·ω4.929式中Lc=hc/sin45°==6.97m0.70722π42LcR0.1-4Ic=R,ω=πR,===0.36×10m4Ic·ω4Lc4×6.97故LD=6.97mP的作用点到铰A的距离a为5-0.1414a=LD-l=6.97-=6.97-6.87=0.1msin45°2.6作用在曲面上的静水总压力工程中承受水压力作用的曲面较多,如水利工程中的弧形闸门、输水管,隧洞进水口,闸墩等等。由于压力垂直于作用面,曲面上各点的静水压力的方向不同,彼此不相平行。因此,求曲面上的静水压力时,一般将它分解为水平方向和铅直方向两分力,分别进行计算。本节主要研究工程中常见的二向曲面(即具有平行母线的柱面)上的静水总压力的计算。·25· 水力学如图2.21所示,二向曲面AB的母线垂直于纸面,母线长(即柱面长)为b,柱面的左侧受有静水压力。设在曲面AB上,水深h处取一微小面积dω,作用在dω的静水压力为:dP=pdω=γhdω该力垂直于微面积dω,并与水平面成夹角θ。将此力分解为水平和铅直两个分力:水平分力为dPx=pdωcosθ=γh·dωz铅直分力为dPz=pdωsinθ=γh·dωx图2.21利用平行力系求合力的方法可分别求出整个曲面上的水平分力Px和铅直分力Pz。上式分别积分,得:Px=∫dPx=γhdωz=γhdωz(2.27)ω∫ω∫ωzzPz=∫ωdPz=∫ωγhdωx=∫γωhdωx(2.28)xx式(2.27)右端的积分等于曲面AB在铅直平面上的投影面积ωz对ox轴的静矩。设hc为ωz的形心在水面下的深度,则∫hdωz=hc·ωz。因此:ωzPx=γhc·ωz式中ωz为曲面AB在铅垂面oyz上的投影面。可见,作用于曲面上静水总压力P的水平分力Px等于作用于该曲面的铅直投影面上的静水总压力。因此,可应用求平面静水总压力的方法求解曲面上静水总压力的水平分力。式(2.28)右端的积分∫ωhdωx代表曲面AB所托起液体的体积,称为压力体。即截面面x积为ABCD、而长为b的柱体体积,以V表示。于是:Pz=∫γhdωx=γV(2.29)ωx即作用在曲面上的静水总压力P的竖直分力Pz的大小等于其压力体的水体重。Pz的作用线通过压力体的重心。Pz的方向取决于液体与受压曲面的相对位置,如图2.22所示,当液体和压力体位于曲面同侧时,Pz向下,此时的压力体称为实压力体。当液体及压力体各在曲面的一侧时,Pz向上,这个压力体称为虚压力体,虚压力体的上表面为自由液面的延伸面。求出了Px和Pz后,便可求出总压力P的大小和方向,即22P=Px+Pz(2.30)和tanα=Pz/Px(2.31)式中α为总压力P的作用线与水平线间的夹角。P的作用线必通过Px和Pz的交点,这个交点不一定在曲面上。例2.10截面形状为3/4个圆的圆柱面abcd,如图2.23所示。半径r=0.8m,圆柱面长为1m,中心点位于水面以下h=2.4m处。求该曲面所受的静水总压力的水平分力和竖直分力的大小。·26· 第2章水静力学图2.22解将受压曲面分为ab,bc及cd三个曲面分别讨论:①水平总压力曲面bc和cd位于相同的水深处,所以它们的水平总压力互相抵消,曲面ab上的水平总压力等于其竖直投影面ao上的静水总压力,其方向向右,大小为:r0.8Px=γ(h-)r·b=9.80(2.4-)×0.8×1.0=2215.7kN②竖直总压力曲面ab上的压力体abgf,其竖直方向的水压力向上,bc上图2.23的压力体cbgf,其竖直方向的水压力向下,cd上的压力体cdef,其竖直方向的水压力向下,将上述三部分曲面上的竖直方向的水压力作代数相加后,总压力体如图中阴影线范围所示,竖直方向的总压力的作用方向向下,大小为:32Pz=γ(hr+πr)·b=4329.8(2.4×0.8+π×0.8)×1.0=33.59kN4例2.11如图2.24所示一封闭水箱,左下端有一四分之一圆的弧形钢板AB,宽(垂直于纸面方向)为1m,半径R为1m,h1=2m,h2=3m。试求钢板AB上所受的水图2.24平分力与垂直分力的大小及方向。解因为容器为封闭水箱,欲求AB上所受静水总压力,则需找到A点及B点处的压强,从而求得AB曲面铅垂投影面形心点的压强,以及该曲面的压力体。为此,在水箱底部接一测压管,水沿测压管上升,测压管液面为自由液面,圆弧形钢板AB上所受的垂直水压力为图示压力体ABB′A′A(虚压力体)的水体重,且方向向上,大小为π2Pz=γV=γ(h2·R·b-·R·b)=4π29.8(3×1×1-×1×1)=9.8×2.215=21.7kN4圆弧钢板AB上所受的水平压力为·27· 水力学11Px=γhc·ωz=γ×(h2-R)·R·b=9.8×(3-)×1×1=24.5kN22方向向左。思考题2.1静水压强有哪些表示方法?2.2在工程上,为什么采用工程大气压计量而不用标准大气压计量?2.3如图所示,开敞容器盛装γ2>γ1的两种液体,问1,2两测压管中的液面分别在哪一高度处?2.4压强分布图与压力体两概念有何区别?实压力体和虚压力体如何构成?2.5如何用图算法对作用在曲面上的静水总压水进行计算?2.6试简述平衡微分方程综合式的物理意义。思考题2.3图2.7试简述水头、位置水头,压强水头、测压管水头的物理意义。2.8水力学中“真空”的概念与物理学中有何区别,真空的大小程度用什么表示?2.9试简述等压面的定义,写出等压面方程并确定其方向。2.10如图(考题思2.11图)所示,盛水的4个容器的底面积ω相同,盛水的高度h也相同,液面均通大气,但由于其形状不同,因此4个容器所容纳的水量各不相同,问水对这4种容器底平面的总压力是否相同?思考题2.11图习题2.1一封闭容器如图所示,测压管液面高于容器液面,h为1.5m,若容器盛的是水或汽3油,求容器液面的相对压强p0。汽油重度取7350N/m。2.2如题2.2图所示封闭水箱两测压管的液面高程为:꯽1=100cm,꯽2=20cm,箱内液面高程为꯽1=60cm。问꯽3为多少?·28· 第2章水静力学题2.1图题2.2图2.3用图示U形管量测A点压强,管右端开口通大气,如果h=1m,求A点的绝对压强2和相对压强,并分别用N/m,m水柱,mm水银柱表示。题2.3图题2.5图222.4某地大气压强为98kN/m,求(1)绝对压强为117.7kN/m时的相对压强及其水柱2高度;(2)相对压强为7m水柱时的绝对压强;(3)绝对压强为68.5kN/m时的真空压强。2.5容重为γ1和γ2的两种液体,装在图示的容器中,各液面位置高度如图所示。若已33知γ2=9.8kN/m,大气压强pa=98kN/m,求γ1及容器底面A点的绝对压强和相对压强。2.6为测定汽油库内油面的高度,在图示装置中将压缩空气充满AB管段。已知油的重3度γ0=6.87kN/m,当h=0.8m时,相应油库中汽油深度H是多少?2.7在封闭水箱中,水深h=1.5m的A点上安装一压力表,其中心距A点为z=0.5m,2压力表读数为4.9kN/m,求水面相对压强及其真空度。2.8图示盛水容器,在容器左侧壁安装一测压管,右侧壁装一U形水银测压计。已知容器中心点的相对压强为0.5大气压,h=0.2m,试求h1和h2。2.9封闭容器中为气体,求A点的真空值。设测压管中的水面高度为hv=2m。32.10图示容器中盛有三种不相混合的液体,其重度分别为γ1=6860N/m,γ2=933800N/m,γ3=15680N/m,在容器右侧壁上安装三根测管E、F、G,左侧壁上安装有U形水银测压计,容器上部压力表的读数为-17200Pa。试求:(1)测压管E、F、G中液面的高程;(2)水银测压计的液面高差hP。(注:不计空气重量)2.11管路上安装一U形测压管,测得h1=30cm,h2=60cm,已知管路中(1)γ为油的容3重,γ油=8.354kN/m,γ1为水银容重;(2)γ为油的容重,γ1为水的容重;(3)γ为气体容重,γ1·29· 水力学题2.6图题2.7图题2.8图题2.9图题2.10图题2.11图为水的容重,试分别求这三种情况下A点压强相应的水柱高度。32.12测定管路压强的U形测压管中,已知油柱高h=1.22m,γ油=9kN/m,水银柱液面高差Δh=203mm,求真空表读数及管内气体压强p0。2.13图示为一测压装置,容器A中水面上压力表M的读数为0.3个大气压,h1=20cm,h2=30cm,h=50cm,该测压装置中U形上部是酒精,其比重为0.8,试求容器B中气体的压强p,γ、γp、γ0分别为水、水银、酒精的重度。2.14图示为倾斜水管上测定压强差的装置,测得z=20cm,h=12cm;当(1)γ1=29.02kN/m为油的容重时;(2)γ1为空气容重时,分别求A、B两点的压强差。·30· 第2章水静力学题2.12图题2.13图题2.14图题2.15图32.15两高度差z=20cm的水管,当γ1为空气或油(γ油=9kN/m)的重度时,h均为10cm,试分别求两种情况下两管的压强差。2.16如图2.16所示,闸门AB宽1.2m,在A点铰接于容器壁上。压力计G的读数是-14700Pa,右边的油箱里是相对密度为0.750的油。问:为使闸门AB处于平衡,必须在B点施加多大的水平力?题2.16图题2.17图2.17复式水银测压计中诸液面高程分别为:꯽1=1.5m,꯽2=0.2m,꯽3=1.2m,꯽4=0.4m,꯽5=2.1m。求水面压强p5。2.18封闭容器水面绝对压强p0=85kPa,中央玻璃管是两端开口的,求玻璃管应伸入水·31· 水力学题2.18图题2.19图面以下若干深度时,则既无空气通过玻璃管进入容器,又无水进入玻璃管?222.19图示供水系统,已知p1=137kN/m,p2=39kN/m,z1=z2=0.5m,z3=3.3m,求闸门关闭时A、B、C和D各点的压强水头。22.20用真空计M测得封闭水箱液面上的真空值为0.98kN/m,敞口油箱中的油面比水箱水面低H=1.5m,水银压差计的读数h2=0.2m,油箱液面高h1=5.61m,求油的容重。题2.20图题2.21图2.21如图所示容器中,两测压管的上端封闭,并为完全真空,测得z1=50mm,求封闭容器中液面上的绝对压强poabs及z2之值。2.22一直径为0.4m的圆柱形容器,水层高h2=50cm,油层高h1=30cm,盖上有荷重3F=5788N,油的容重γ油=7840N/m,求测压计中的汞柱高H。2.23设一受两种液压的平板AB如图所示其倾角α=60°,上部油的深度h1=1.0m,下3部水的深度h2=2.0m,油的容重γ1=8.0kN/m,求作用在AB板上(单宽)的静水总压力及其作用点的位置。2.24图示为可绕铰链轴O转动的水闸,当上游水位超过H=2m时要求闸门自动开启,试求铰链轴的位置x。闸门另一侧的水位高h=0.4m,α=60°。2.25已知矩形闸门AB宽2m,其位置如图所示,求要使闸门关闭,在A处必须施加多大的力F?2.26高度H=3m,宽度B=1m的密闭高压水箱,在水箱底部连接一水银测压计如图所示,测得水银柱高h2=1m,水柱高h1=2m,矩形闸门AB与水平方向成45°角,转轴在A点。为使闸门关闭,试求在转轴上所需施加的锁紧力矩M。·32· 第2章水静力学题2.22图题2.23图题2.24图题2.25图题2.26图题2.27图2.27图示一储水箱,箱上有三个直径相同的半球形盖,直径d=0.5m,h=2.0m,由压力2计读出相对压强p=24.5kN/m,试求作用在每个球盖上的液体总压力。2.28有一圆形平板闸门铰接于B,如图所示。闸门的直径d=1m,水平倾角α=60°,闸门中心点位于上游水面以下4m处,闸门重G=980N,闸门在(1)下游无水;(2)下游水面与门顶同高时,在E处将闸门吊起所需的拉力T分别为多大?2.29有一铅直半圆形平壁如图所示。求铅直壁面所受的静水总压力P值大小及压力中心D点的位置。2.30密闭盛水容器,已知h1=60cm,h2=100cm,水银测压计读数hp=25cm。试求半径R=0.5m的球形盖AB所受总压力的水平分力和铅垂分力。·33· 水力学题2.28图题2.29图题2.30图题2.31图2.31图示用一圆锥形物体堵塞直径d=1m的底部孔洞,求作用于此锥形体的静水压力。题2.32图题2.33图2.32一槽底上开有宽为r的矩形孔口,长为l,用一圆柱形塞子(长l,半径为r)放在孔上如图所示。不计柱塞自重,试求槽中液体深度H等于多少时,柱塞与槽孔的边缘上恰好无作用力。2.33图示一溢流坝上的弧形闸门,已知R=10m,闸门宽b=8m,α=30°,试求作用在该弧形闸门上的静水总压力的大小及其作用点的位置。2.34图示为球形容器由两个半球铆接而成。下半球固定,容器直径D=2m,容器中充满水,测压管读数h=3m,试求上半球所受静水总压力的铅直分量。2.35图示两水池间隔墙上装有一半球形曲面堵头,已知球形曲面的半径R=0.5m,两水池下方接通一U形水银压差计,其水银液面差hP=20cm。又H=1.5m,试求:(1)两水池液面的水位差ΔH;(2)曲面堵头上的静水总压力。2.36如图所示,一箱形容器的断面图,箱长为2m,箱内充满压力水,压力表的读数为220kN/m,用一个直径为2m的空心圆柱封住箱子的一角,求作用在圆柱面AB上的静水总压·34· 第2章水静力学题2.34图题2.35图题2.36图题2.37图力的水平分力与垂直分布的大小及方向。2.37如题2.37图所示,挡水圆柱,其直径为2m,试确定作用在每米长度圆柱上的静水总压力的水平分力和铅直分力。2.38在容器上部有一半球曲面(见图),试求该曲面上所受的液体总压力的大小和方向。容器中充满比重为0.8的油。题2.38图·35· 第3章水动力学基础本章研究液体机械运动的基本规律,根据液体运动所遵循的三个物理学的普遍定理,即质量守恒定理,机械能守恒定理和动量守恒定理,建立描述液体运动规律的三个基本方程:连续性方程、能量方程和动量方程,为后续各章节的学习奠定必要的理论基础。液体作机械运动,其运动特征可以用流速、加速度、动水压强和切应力等物理量表征,这些物理量称为运动要素,水动力学就是要确定这些运动要素随空间和时间的变化规律及其关系式。实际液体存在粘性,其运动分析十分复杂,因此,一般工程中研究液体的机械运动时,往往首先以忽略粘性的理想液体为研究对象,在此基础上,再进一步研究实际液体的运动规律。3.1描述液体运动的两种方法描述液体运动的方法有拉格朗日(J.L.Lagrange)法和欧拉(L.Euler)法两种。(1)拉格朗日法拉格朗日法以液体质点为研究对象,追踪观测液体质点的运动轨迹,并探讨其运动要素随时间及质点的空间位置的变化规律。拉格朗日法与一般固体力学中研究质点系运动的方法相同,所以又可以称为质点系法。不同液体质点的轨迹及运动要素的变化规律是不同的,因此,为描述某一指定质点的运动,必须对该质点加以标识。通常用某一瞬时(t=t0)质点的空间位置坐标(a、b、c)作为质点的标识。显然,不同的质点,(a、b、c)有不同的值。(a、b、c)可以是任一种坐标系的坐标。拉格朗日法通过追踪、观察液体质点运动去研究其运动规律,首先建立各液体质点的运动方程。对于笛卡尔直角坐标系,运动方程为:x=x(a,b,c,t)y=y(a,b,c,t)(3.1)z=z(a,b,c,t)式中,a、b、c和t统称为拉格朗日变量。对于指定质点,(a、b、c)是确定值,由式(3.1)可见,该点的空间位置(x、y、z)只是时间的函数。对于指定瞬时(例如t=t1),则式(3.1)表示了该瞬时各质点(a、b、c值不同)的不同的空间位置。因而(3.1)式也可看做以参数t表示的质点的轨迹方程。某一指定液体质点(a、b、c值为确定值)的运动速度是该点的空间位置坐标对时间的变化率,用ux、uy、uz分别表示质点运动速度在x、y、z坐标方向的分量,则:·36· 第3章水动力学基础xyzux=,uy=,uz=(3.2)ttt用ax、ay、az分别表示质点的加速度分量。根据加速度定义,则应为:222uxxuyyuzzax==2,ay==2,az==2(3.3)tttttt拉格朗日法针对液体的具体质点,分析其运动状况,其物理概念明确,但数学处理较为复杂。在工程上通常仅关心流动空间中的液流运动状况,所以,在水力学中,除个别问题(如分析波浪运动)外,一般不采用拉格朗日方法,而采用着眼于流动空间中液体运动状况的描述方法,即欧拉法。(2)欧拉法被运动液体连续地充满的空间称为流场。欧拉法以流场为研究对象,研究流场中液体质点的运动要素的空间分布及其随时间的变化规律。欧拉法不直接追踪给定质点在某时刻的位置及状况,因而不能求指定质点的运动轨迹。欧拉法观测分析流场,从而可首先得出流速及压强的变化规律,它们都是空间点位置和时间的连续函数。在笛卡尔直角坐标系中,流场中各点的流速及压强的变化规律可表达为:ux=ux(x,y,z,t)uy=uy(x,y,z,t)(3.4)uz=uz(x,y,z,t)p=p(x,y,z,t)(3.5)自变量x、y、z、t统称为欧拉变量。加速度是运动质点的速度对时间的变化率。在时间过程中,液体质点的空间位置是变化的,因此,加速度应是(3.4)式所表达的速度函数对时间的全导数。例如,x方向的加速度分量为:duxuxuxdxuxdyuxdzax==+++dttxdtydtzdt式中dx,dy,dz为质点沿其轨迹的微小位移在三个坐标方向上的投影。因为:dxdydz=ux,=uy,=uzdtdtdtduxuxuxuxux故:ax==+ux+uy+uzdttxyzduyuyuyuyuy同理:ay==+ux+uy+uz(3.6)dt"txyzduzuzuzuzuzaz==+ux+uy+uzdttxyzuxuyuz式中右端第一项,及称为当地加速度或时变加速度,表示某空间定点处液体质点速ttt度随时间变化所相应的加速度;右端的后三项称为迁移加速度或位变加速度,表示在时间过程中该液体质点的空间位置变化所相应的加速度。因而,根据欧拉法,液体质点的加速度由当地加速度和迁移加速度两部分组成。例如,图3.1(a)和图3.1(b)中两相同水箱在侧壁开口,图(a)中接一根收缩出流管,图(b)中接一直径不变的出流管。设图(a)中的水箱水位恒定不变,·37· 水力学则管中任一空间点处的流速均不随时间而变化,即当地加速度均为零。但由于管径沿程变化,管道各截面不同,所以流速亦沿程变化,因而迁移加速度不为零,质点运动的加速度值等于迁移加速度的值。若图(a)中水箱水位随时间变化,则管中各点的时变加速度及位变加速度均不为零,各点的加速度值是这两种分加速度之和。若图(b)的水位在时间过程中是变化的,则管中各空间点处的流速随时间变化,即当地加速度均不为零,但由于管径不变,流速亦沿程不变,故迁移加速度为零,加速度值等于当地加速度值。若图(b)中的水箱水位恒定不变,则等直径管中各点的当地加速度及迁移加速度均为零,总的加速度值便为零。图3.13.2液体运动学的几个基本概念(1)流线与迹线1)流线流线是以欧拉法研究液体的运动所提出的概念。在某一指定的瞬时,在流场中画出这样一条空间光滑曲线(不是质点曲线),曲线上任一点在该瞬时的流速矢量都在该点处与曲线相切,这条曲线就称为该瞬时的一条流线。可见,流线表明了某时刻这条曲线上的各点的流动方向。图3.2图3.3流线的具体画法如下:如图3.2所示在流场中任取一点1,绘出在某时刻通过该点的液体质点的流速矢量u1,再在该矢量上距点1很近的点2,画出同一时刻通过该点处的液体质点的流速矢量u2⋯⋯如此继续下去,得一折线123456⋯⋯,令折线上相邻各点的间距无限接近,其极限就是该时刻流场中经过点1的流线。在流场中可绘出一系列同一瞬时的流线,称为流线簇如图3.3所示,流线簇反映了该瞬时整个流场的大致流动方向。不可压缩流体中,流线簇的疏密程度还反映了该时刻流场中各处速度大小的变化情况。流线密集的地方流速大,而稀疏的地方流速小(后面章节详述理由)。在流场中画出的流线簇图称为流谱。必须指出,一般来说流速矢量是随时间而变化的,因此,通过流场中同一点在不同瞬时所画出的流线是不同的;在同一时刻,流场中两条流线通常不会·38· 第3章水动力学基础相交,否则在相交点上会有两个不同方向的速度。但在下列三种情况下可出现流线相交的例外情况:①驻点(或称滞止点),驻点的流速为零,如图3.4(a)、(b)中所示绕流的A点;②两流线的切点,如图3.4(b)中的B点,B点处物面上、下侧两流线相切,流速相同;③速度奇点,即流速u→∞,例如图3.4(c)中所示源流的源点0。图3.4根据流线的定义,可以写出流线微分方程。设ds为流线上一微元长度,u为ds段起点处的流速,由于ds很小,可认为这段微元段为直线并与u重合,故可写为:ds×u=0写成坐标表达式为:ijkdxdydz=0uxuyuz式中:i,j,k分别为x,y,z方向的单位矢量。展开后可得到流线的微分方程为:dxdydz==(3.7)uxuyuz流速分量ux,uy及uz是时间t及坐标x,y,z的函数。当积分上式时,式中t是参数。2)迹线,流线与迹线的区别迹线是以拉格朗日法描述液体运动时所提出的概念,是指液体质点运动所经过的路线。流线与迹线是两个不同的概念。迹线是单个质点在某一时段内的流动轨迹线,而流线代表某一瞬时流场中一系列液体质点的流动方向线,两者不应混同。(2)流管、元流、总流1)流管在流场中任取一封闭曲线L,通过此封闭曲线上的每一点作某一瞬时的流线,由这些流线所构成的管状曲面称为流管(图3.5)。根据流线的定义,流管在流动中的作用好像是真正的管壁,在该时刻,液体只能在流管内部或沿流管表面流动,而不能穿越流管壁。一般图3.5情况下,不同瞬时通过同一封闭曲线所画出的流管形状及位置是不同的。2)元流当封闭曲线L所包围的面积无限小时,充满微小流管内的液流称为元流或微小流束。3)总流当封闭曲线L取在运动液体的边界上时,则充满流管内的整股液流就称为总流。总流可视为流场中无数元流的总和。·39· 水力学(3)过水断面,流量、断面平均流速1)过水断面垂直于元流或总流的断面称为过水断面(对于气体流动,则称为过流断面),即:过水断面处处与流线相垂直。因此,过水断面不一定是平面,当流线相互平行时,过水断面是平面,如图3.6中的1-1断面,但当流线不平行时,过水断面则为曲面,如图3.6中的2-2断面。若元流的过水断面面积为dω,则总流的过水断面面积ω=∫dω图3.6由于元流的过水断面面积无限小,其上各点的运动要素,如压强、流速等,在同一时刻可以认为是相同的。而总流的过水断面上各点的运动要素一般是不相22同的。过水断面面积单位为cm或m。2)流量单位时间内通过过水断面的液体的数量,称为流量。液体的数量如果以体积度量,称为体33积流量,对于元流以dQ表示,对于总流以Q表示,单位是米/秒(m/s);液体的数量如果以质量度量,称为质量流量,元流的质量流量为ρdQ,总流的质量流量为ρQ,单位是kg/s;液体的数量如果以重量度量,称为重量流量,元流的重量流量为γdQ,总流的重量流量为γQ,单位是N/s。对于液体流动问题,工程上一般采用体积流量,简称流量,实验室中常采用重量流量;对于气体流动问题,则采用质量流量。对于元流,由于过水断面面积dω非常小,可以近似认为元流过水断面上各点的流速在同一时刻是相同的,因此,元流的流量为:dQ=udω(3.8a)式中:u为点的流速。总流的流量等于通过过水断面的所有元流流量之和:Q=∫udω=dQ(3.8b)ω∫ω3)断面平均流速由于液体的粘性及液流边界的影响,总流过水断面上各点的流速是不相同的,即过水断面上流速分布是不均匀的。如图3.7所示管道流动。为了表示过水断面上流速的平均情况,可根据积分中值定理引入断面平均流速v计算(3.8b)式的积分:图3.7Q=∫ωudω=ωv从而得断面平均流速的定义式:Qv=(3.9)ω·40· 第3章水动力学基础3.3液体运动的分类在水力学中,为了便于研究,从不同的角度考虑,对液体运动作不同的分类,分为恒定流与非恒定流;一元流、二元流与三元流;均匀流与非均匀流;有压流和无压流。(1)恒定流与非恒定流液体的运动按其运动要素是否随时间变化而变化,可以分为恒定流与非恒定流两类。恒定流与非恒定流又称为定常流与非定常流。1)恒定流若流场中的所有空间点上的一切运动要素都不随时间改变,这种流动称为恒定流。例如图3.1中,当水箱水位恒定时,管道水流中各点的流速和压强等运动要素均不随时间而变化,这种流动便属于恒定流。恒定流中,一切运动要素仅仅是空间坐标x,y,z的函数,而与时间t无关,因而有:uxuyuz===0(3.10)ttt即,在恒定流中,当地加速度等于零,但迁移加速度可以不等于零。恒定流中各点的流速矢量亦不随时间变化,从而流线与迹线相重合。2)非恒定流非恒定流中,各空间点上的运动要素是时间变量t的函数。例如图3.1(b)中,当水箱中的水位逐步下降时,则管中各点的流速是随时间变化的,这时的流动为非恒定流。非恒定流中,当地加速度不为零,且流线的形状随时间变化,因而流线与迹线不相重合。恒定流情况下,由于运动要素不随时间改变,欧拉变量中少了一个时间变量t,因而,分析起来要比非恒定流简单。在实际工程中不少非恒定流问题的运动要素随时间变化是非常缓慢的,可在一定时间范围内将这种流动近似地作为恒定流进行研究。例如枯水期的河道水流,其水位变化缓慢,可视为恒定流。但是,对于处于洪峰期间的天然河流的水流运动,因其运动要素随时间的变化非常迅速,所以只能作为非恒定流的问题处理。另外,对于某些非恒定流还可以通过坐标变换的方式变为恒定流的问题进行研究,此处不详述。(2)一元流动、二元流动和三元流动从运动要素的变化与多少个空间坐标变量有关的角度考虑,液体的流动可分为一元(维)流动,二元(维)流动和三元(维)流动。若液体的运动要素是三个空间坐标的函数,这种流动就称为三元流动;若是二个空间坐标(任意一种坐标系)的函数,就叫做二元流动;若是一个空间坐标的函数,就叫做一元流动。一般液体的流动都是三元流动,例如天然河道和弯管中的水流都属于三元流动。对于某些流动,可以通过适当选择坐标系而变为二元流动或一元流动,从而使问题的研究得到简化。例如,在非常宽阔的矩形断面渠道中的流动(图3.8),流场的中心区域(即两侧边界附近的区域除外)中平行于流动方向的各纵向剖面的流动状况基本相同,则可这样设oxyz坐标系:令z坐标轴垂直于这些纵向剖面,于是液体的运动要素只与(x,y,t)坐标有关,而与z无关。这种情况又称为平面流动。又如圆管中的流动,若取管轴为x坐标轴建立柱坐标系(x,r,θ),则运·41· 水力学动要素只与(x,r,t)坐标有关,这种流动称为轴对称流动,如图3.9所示。平面流动及轴对称流动均属二元流动,因为它们的运动要素都只与两个空间坐标(x,y)或(x,r)有关,而与第三个空间坐标(z或θ)无关。对于元流,可沿元流的中心线建立一曲线坐标轴s,则各运动要素只与坐标(s,t)有关,即只与一个空间坐标s有关,如图3.10所示,这样,便把流动处理为一元流动。对于总流,如果所讨论的问题只涉及断面平均流速、流量等某些特定的问题,而不涉及各空间点的流速时,也可以通过适当选择坐标系把流动处理为一元流动。本课程中所讨论的工程实际中的水力计算问题都采用一元流动的方法。图3.8图3.9图3.10(3)均匀流与非均匀流,渐变流与急变流在水力学中,通常根据流线形状及过水断面上的流速分布是否沿程变化将液体流动分为均匀流与非均匀流两种。1)均匀流流场中所有流线是平行直线,同一流线上各点流速大小相等方向相同,因而各过水断面上流速分布相同的流动称为均匀流(图3.11(a))。例如,等直径长管中的流动(进口段除外)、顺直长渠水深不变的恒定流动均属于均匀流。图3.112)非均匀流流场中各流线不平行或者虽然平行但不是直线,这样的流动称为非均匀流。非均匀流各过水断面上的流速分布不相同。例如液体在收缩管或扩散管中的流动(图3.11(b)),液体在·42· 第3章水动力学基础断面形状或大小变化的渠道中的流动、弯道中的流动(图3.11(c))等都是非均匀流。注意:均匀流与非均匀流和恒定流与非恒定流是从不同的角度考虑来划分的。同时根据这两种不同角度去考虑,液体的流动便有恒定均匀流,恒定非均匀流,非恒定均匀流及非恒定非均匀流等4种。非均匀流中根据流线变化的急剧程度,又分为渐变流和急变流。渐变流的流线曲率很小或者流线间的夹角很小,流线近似为平行直线;急变流的流线明显不平行或曲率很大。例如图3.12所示溢洪坝上的水流是非均匀流动,在过水断面1-1到断面2-2及3-3到4-4之间的流动流线变化急剧,是急变流;在过水断面图3.121-1处,断面2-2到断面3-3之间及断面4-4处的水流流线平缓,近似为平行直线,这种流动称为渐变流。(4)有压流和无压流按照液体流动时是否具有自由液面(指液面为大气压,其相对压强为零),可将流动分为有压流动和无压流动。例如,管道内的液体流动,当液体充满整个管道断面,整个管壁都受到液体的压力作用,这样的流动为有压流动;天然河道或人工渠道中的流动以及排水管中的流动为无压流动,无压流具有自由液面,液面上为大气压强(pa=0)。无压流又称为明渠流。3.4液体恒定一元流动的连续性方程连续性方程是水力学的一个基本方程。方程的实质是液体运动的质量守恒定律。本节讨论一元恒定流,建立液体一元流动的连续性方程。(1)恒定元流的连续性方程在恒定元流中取过水断面1-1至2-2的流动空间(称为控制体)(图3.13)来讨论。设进口过水断面1-1的面积为dω1,中心点流速为u1,出口过水断面2-2的面积为dω2,中心点流速为u2,由于:①在恒定流条件下,元流的形状和位置不随时间而改变,从而控制体的形状及位置亦不随时间而变;②不可能有液体经元流的侧面流进或流出;③液体是连续介质,元流内部不存在空隙;④元流的过水断面极小,所以,可以认为过水断面上各点流速相等。根据质量守图3.13恒定律,单位时间内流进dω1的液体质量等于流出dω2的液体质量,即:ρ1u1dω1=ρ2u2dω2=常数(3.11)对于不可压缩均质液体,ρ1=ρ2=常数。考虑到(3.7)式,则有:u1dω1=u2dω2=dQ=常数(3.12)或dQ1=dQ2=dQ(3.13)·43· 水力学(3.12)和(3.13)式即为恒定元流的连续性方程。(3.12)式表明:对于不可压缩的液体,恒定元流流速的大小与其过水断面面积成反比。由此,可以解释3.2节中流线疏密与流速的关系,即流线密集的地方流速大,流线稀疏的地方流速小。(3.13)式还表明,通过恒定元流的任一过水断面的流量相等,或流入控制体的流量等于流出控制体的流量。(2)恒定总流的连续性方程总流是流场中所有元流的总和,因而将元流的连续性方程在总流过水断面上积分便可得总流的连续性方程:∫dQ=u1dω1=u2dω2=Qω∫ω∫ω12考虑到(3.9)式,则上式可写为:v1ω1=v2ω2=Q=常数(3.14)或Q1=Q2=Q(3.15)(3.14)或(3.15)式即为恒定总流的连续性方程。(3.14)式表明,对于不可压缩液体的恒定总流,任意两过水断面的平均流速与过水断面面积成反比。(3.15)式说明:通过恒定总流的任一过水断面的流量相等。在建立连续性方程之时,未涉及作用力,因而连续性方程是运动学方程,无论对于理想液体或者实际液体都是适用的。上述连续性方程对于有压管流,即使是非恒定流,对于同一时刻的两过水断面仍然适用。当然,非恒定有压管流中的流速和流量要随时间而变。(3)有分流和汇流时总流的连续性方程(3.14)式和(3.15)式的连续性方程只适用于一股总流。若沿程有分流,如图3.14所示,则控制体选在分流之前的过水断面1-1到分流之后的过水断面2-2及3-3之间,根据质量守恒定律,流入控制体的流量应等于流出控制体的流量,即Q1=Q2+Q3(3.16)图3.14图3.15请读者自己思考,当有汇流时,如图3.15,控制体该如何选取,总流的连续性方程该如何建立。例3.1图3.16表示一三通管中恒定有压水流,各管段均为变直径管道。已知:过水断面1-1,2-2,3-3和4-4处的管径分别为d1,d2,d3和d4,过水断面1-1和4-4的断面平均流速分别为v1和v4。求通过过水断图3.16面3-3和4-4的流量Q3和Q4以及断面2-2和3-3的·44· 第3章水动力学基础断面平均流速v2和v3。解由于过水断面1-1及4-4的直径及断面平均流速为已知量,则可计算两断面所通过的流量:2πd1Q1=v1ω1=v1·42πd4Q4=v4ω4=v4·4取过水断面1-1到3-3和4-4之间的空间为控制体,则根据连续性方程有:Q1=Q3+Q422πd1πd4π22所以Q3=Q1-Q4=v1·-v4·=(v1d1-v4d4)444于是,过水断面3-3的断面平均流速为:Q34Q3v3==2ω3πd3将Q3值代入得:22v1d1-v4d4v3=2d3又以过水断面1-1到2-2之间的空间为控制体,则有:Q1=Q2得2-2断面的断面平均流速为:2Q2Q1d1v2===v121212d2πd1πd2443.5连续性微分方程本节将质量守恒原理应用于流场中任一微元空间,讨论液体三元流动的连续性方程。此方程比上节所述的一元连续性方程更具普遍性,对恒定或非恒定流都适用。假定流体连续地充满着整个流场,从中任取出以O′(x,y,z)点为中心的微小六面体空间作为控制体(如图3.17所示)。控制体的边长为dx,dy,dz,分别平行于直角坐标轴x,y,z。设控制体中心点处流速的3个分量为ux,uy,uz,液体密度为ρ。将各流速分量按泰勒级数展开,并略去高阶微量,可得到该时刻通过控制体6个表面中心点的液体质点的运动速度。例如,通过控制体前表面中心点M的质点在x方向的分速度为:图3.17·45· 水力学1uxux-dx2x通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为:1uxux+dx2x因所取控制体无限小,故认为在其各表面上的流速均匀分布。所以,单位时间内沿x轴方向流入控制体的质量为:1(ρux)[ρux-dx]dydz2x流出控制体的质量为:1(ρux)[ρux+dx]dydz2x于是,单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为:1(ρux)1(ρux)(ρux)[ρux+dx]dydz-[ρux-dx]dydz=dxdydz2x2xx同理可得在单位时间内沿y和z方向流出和流入控制体的质量差为:(ρuy)(ρuz)dxdydz和dxdydzyz由连续介质假设,并根据质量守恒原理知:单位时间内流出与流入控制体的液体质量差的总和应等于六面体在单位时间内所减少的质量。控制体的体积dxdydz为取定的值,所以:(ρux)(ρuy)(ρuz)ρ[++]dxdydz=-(ρdxdydz)=-dxdydzxyztt整理得:ρ(ρux)(ρuy)(ρuz)+++=0(3.17)txyz(3.17)式即为连续性微分方程的一般形式。ρ对于恒定流:=0,上式成为:t(ρux)(ρuy)(ρuz)++=0(3.18)xyz对于均质不可压缩的液体,ρ≡常数,则不论恒定流或非恒定流,均有:uxuyuz++=0(3.19)xyz这就是均质不可压缩液体运动的连续性微分方程,方程中没有涉及到液体运动时所受的力,仅给出了通过一固定空间点液体的3个流速分量的关系,所以是运动学方程。该方程表明:对于不可压缩的液体,单位时间单位体积空间内流入与流出的液体体积之差为零,即液体体积守恒。方程(3.17)、(3.18)及(3.19)对于理想液体或实际液体都适用。uzuxuy对于二元流动,例如平面流动,因为=0,所以,连续性微分方程为:+=0zxy·46· 第3章水动力学基础3.6理想液体的运动微分方程(欧拉运动微分方程)本节从动力学的观点讨论理想液体的作用力与运动变化的关系,建立理想液体的运动微分方程,该方程的实质是理想液体三元流动的牛顿第二定律表达式。设在运动的理想液体中任取一个以O′(x′,y′,z′)点为中心的微小六面体所包围的液体微团,其边长分别为dx,dy,dz,且分别平行于坐标轴x,y,z(如图3.18)。首先对液体微团进行受力分析:如在绪论中所述,作用在液体微团上的力有表面力和质量力两种。由于讨论理想液体,即不考虑粘性,因此,液体微团的表面上不存在切应力,而只有动水压强,它是空间坐标与时间变量的单值可微函数,设图3.18O′点的动水压强为p(x,y,z,t),将其按泰勒级数展开,并略去高阶微量,可得液体微团各个侧面中心点的压强(图3.18中只标出六面体前表面与后表面中心M,N两点的压强);作用于液体微团上沿坐标轴x,y,z3个方向的单位质量力分别为X,Y,Z,因而总质量力的3个分量为Xρdxdydz,Yρdxdydz,Zρdxdydz;并设O′(x′,y′,z′)点的流速分量为ux,uy,uz,根据牛顿第二定律,作用于液体微团上的外力在某轴上投影的代数和等于该液体微团的质量乘以加速度在该轴方向的投影。于是,在x方向上有:1p1pdux(p-dx)dydz-(p+dx)dydz+Xρdxdydz=ρdxdydz2x2xdt等式两端同除以ρdxdydz,整理得:1pduxX-=ρxdt1pduy同理可得:Y-=(3.20)ρydt1pduzZ-=ρzdt该式的右端项加速度应同时包括当地加速度和迁移加速度两种,因而上式又可写为:1puxuxuxuxX-=+ux+uy+uzρxtxyz1puyuyuyuyY-=+ux+uy+uz(3.21)ρytxyz1puzuzuzuzZ-=+ux+uy+uzρztxyz方程(3.20)和(3.21)均称为理想液体的运动微分方程,又称为欧拉运动微分方程。该方duxduy程对于恒定流与非恒定流,不可压缩流体或可压缩流体均适用。当液体平衡时,==dtdt·47· 水力学duz=0,则得欧拉平衡微分方程(式2.10)。欧拉运动微分方程中,有p,ux,uy和uz四个未知dt量,如与连续性微分方程联用,便可以求解。由于方程组是非线性三元偏微分方程,并且,由于流动的初始条件及边界条件通常很复杂,故目前仅能在某些特定情况下求出特解。3.7理想液体运动微分方程的伯诺里积分欧拉运动微分方程只能在满足某些特定条件的情况下才能求得其解。这些特定条件为:①恒定流,此时:uxuyuzp====0tttt因而:pppdx+dy+dz=dpxyz②液体是均质不可压缩的,即ρ=常数;③质量力有势,即质量力的力场是保守力场,设w(x,y,z)为质量力势函数,则:wwwX=,Y=,Z=xyz对于恒定的有势质量力:wwwXdx+Ydy+Zdz=dx+dy+dz=dwxyz④沿流线积分在恒定流条件下沿流线积分也就是沿迹线积分,沿流线(亦即迹线)取微小位移ds(dx,dy,dz)则有:dxdydz=ux,=uy,=uzdtdtdt上述积分条件称为伯诺里积分条件。以在流线上所取的ds的3个分量dx,dy,dz分别乘欧拉运动微分方程(3.20)3式,然后将3式相加得:1pppduxduyduz(Xdx+Ydy+Zdz)-(dx+dy+dz)=dx+dy+dzρxyzdtdtdt利用上述4个积分条件得:211222udw-dp=uxdux+uyduy+uzduz=d(ux+uy+uz)=d()ρ22因ρ为常数,故上式可以写为:2pud(w--)=0ρ2积分得:2puw--=常数(3.22)ρ2(3.22)式即为欧拉运动微分方程的伯诺里积分,它表明:对于不可压缩的理想液体,在有势质·48· 第3章水动力学基础2pu量力作用下作恒定流时,在同一条流线上(W--)值保持不变。该常数值称为伯诺里积ρ2分常数。对不同的流线,伯诺里积分常数一般是不相同的。3.8重力作用下理想液体元流的伯诺里方程当元流的过水断面面积dω→0时,元流便是流线。所以式(3.22)也适用于元流。若作用在理想液体上的质量力只有重力,设z轴铅垂向上,则有:W=-gz将它代入(3.22)式得:2pugz++=常数(3.23)ρ2将各项同时除以g,并注意到γ=ρg,则有:2puz++=常数(3.24)γ2g对元流任意两断面的中心点或一条流线上的任意两点1与2,上式可改写为:22p1u1p2u2z1++=z2++(3.25)γ2gγ2g(3.24)或(3.25)式即为理想液体元流或流线的伯诺里方程(又称为能量方程)。该方程反映了重力场中理想液体元流作恒定流动时,其位置标高z,动水压强p与流速u之间的关系,该方程是本门课程的核心。3.9理想液体元流伯诺里方程的物理意义与几何意义(1)物理意义1)z在水静力学中已知:z是单位重量液体相对于某基准面(即z=0的水平面)的位能,称为位置水头。在伯诺里方程中,z具有同样的意义。p2)γpp是单位重量液体的压能(压强势能),称为压强水头。当p为相对压强时,是单位重γγp量液体相对于大气压强(认为该值的压能为零)的压能;当p为绝对压强时,是单位重量液γ体相对于绝对真空(认为该值的压能为零)的压能。2u3)2g1222MuuMu2可以改写为:=,可见,它表示了单位重量液体的动能,称为流速水头。2g2MgMg·49· 水力学p4)z+=Hp是单位重量液体相对于某基准面的势能(测压管水头),即重力势能与压强γ2pu势能之和;而z++=H是单位重量液体的总机械能,称为总水头。γ2g由以上讨论可知,理想液体元流的伯诺里方程(3.24)或(3.25)的物理意义为:对于同一元流(或同一流线)的恒定流液体,任一断面的总水头相等,或者说单位重量液体的总机械能守恒。伯诺里方程体现了能量守恒原理及其转化规律,因此又称为能量方程。(2)几何意义理想液体元流的伯诺里方程中的各项都具有长度的量纲,因而分别表示了某种不同的高度。1)位置水头位置水头z表示元流过水断面上某点相对于某基准面的位置高度。其量纲为:[z]=[L]。2)压强水头p当p为相对压强时,压强水头表示测压管中液柱高度(测压管内液面到测点之间的高γ差),压强水头的量纲为:-22p[MLT/L][]=-23=[L]γ[MLT/L]3)流速水头2u流速水头指当不计空气阻力时,液体以初速度u垂直向上喷射到空气中所能达到的理2g论高度。流速水头的量纲为:2u22[]=[L/T]/[L/T]=[L]2g图3.19式(3.24)说明理想液体的三种形式的水头在流动过程中可以互相转化,但总水头沿流程守恒。可以用图3.19表示三种水头沿流程变化的情况。取一段元流,在元流的各个过水断面·50· 第3章水动力学基础上设置测压管,并测定各个断面流速。图3.19表示一段元流,若采用相对压强,并任选一水平面0-0作为基准面,元流中心线上各点到0-0线的竖向距离则为该点的位置水头。若在元流p的各个过水断面上设置测压管,测压管水面上升高度为,元流各个过水断面上的测压管水头γp为z+,以Hp表示。画出各个断面的测压管水面的连线,该曲线称为测压管水头线(Hpγ线)。用测速管(测速管的概念将在后面讨论)可测得各断面的流速水头,测速管液面比液压管2u液面高。连接各过水断面的测速管液面的连线称为总水头线(H线)。2g图3.19所示的3条线,即元流中心线、Hp线及H线分别表示了元流位能、势能及总机械能沿程变化的情况。由于理想液体元流的总水头守恒,所以总水头线必为水平线。但流速水2u头与测压管水头沿程可以互相转化,所以测压管水头线沿程可升可降。由于Hp=H-,故2g元流断面减小流速增大的流段,其Hp线向下降,而断面增大流速减小的流段,Hp线向上倾斜,等流速段的Hp线则与H线相平行。水头线图形象地描绘出这3种水头沿程相互转换的情况,很有实用价值。(3)毕托管(测速管)毕托管是一种测定空间点流速的仪器。可采用单根L形管(图3.20)或由测压管与L形管组合成一个仪器。若要测定管流液体中A点的流速u,可由测压管pA测出该点的测压管液柱高度,并在A点下游相距γ很近的地方放一根测速管。测速管是弯成直角而两端开口的细管,一端的出口置于与A点相距很近的B处,并正对液流,另一端向上,如图3.20所示。在B点处由于测速管的阻滞,而流速为0,动能全部转化p′为压能,测速管中液面升高为γ。B点称为滞止点或图3.20驻点。应用理想液体恒定流沿流线的伯诺里方程于A、B两点,并取AB连线所在平面作为基准面,则有:2pup′+=+0γ2gγ得:2up′p=-=hu(3.26)2gγγ由此可得流速水头几何意义的另一种解释:即流速水头等于测速管与测压管的液面高差hu。由(3.26)式可得:p′-pu=2g=2ghu(3.27)γ·51· 水力学利用(3.27)式,可以方便地算得A点的流速。对于实际液体在应用(3.27)式时,应考虑到液体粘性对液体运动的阻滞作用,以及毕托管放入流场后对流动的干扰,应使用修正系数φ,对该式的计算结果加以修正。一般,φ<1,即:p′-pu=φ2g=φ2ghu(3.28)γ式中φ称为流速系数,其值一般由试验率定。例3.2图3.21表示利用毕托管测量管流断面上A点的流速,采用盛有CCl4的压差计3连接测压管及测速管,已知CCl4的容重为1.6tf/m,今测得h′=80mm,求:(a)管中为水流时3uA=?;(b)如管中液体为油,其容重为γ油=0.8tf/m,而读数h′不变,求u′A。解记测速管进口点为B点,紧靠B点上游方的一点为A点,以A、B线为基准线,沿AB流线写出理想流体恒定流的伯诺里方程为:2pAuApB0++=0++0γ2gγ2uApB-pA所以=2gγ可以认为压差计直接与测点相连,利用压差计的公式:pBpAγ′-γ(ZB+)-(zA+)=Δh,图3.21γγγpB-pAγ′-γ所以=Δhγγ该式中的γ′指压差计内液体的容重,γ指所测液体的容重,Δh即为本例中的h′。33(a)当管中为水流时,γ水=1000kgf/m=1.0tf/m,代入上式得:2uA1.6-1.0=×0.082g1.0所以uA=2×9.8×0.6×0.08=0.97m/s3(b)当管中为油时,γ油=0.8tf/m,故有:2uA1.6-0.8=×0.082g0.8所以u′A=2×9.8×1.0×0.08=1.25m/s例3.3图3.22所示宽矩形明渠,在同一过水断面上有A、B两点,用图示的两个毕托管3测流速,压差计中为油,其容重γ0=8000N/m,计算uA和uB的大小。解为测定A、B两点的流速,选择A、B下游方向上与A、B两点相距很近,且分别靠近测压管及测速管前的滞止点C、D两点。首先计算A点的流速。明渠水面线都为测压管水头线。以AC为基准线沿AC流线写伯诺里方程:pAhA=γ2pAuApc0++=0++0γ2gγ2uApc-pA+=0.32gγ·52· 第3章水动力学基础所以uA=2×9.8×0.3=2.4m/s又以BD流线为基准线,沿BD流线写伯诺里方程:2pBμBpD0++=0++0γ2gγ2uBpD-pBpD==-hB2gγγ根据压差计的公式:pDpEγ0-γ(zD+)-(zE+)=Δhγγγ图3.22zD=0,zE=hB+0.3采用相对压强,则pE=0,可得:pDγ0-γ=zE+Δhγγ2uBγ0-γγ0-γ所以=zE+Δh-hB=0.3+Δh2gγγA、B两点的流速水头差为:2uAγ-γ0==Δh2gγ此时Δh=0.2,代入可得:2uB9800-8000=0.3-×0.2=0.03662g9800uB=2×9.8×0.0366=2.28m/s3.10实际液体元流的伯诺里方程,总水头线,测压管水头线及其坡度(1)实际液体元流的伯诺里方程实际液体都具有粘滞性,在流动过程中,液体质点之间的内摩擦阻力作功而消耗部分机械能,使之转化为热能耗散掉,因而液流的机械能沿程减小。设h′ω为元流中单位重量液体流经过水断面1-1到过水断面2-2的机械能损失,称为元流的水头损失。根据能量守恒原理,可以写出实际液体元流的伯诺里方程为:22p1u1p2u2z1++=z2+++h′ω(3.29)γ2gγ2g显然,水头损失h′ω也具有长度的量纲。附:采用动能定理推导恒定元流伯诺里方程在流场中任取一恒定元流如附图3.1所示。进口和出口过水断面分别为1-1和2-2,面积分别为dω1和dω2,进口和出口过水断面形心到某基准面的垂直高度分别为z1和z2,流速分别为u1和u2,动水压强分别为p1和p2。元流过水断面dω很小,因此可以认为在断面上各点处的流速和压强都是相等的。以两断面之间的元流段为研究对象,经过dt时间,元流段从1122位置运动到了1′1′2′2′位置。1-1断面·53· 水力学附图3.1和2-2断面分别移动了距离dL1和dL2。dL1=u1dt,dL2=u2dt根据动能定理,运动液体的动能增量等于作用在它上面各力作功的代数和。1)动能增量dEu元流从1122位置运动到1′1′2′2′位置,其功能增量为dE,因为恒定流在1′1′22这段流段中的液流的能量没有发生变化,所以在dt时间内,液体的动能增量等于22′段的动能与11′段的动能的差值,即:2222u2u1u2u1dEu=dM-dM=dM(-)2222对于不可压缩液体,ρ=γ/g,dQ=常数,因此,在11′和22′段中液体的质量:γdQdtdM=ρdQdt=g因此2222γdQdtu2u1u2u1dEu=(-)=γdQdt(-)g222g2g2)重力做功dAg对于恒定流,在1′1′22段中液体的位置和形状都不随时间而变化,因此,该段重力不作功。所以元流从1122位置运动到1′1′2′2′位置重力所作的功等于11′段液体运动到22′位置时重力所作的功,即:dAg=d[Mg(z1-z2)]=ρgdQdt(z1-z2)=γdQdt(z1-z2)3)压力作功dAp元流侧面所受的压力和元流流向垂直,因此不作功。元流压力所作的功应为进口过水断面上的压力在dL1上所作的功与出口断面上压力在dL2上所作的功的和,即:dAp=p1dω1dL1-p2dω2dL2=p1dω1u1dt-p2dω2u2dt=dQdt(p1-p2)4)内摩擦阻力的功沿元流侧表面与液流方向相反的内摩擦阻力作的负功,记为-dHω。根据动能定理:dEu=dAg+dAp-dHω22u2u1即:γdQdt(-)=γdQdt(z2-z1)+(p1-p2)dQdt-dHω2g2gdHω等式各项除以γdQdt,并设:=h′ω,整理得:γdQdt22p1u1p2u2z1++=z2+++h′ωγ2gγ2g即得不可压缩液体恒定元流的能量方程,或称为恒定元流伯诺里方程。·54· 第3章水动力学基础(2)总水头线及测压管水头线设想在元流的各个过水断面放置测速管和测压管,将各测速管液面及各测压管液面分别作连线,各测压管液面连线为测压管水头线,各测速管液面连线为总水头线(图3.23),这两条曲线可以清晰地表示了实际液体元流的伯诺里方程中的各项及总水头、测压管水头的沿程变化情况。图3.23由于实际液体的总机械能在流动过程中是沿程减小的,所以实际液体的总水头线总是沿程下降的;比较前节中理想液体的总水头线,由于不考虑水头损失,则为一条水平线。这条水平线与实际液体总水头线之间的铅直距离即为水头损失。如前节所述测压管水头线可升可降,取决于动能与势能之间相互转化的情况。(3)水力坡度及测压管水头线坡度1)水力坡度J水力坡度指实际液体流动的总水头线沿程下降的坡度,它是单位重量液体沿流程单位长度上的机械能损失,用J表示,即:dHdh′ωJ=-=(3.30)dLdL式中dL———沿流程的微元长度;dH———相应长度上的单位重量液体的总机械能(总水头)增量;dh′ω———相应长度上的单位重量液体的总机械能损失(水头损失)。由于总水头沿流程总是减小的(即dH只能为负值)。上式在dH前面引入负号后使J永为正值,即定义当水头线沿程下降时,其坡度为正值。2)测压管水头线坡度Jp测压管水头线坡度Jp反映测压管水头线沿程变化的快慢,它是单位重量液体沿流程单位长度上的势能的减少量,即:pd(z+)dHpγJp=-=-(3.31)dLdL·55· 水力学p式中,dHp=d(z+)为沿流程微元长度上单位重量液体的势能增量。当测压管水头线下降γ时定义Jp为正,上升时为负。3.11实际液体总流的伯诺里方程在工程实际中所碰到的大量水力学问题,还需要由实际液体总流的伯诺里方程进行分析,为求得实际液体总流的伯诺里方程,下面首先讨论恒定总流过水断面上的压强分布规律。(1)恒定总流过水断面上的压强分布在3.3节中已经说明:根据液体运动时流线是否平行以及一条流线上各点的流速是否相等可将液体的流动分为均匀流与非均匀流,而非均匀流又分为急变流和渐变流两种情况。下面分别讨论不同液流情况下过水断面上的压强分布规律。可以证明:均匀流过水断面上的压强分布服从静水压强的分布规律,即:对某一断面有:pz+=常数,但要注意,不同的过水断面的测压管水头不相γ等,即此式中的断面常数值不同。渐变流过水断面上的压强分布规律近似于均匀流的情况,即在恒定渐变流过水断面上,动水压强的分布规律近似于静水压强的分布规律。由实验表明:急变流过水断面上的压强分布不服从静水压强的分布规律。例如图3.24所示明渠的闸下出流,即使图3.24在过水断面1-1处,流线平行,但该过水断面上的质点,除受重力加速度的影响外,还受到离心加速度的影响,若其离心22加速度为u/r,式中r为流线的曲率半径,则断面上的压强分布将有p=ρ[g+(u/r)]h的关系。不同的急变流过水断面有不同的压强分布函数,例如图3.24中的1-1,2-2及3-3断面,它们的压强分布函数均不相同。(2)实际液体总流的伯诺里方程将实际液体元流的伯诺里方程(3.29)式的各项乘以γdQ,可得单位时间内通过元流两过水断面的全部液体的能量关系式为:22p1u1p2u2(z1++)γdQ=(z2++)γdQ+h′ωγdQγ2gγ2g将上式在总流的过水断面上积分,可以得到单位时间内通过总流两过水断面的总能量之间的关系为:22p1u2p2u2∫(z1++)γdQ=(z2++)γdQ+h′ωγdQ(3.32)ωγ2g∫ωγ2g∫Q12式(3.32)中共有三种类型的积分,分别确定如下:p1)∫γ(z+)dQ,该积分表示单位时间内通过总流过水断面的液体势能的总和。如要ωγp求得该积分,则需要知道总流过水断面上各点(z+)的分布规律。从理论上说,式(3.32)中γ·56· 第3章水动力学基础所涉及的两个断面1-1和2-2是可以任意选取的,但为了能解出上述积分,则过水断面需选在p均匀流或渐变流流段上。因为,如上文所述,均匀流和渐变流过水断面上的(z+)等于或近γ似等于常数,这样可求得该积分为:ppp∫γω(z+γ)dQ=γ(z+γ∫)ωdQ=(z+γ)γQ(3.33)23uu2)∫γdQ=γdω,它表示单位时间内通过总流过水断面的液体动能的总和。流速ω2g∫ω2gu在过水断面上的分布一般是未知的,为解出该积分,可采用断面平均流速v代替流速分布函数u,并加以适当的修正(乘以修正系数α),这样,可计算出实际液体的总动能:3332uvαvαv∫γω2gdω=α∫γω2gdω=γ·2gω=2gγQ(3.34)式中α称为动能修正系数,它反映了用流速分布函数计算出的实际动能与用断面平均流速计算出的动能的区别。由该式可得:3∫udωωα=3vω要计算α值,需知总流过水断面上流速u的分布函数。通常,由实验率定α值。对于一般的工程问题,由实验知,流速分布较均匀时,α=1.05～1.10,流速分布不均匀时α值较大,甚至可以达到2.0,这在后面的章节中讨论。在工程问题的初步计算中可取α=1.0。3)∫γh′ωdQ,它是单位时间内总流液体从过水断面1-1流动到过水断面2-2的机械能损Q失,以hω表示单位重量液体在这两断面之间的平均机械能损失(称为总流的水头损失),则:∫Qh′ωγdQ=hωγQ(3.35)将以上各积分结果代入式(3.32)中得:22p1α1v1p2α2v2(z1+)γQ1+γQ1=(z2+)γQ2+γQ2+hωγQγ2gγ2g考虑到连续性方程:Q1=Q2=Q,则上式可整理为:22p1α1v1p2α2v2z1++=z2+++hω(3.36)γ2gγ2g式(3.36)即为实际液体总流的伯诺里方程,又称为总流的能量方程。它与实际液体元流的伯诺里方程形式类似,但不同的是在总流的能量方程中是用断面平均流速v计算流速水头,并考虑了相应的修正系数,而在元流的方程中是用点的流速计算流速水头。(3.36)式中各项的物理意义及几何意义与元流的伯诺里方程中各对应项的物理意义及几何意义相同。由于总流的水头损失机理十分复杂,关于hω的计算将在后面的章节中专门讨论。(3)伯诺里方程的应用1)适用条件总流伯诺里方程在其推导过程中引入了许多限制条件,因而,方程的应用必须以满足这些条件为前题。这些条件是:①均质不可压缩流体的恒定流;②质量力中只有重力;·57· 水力学③所选取的两过水断面必须取在均匀流或者渐变流段上,但两过水断面之间可以是急变流;④总流的流量在两过水断面之间沿程不变,即没有分流或汇流的情况;⑤在两过水断面之间除水头损失以外,没有其他的机械能输入或者输出。2)附带的几点说明①过水断面选取的要求:除必须选取渐变流或均匀流断面以外,一般应选取包含较多已知量及包含需求未知量的断面。②z是过水断面上任一点(称计算点)相对于某一基准面的位置标高,基准面是一个任选的水平面。同一个方程的两个z值必须以同一基准面来度量。③过水断面上的计算点原则上可以任意选取,这是因为在均匀流或渐变流断面上任一点2pαv的测压管水头相等,即z+=常数,并且,对于一个断面,平均流速水头是一个惟一的值,γ2g与计算点位置无关。但通常为了方便起见,对于管流,计算点一般选在管轴中心点,对于明渠则选在自由液面上或渠底处。④方程中动水压强p1与p2可取绝对压强或者相对压强,但在同一个方程中必须采用相同的压强度量基准。在土建工程中,构筑物大都在大气的包围中,所以,其水力计算多采用相对压强。如问题涉及液体的物理性质(例如汽化)或纯粹讨论液体对构筑物的作用力,不考虑大气压的作用,则采用绝对压强。3)总流伯诺里方程的应用举例例3.4文丘里(Venturi)流量计是一种测量有压管流中液体流量的仪器,它是一变直径的管段,由收缩段,喉道(管径不变段)与扩散段三部分组成(图3.25),在收缩段进口与喉道处分别安装一根测压管(或是连接两处的水银差压计)。设在恒定流条件下读得测压管水头差Δh=0.5m(或水银差压计的水银液面高差hp=3.97cm),测量流量之前预先经实验测得文丘里管的流量系数(实际流量与不计水头损失的理论流量之比)μ=0.98,若已知文丘里管的进口直径d1=100mm,喉道直径d2=50mm,求管道中水流量。图3.25解①任选一基准面0-0,如图;②选取渐变流的进口断面与喉道断面为1-1断面与2-2断面(1-1断面与2-2断面之间是急变流)。③对于管道流动问题,计算点取在管轴上。④先按理想液体考虑,即暂时略去水头损失hω,并取α1=α2=1,对1-1到2-2断面间的液体写伯诺里方程。22p1v1p2v2z1++=z2++γ2gγ2g22v2-v1p1p2可以得出:=(z1+)-(z2+)2gγγ该式表明:对于理想液体,其动能的增加等于势能的减少。该式右边的测压管水头差可由压差·58· 第3章水动力学基础计或两测压管测出,左边有v1与v2两个未知数。为求解,还需要建立这两个断面总流的连续性方程:v1ω1=v2ω2ω1d12故:v2=v1=()v1ω2d22v1d14p1p2代入前式得:[()-1]=(z1+)-(z2+)2gd2γγ1p1p2则解得:v1=2g[(z1+)-(z2+)]d14γγ()-1d2因而得理想液体的流量为:12πd14p1p2Q′=v1ω1=2g[(z1+)-(z2+)]=d14γγ()-1d2p1p2K(z1+)-(z2+)γγ12πd14式中,K=2g,其值取决于文丘里管的结构尺寸,称为文丘里管常数。考虑水头损d14()-1d2失的实际流量Q比理想液体的流量Q′小,用流量系数μ乘Q′,可得实际液体的流量:p1p2Q=μK(z1+)-(z2+)γγQ实际(注:μ=<1,一般由实验测定)Q理想12×3.14×0.145/2本题中:K=×2×9.80=0.00898m/s0.14()-10.05若用测压管测出势能差为Δh,则得:3Q=μKΔh=0.98×0.00898×0.5=0.00622m/s若用水银差压计量测,则得:Q=μK12.6hp=0.98×0.00898×12.6×0.0397=30.00622m/s=6.22l/s例3.5一大水箱中的水通过在水箱底部接通的一铅垂管流入大气中,管道出口处断面收缩(收缩管嘴)(图3.26),直管直径d为10cm,收缩管嘴出口断面直径dB为5cm,若不计水头损失,求直管中A点的相对压强pA。各断面的高度差如图所示。解应用伯诺里方程求A点处的相对压强pA,需先求得A点处的断面平均流速:①过水断面1-1选择在大水箱的水面,2-2断面选在通过A点的直管的断面;②因为ω1远大于ω2,由连续性方程可知:v1nv2,可以认为1-1断面的断面平均流速v1D·59· 水力学0,即认为水面恒定;③选择基准面0-0为通过B点的水平面先求管咀出口断面的平均流速:写出管流1-1断面到0-0断面间水流的伯诺里方程:2vB9+0+0=0+0+2g可以求得:vB=18g图3.26④由连续性方程知:ωBdB2vAωA=vBωB,所以vA=vB=vB()ωAd⑤再以2-2断面作为基准面,写1-1断面到2-2断面间水流的伯诺里方程:2pAvA5+0+0=0++γ2g22pAvAvBdB418g0.054所以=5-=5-()=5-()=4.4375mγ2g2gd2g0.12故得:pA=4.4375×9.8=43.5kN/m3例3.6一离心式水泵(图3.27)的抽水量Q=20m/h,安装高度Hs=5.5m,吸水管管径d=100mm,若吸水管总的水头损失hω为0.25m(水柱),试求水泵进口处的真空值pv。2解①取渐变流过水断面:水池液面为1-1断面,水泵进口处为2-2断面;②1-1断面间水流的计算点取在水池液面上某处,2-2断面上的计算点取在管轴上;③基准面0-0选在水池自由液面上;④因水池液面远大于吸水管截面,ω1mω2,故可以认为v1=0,并且液面压强pa为大气压强,取α2=1,采用绝对压强写1-1断面到2-2断面的伯诺里方程为:2pap2v20++0=Hs+++hωγγ2g图3.272pa-p2v2整理得:hv==Hs++hω2γ2g该式说明,从水池液面到吸水管中要形成水流,必须克服流动过程中的能量损失,并增加位能和动能,因而压能减小。水池液面为大气压,所以在水泵进口处必为负压,即为真空,真空值是上式所表示的hv。其中:21212v2=Q/πd=20/(3600××3.14×0.1)=0.707m/s4420.707故:hv=5.5++0.25=5.78m22×9.80即:pv/γ=5.78m水柱222或:pv=γhv=9800×5.78=56600N/m=56.6kN/m22水泵进口处的真空高度是有限制的。当进口压强降低至该温度下的蒸汽压强时,水会发·60· 第3章水动力学基础生气化而产生大量气泡。气泡随水流进入泵内高压部位受到压缩而突然溃灭,周围的水便以极大的速度向气泡溃灭点冲击,在该点形成一个应力集中区,其压强高达数百大气压以上。这种集中在极小面积上的强大冲击力如果作用在水泵部件的表面,会很快破坏部件,这种现象称为气蚀。为了防止气蚀发生,通常由实验确定水泵进口的允许真空高度。例3.7离心式通风机借集流器A从大气中吸入空气(图3.28),在直径d=200mm的圆柱形风管中渐变流断面处,接通一根两端开口的玻璃管作为测压管。管的下端插入水槽中。若玻璃管中的水上升H为150mm,不计水头损失,求集流器每秒钟所吸取的空气量Q。空气3的密度ρ为1.29kg/m。解①选基准面0-0在风管的管轴线上;②选渐变流过流断面;注意到圆管进口附近为急变流,所选渐变流断面应为远离入口处的1-1断面;又由于在接通测压管的风管断面处,已知条件较多,故选此为2-2断面;③1-1断面与2-2断面的计算点,均选在风管的轴线上;1-1断面为大气压强,风管中为气流,所以断面2-2计算点的压强p2≈测压管液面压强。图3.28④取α=1.0,写1-1断面到2-2断面间气流的伯诺里方程:(因断面1-1远离通风口,v1认为等于零)2p2v20+0+0=0++γ气2g由测压管液面高度知:p2=-γ水Hγ气=ρg代入上式得:2v2p2γ水=-=H2gγ气γ气γ水γ水2Hγ水2×0.15×9800所以v2=2gH=2gH===4.47m/sγ气ρgρ1.2912123⑤流量Q=v2ω2=4.77×πd=4.77××3.14×0.2=1.5m/s44例3.8如图3.29所示水池A和密封水箱B之间用一根长l1=15m,直径为d=0.05m的管道连接,并在B水箱中接通另一根直径d相同,长l2=30m的输水管,水流流入大气中,22vv如图所示。设管道进口水头损失hj进=0.5,闸门的水头损失hj闸=3.2,管道出口水头损2g2g22v1v失hj出=,管流每米长的水头损失hf=0.02,v是管中断面平均流速。不计箱中及池2gd2g中流速,当恒定出流时,试求管中流量及B水箱中的液面压强pB。解为计算管中流量,首先应用伯诺里方程求出管中断面平均流速,为此,取渐变流断面1-1,2-2和3-3如图所示。以2-2断面为基准面写1-1到2-2断面间水流的伯诺里方程:·61· 水力学图3.292pBpB0.02×15vH1=+hj进口+hj出口+hf1-2=+(0.5+1.0+)γγ0.052g2pBv所以H1=+7.5(1)γ2g再以过3-3断面管轴线中点为基准面0-0写2-2到3-3断面间水流的伯诺里方程:2pBvH-H1++0=+hj进+hj阀+hf2-3=γ2g220.02×30vv(1+0.5+3.2+)=16.7(2)0.052g2g2v由(1)(2)式得:H=24.2,已知H=12.1m,2g2得:v=g,v=g=3.13m/s,π23Q=v/ω=3.13××0.05=0.0065m/s=6.15l/s42vpB由=0.5m,代入(1)得:0.8=+7.5×0.52gγpB所以=-2.95m水柱γ本题的求解可以先由1-1至3-3断面的伯诺里方程求出管中流速v,从而求出流量Q,然后再用2-2到3-3断面(或1-1到2-2断面)的伯诺里方程求出水箱液面压强pB,读者可用此方法作一练习。(4)有分流或汇流时实际液体总流的伯诺里方程前面所讨论的实际液体总流的伯诺里方程,只适用于在两过水断面之间没有流量的汇入或流出的液体流动。如果总流在两个计算断面之间有叉道,或者为两汇合的液流,则应分别对每一支液流建立能量方程。下面进行简要分析。1)有分流的情况如图3.30所示一股流量为Q1的液流分为两支流量分别为Q2和Q3的液流,根据能量守恒原理,从1-1断面在单位时间内输入液体的总能量应等于从2-2断面和3-3断面输出液体的总能量加上两支水流的能量损失,在实用上,这两支水流的能量损失可假设不计分叉处的水头损失,并假设将Q1分为两股液流,一股流量为Q2,从1-1断面流到2-2断面,其单位重量液体的水头损失为hω;另一股流量为Q3,从1-1断面流到3-3断面,单位重量液体的水头损失12·62· 第3章水动力学基础为hω,于是可得:13222p1α1v1p2α2v2p3α3v3γQ1(z1+(+)=γQ2(z2++)+γQ3(z3++)+γQ2hω+γQ3hωγ2gγ2gγ2g1213根据连续性方程Q1=Q2+Q3,代入上式整理得:22p1α1v1p2α2v2Q2[(z1++)-(z2++)-hω]+γ2gγ2g1222p1α1v1p2α2v2Q3[(z1++)-(z2++)-hω13]=0图3.30γ2gγ2g由前面的假设可知,上式中,等式左端两项分别表示了各股水流的输入总机械能与输出的总机械能和水头损失之差,应分别为零,因此有:22p1α1v1p2α2v2z1++=z2+++hωγ2gγ2g1222p1α1v1p3α3v3z1++=z3+++hω(3.37)γ2gγ2g132)有汇流的情况如图3.31所示为两支汇合的水流,其每支流量分别为Q1与Q2,这两支具有不同总机械能的液流,将各以不同的水头损失到达汇合点,成为具有同一总机械能的液流,汇流前进。根据能量守恒原理,从1-1断面及2-2断面在单位时间内输入的液体的总能量,应当等于3-3断面输出的总能量加上两支水流的水头损失,即:22p1α1v1p2α2v2γQ1(z1++)+γQ2(z2++)=γ2gγ2g2p3α3v3图3.31γQ3(z3+γ+2g)+γQ1hω13+γQ2hω12同样,根据连续性方程Q3=Q1+Q2,代入上式整理得:22p1α1v1p3α2v3Q1[(z1++)-(z3++)-hω]+γ2gγ2g1322p2α2v2p3α3v3Q2[(Z2++)-(z3++)-hω]=0γ2gγ2g23同理可得:22p1α1v1p3α3v3z1++=z3+++hωγ2gγ2g1322p2α2v2p3α3v3z2++=z3+++hω(3.38)γ2gγ2g23(5)有机械能输入或输出时总流的伯诺里方程当计算断面1-1至断面2-2间有机械能输入水流内部或者从水流内部输出时,前面所讨论的总流的能量方程就不再适用。液流中有机械能输入或输出的情况在工程中是常见的,例如,中间接有水泵的输水管路中的水流,是通过水泵叶片转动向水流输入能量的典型例子;在水电站中安装了水轮机的有压管路系统的水流,是水流向外界(水轮机)输出能量的典型例子。设单位重量液体从外界获得的(或向外界输出的)机械能为Hm,则根据能量守恒原理,伯诺里方程应为·63· 水力学22p1α1v1p2α2v2z1++±Hm=z2+++hω(3.39)γ2gγ2g12当为输入能量时,Hm前的符号取“+”号,当为输出时取“-”号。例3.9为测验一台水泵的功率,可在水泵进、出口处分别安装一真空表和一压强表。设22测得真空值pv=0.25kgf/cm,压强p2=2.0kgf/cm。泵进、出口断面的高差为z2=0.2m,进口管径d1=150mm,出口管径d2=100mm,管中流量为50l/s,求水流从水泵处所获得的净功率(图3.32)解①取进、出口断面分别为1-1过水断面及2-2过水断面;②取基准面与1-1断面重合;z1=0,z2=0.2m图3.32p1p2③采用相对压强:=-2.5m,=20mγγ④设水泵供给单位重量水流的净能量,即水泵提供的净水头(不计泵内水流的水头损失)为Hm。工程上称Hm为水泵的扬程。本例为有机械能输入水流中的情况。写1-1断面到2-2断面的伯诺里方程:22p1v1p2v2z1+++Hm=z2++γ2gγ2g⑤由连续性方程知:v1ω1=v2ω2=Q,v1=Q/ω1,v2=Q/ω2,12122ω1=πd1=×3.14×0.15=0.0177m,4412122ω2=πd2=×3.14×0.1=0.00785m442v1=0.05/0.0177=2.83m/s,(v1/2g)=0.408m,2v2=0.05/0.00785=6.37m/s,(v2/2g)=2.07m将所算得的数据代入能量方程中得:0-2.5+0.408+Hm=0.2+20+2.07因此,Hm=24.36m,即水泵将单位重量的水提升24.36m。水流从水泵中获得的净功率应等于水泵在单位时间内提升的水的重量与泵的扬程的乘积,即:N=γQHm=1000×0.05×24.36=1218kgf·m/s=1218/102=11.94kW3.12恒定总流的动量方程前面所介绍的能量方程,描述了液体的位置高度、流速、压强等运动要素沿流程的变化规律。本节讨论恒定总流的动量方程,即研究液体一元流动的作用力与动量(或流速)变化之间的相互关系。该方程的实质是动量定理在液体运动中的表达式。动量方程、连续性方程及能·64· 第3章水动力学基础量方程是水力学中最基本,且最重要的三大方程。恒定总流的动量方程是根据理论力学中采用拉格朗日法表述的质点系动量定理推导的。dK质点系的动量定理可表述为:质点系动量K对时间的一阶变化率等于该质点系所受外力的dt合力∑F,即:dKd(∑mu)==∑Fdtdt它是一个矢量方程。在恒定总流中,任意截取1-1断面与2-2断面之间的一段液流,如图3.33所示。先从该段恒定总流中任取一束元流进行分析。设元流断面1-1的面积为dω1,流速为u1,流量为dQ1;元流断面2-2的面积为dω2,流速为u2,流量为dQ2,经过dt时段后,流段从位置1→2流动到新的位置1′→2′。由于是恒定流动,1′-2段内元流的形状和位置,以及动量均不随时间而变化,故元流1-2段在图3.33经过时段dt后的动量增量等于2-2′段元流的动量减去1-1′段元流的动量,即:dK=ρdQ2dtu2-ρdQdtu1对于不可压缩液体,dQ1=dQ2=dQ,故:dK=ρdQdt(u2-u1)根据质点系的动量定理,可得恒定元流的动量方程为:ρdQ(u2-u1)=F(3.40)式中,F是作用在元流1-2上外力的合力。通过对总流上所有元流动量增量的矢性积分,可以得到总流1-2段经过时段dt后的动量的改变量为:∑dK=∫ωρdQdtu2∫-ωρdQdtu1=21ρd∫tu2u2dω2-u1u1dω1ω∫ω11总流过水断面上的流速分布,一般为未知函数,故可类似于推导总流能量方程时,对动能项的积分,是以断面平均流速v代替断面上流速分布函数u,并加以适当修正,这里也引用断面平均流速代替断面上u分布函数来解上式中的积分。若所选的计算断面1-1和2-2均为渐变流断面,则各点流速u与断面平均流速v在方向上基本一致。引入动量修正系数β,则总流的动量增量为:∑dK=ρdt(β2v2v2ω2-β1v1v1ω1)β是实际动量与按断面平均流速计算的动量的比值,其表达式为:2∫ωudQ∫ωudQ∫ωudωβ===2vQvQvω·65· 水力学β值与断面流速分布有关,一般β=1.02～1.05。又由恒定总流的连续性方程有:v1ω1=v2ω2=Q,故得:∑dK=ρQdt(β2v2-β1v1)根据质点系动量定理,对于总流有:d∑K∑dK==∑Fdtdt可得:ρQ(β2v2-β1v1)=∑F(3.41)该式即为液体恒定总流在没有分流或汇流情况下的动量方程。式(3.41)是一个矢量方程,在笛卡尔坐标系中可将该方程写为三个投影形式的代数方程:ρQ(β2v2x-β1v1x)=∑FxρQ(β2v2y-β1v1y)=∑Fy(3.42)ρQ(β2v2z-β1v1z)=∑Fz(3.41)式不仅适用于理想液体,而且也适用于实际液体。应用动量方程时需注意以下各点:①液体流动需是恒定流;②过水断面1-1和2-2应选在均匀流或者渐变流断面上,以便于计算断面平均流速和断面上的压力;③∑F是作用在被截取的液流上的全部外力之和,外力应包括质量力(通常为重力),以及作用在断面上的压力和固体边界对液流的压力及摩擦力;④在初步计算中,可取动量修正系数β=1.0;⑤当液流有分流或汇流的情况,可由与推导有分、汇流时的连续性方程类似的方法,写出其动量方程为:图3.34如图3.34(a)所示,当有分流的情况:ρ(Q2ρ2u2x+Q3β3v3x-Q1β1v1x)=∑Fxρ(Q2β2v2y+Q3β3v3y-Q1β1v1y)=∑Fyρ(Q2β2v2z+Q3β3v3z-Q1β1v1z)=∑Fz·66· 第3章水动力学基础如图3.34(b)所示,当有汇流的情况:ρ(Q3β3v3x-Q2β2v2x-Q1β1v1x)=∑Fxρ(Q3β3v3y-Q2β2v2y-Q1β1v1y)=∑Fyρ(Q3β3v3z-Q2β2v2z-Q1β1v1z)=∑Fz例3.10管路中一段水平放置的等截面弯管,直径d为200mm,弯角为45°(图3.35)。管中1-1断面的平均流速v1=4m/s,其形心处的相对压强p1=1个大气压。若不计管流的水头损失,求水流对弯管的作用力Rx和Ry。(坐标轴x与y如图所示)。解①欲求水流对弯管的作用力,可先求得弯管对水流的反作用力。为此,取渐变流过水断面1-1和2-2以及管内壁所围封闭曲面内的液体作为研究对象。②作用于该段液流表面的表面力有断面1-1和2-图3.352上的压力,可以用断面形心处的压强作为断面平均压强,因而断面上的总压力为:P1=p1ω1P2=p2ω2其中p1和p2为相对压强(由于管壁两侧均为大气,相互抵消,因而可以用相对压强),另有弯管对水流的反作用力R′x及R′y,设其方向如图所示;质量力为该段液体的重力,它在水平坐标面Oxy上的投影为零。③为求得弯管对水流的作用力,则需采用动量方程。可分别写出x与y方向上总流的动量方程为:ρQ(β2v2cos45°-β1v1)=p1ω1-p2ω2cos45°-R′xρQ(β2v2sin45°-0)=0-p2ω2sin45°+R′y于是可得:R′x=p1ω2-p2ω2cos45°-ρQ(β2v2cos45°-β1v1)R′y=p2ω2sin45°+ρQβ2v2sin45°12123式中:Q=πdv1=×3.14×0.2×4=0.126m/s,由于上两式中p2和v2还未知,因而还44需配合应用连续性方程和伯诺里方程求解。④由总流的连续性方程可得:v2=v1=4m/s。⑤因弯管水平放置,且不计水头损失,可以管轴线所在的xy平面作为基准面,写断面1-1到2-2间水流的伯诺里方程为:22p1v1p2v20++=0++γ2gγ2g2故得:p1=p2=1个大气压=9.8N/cm1212于是:p1ω1=p2ω2=p1πd1=98××3.14×20=3077N44取:β1=β2=1,将上述数据代入动量方程中得:·67· 水力学22R′x=3077-3077×-1000×0.126×4×(-1)=1049N2222R′y=3077×+1000×0.126×4×=2532N22水流对弯管的作用力Rx与Ry分别与R′x与R′y大小相等,方向相反。例3.11矩形断面渠道水从闸门下出流(图3.36),上游水深h0=2.5m,下游水深h1=0.5m,求作用在每米宽闸门上水流的水平推力。略去水头损失与摩擦阻力。解①欲求作用在闸门上水流的水平推力,应先求闸门对水流的反作用力。为此,选择渐变图3.36流过水断面1-1至2-2断面之间的一段水流进行讨论;②过水断面1-1到2-2之间总流所受的表面力有作用于1-1断面和2-2断面上的动水压力P1与P2,它们的大小可按静水压强的分布规律计算,其中:1212P1=γh0·1(kN)=×9.8×2.5×1=30.625kN221212P2=γh1·1(kN)=×9.8×0.5×1=1.225kN22以及闸门对水流的反作用力R′;总质量力为过水断面1-1到2-2之间的液流的重力;③要求力,则需采用恒定总流的动量方程,为此需先配合采用伯诺里方程和连续性方程求出两过水断面的断面平均流速v1和v2。因而,选渠底为基准面,略去水头损失,写1-1断面到2-2断面间水流的伯诺里方程为:(取α1=α2=1)22v0v2h0+0+=h1+0+2g2g整理得:22v2-v0=h0-h1=2.5-0.5=2m2g22或v2-v0=4g应用连续性方程:v1ω1=v2ω2,(v1=v0),取单位宽度计算ω,则:v0h0·1=v2h2·1v2=5v0可解得:v0=1.278m/sv2=6.39m/s3Q=v0h0·1=1.278×2.5×1=3.195m/s④最后,由总流的动量方程得:ρQ(v2-v0)=P1-P2+(-R′)所以R′=P1-P2-ρQ(v2-v1)=30.625-1.225-1000×·68· 第3章水动力学基础-33.195×(6.39-1.278)×10=13.07kN水流作用在每米宽闸门上的推力为R=-R′=-13.07kN。例3.12主管水流经过一非对称分岔管,由两短支管射出,管路布置如图(图3.37),出流流速v2与v3均为10m/s,主管和两支管在同一水平面内,忽略阻力。①求固定分岔管的支座所受的x方向和y方向的力的大小;②管径为10cm的支管应与x轴交成何角度时才使作用力的方向沿着主管轴线?解①计算水流作用在管体的力:A.计算主管流速v1,流量Q1和压强p12πd2Q2=v2×=4图3.3712310××3.14×0.1=0.0785m/s42πd3Q3=v3×=412310××3.14×0.075=0.0442m/s4由有分流情况恒定总流的连续性方程知:3Q1=Q2+Q3=0.0785+0.0442=0.1227m/sQ10.1227×4所以v1==2=6.947m/s123.14×0.15πd14因管路水平放置,故可以以管轴线所在的平面为基准面;并取渐变流断面1-1断面、2-2断面以及3-3断面,射流出口断面上近似为大气压强,故有p2=p3=0,写1-1断面到2-2断面间水流的伯诺里方程为:22p1α1v1α2v2+=(水头损失因忽略阻力而不计)γ2g2g令:α1=1,α2=122v2-v1整理得:p1=γ,由题意知v2=v3=10m/s,则:2g22v2-v1p1=γ=2g210-6.94729800×=25869.6N/m2×9.812P1=p1ω1=p1×πd1=41225869.6××3.14×0.15=456.92N4B.计算作用力:取1-1,2-2,3-3断面间的水体(图3.38)作为研究对象。该水体所受的表面力为1-1断面的压力P1,(2-2断面及3-3断面均为大气压力P2=P3=0),以及管壁对水流的反作用力R′x及R′y如图示,质量力为该水体的重力,垂直于管路平面。·69· 水力学本例为有分流情况,动量方程为:在x方向:(ρQ2v2cos5°+ρQ3v3cos30°)-ρQ1v1=P1-R′x在y方向:ρQ3v3sin30°-ρQ2v2sin5°=R′yR′x=P1-可得(Q2v2cos5°+Q3v3cos30°-Q1v1)=图3.38456.92-1000(0.0785×10×cos5°+0.0442×10×cos30°-0.1227×6.947=144.52NR′y=ρ(Q3v3sin30°-Q3v3sin5°)=11000×(0.0442×10×-0.0785×10×0.087)=152.2液体对支座的作用力Rx=144.52N(方向与R′x相反)Ry=152.58N(方向与R′y相反)②设管径为10cm的支管与主管轴线成α角度,才能使作用力的方向沿主管轴线,即y方向的力R′y=0,写出y方向的动量方程为:R′y=ρQ3v3sin30°-ρQ2v2sinα=0整理得:10.0442×10×Q3v3sin30°2α=arcsin()=arcsin()=16°20′59″Q2v20.0785×10通过以上例题可以看出,要求解实际液体恒定总流的运动要素的值或总流段上所受的力时,往往需要综合应用恒定总流的三大基本方程。实际液体恒定总流的三大基本方程,即连续性方程、能量方程与动量方程是水动力学的基本方程,它们是求解工程实际的水力计算问题的基本依据,也是本门课程的理论核心。连续性方程及动量方程的限制条件与伯诺里方程的限制条件各不相同,在求解实际液体恒定流的动力学问题时,如果需要用这三大方程联立求解,则必须同时考虑三个方程的全部适用条件。特别是要注意过水断面的选择应选在均匀流或渐变流断面上。思考题3.1什么是液体运动的当地加速度?什么是迁移加速度?3.2拉格朗日法和欧拉法研究液体运动,其方法上有什么不同?3.3什么是流线?什么是迹线?它们是同一条线吗?3.4流管、元流、总流的概念是什么?3.5过水断面,流量及断面平均流速的定义是什么?3.6恒定流与非恒定流的区别是什么?3.7均匀流与非均匀流的区别是什么?均匀流是否就是恒定流?非均匀流是否一定是·70· 第3章水动力学基础非恒定流?3.8渐变流与急变流的区别是什么?3.9何谓有压流,何谓无压流?3.10如何定义一元流动、二元流动和三元流动?什么是平面流动?什么是轴对称流动?3.11什么是位置水头?什么是压强水头?什么是流速水头?什么是测压管水头、总水头?它们各表示液体运动的什么能量?如何用图表达液体运动各种水头的沿程变化情况?3.12什么是水力坡度?什么是测压管水头线坡度?它们各表示什么物理意义?3.13伯诺里方程的适用条件有哪些?3.14对于有分汇流情况,水力学三大基本方程的表达式分别是什么?在写这些方程时应如何取控制体?3.15试分别说明水力学三大基本方程的物理意义。习题3.1如图示水流通过二段等截面及一段变截面管组成的管路系统,上游水池水位保持不变,问:(1)如阀门A开度一定,各管段中是恒定流,还是非恒定流?各段管中是均匀流还是非均匀流?(2)如阀门A渐渐关闭。这时管中为恒定流还是非恒定流?(3)在恒定流的情况下,当判别第Ⅱ段管中是渐变流还是急变流时,与该段管长有无关系?题3.1图题3.2图3.2如图示,当水箱内水面逐渐下降时,孔口流出液流的流线和迹线是否相同?而当流量得到源源补充,使水面位置保持不变,则又如何?ux=a3.3已知平面流动的流速分布为,其中a,b为常数,求流线方程的积分式。uy=bcxcy3.4已知流速场为:ux=22,uy=22,uz=0,其中cx和cy均为常数,求流线方x+yx+y程。3.5直径d为100mm的输水管,管中有一变截面管段如图,若测得管内流量Q为10l/s,变截面管段最小截面处的断面平均流速v0=20.3m/s,求输水管的断面平均流速v及最小截面处的直径d0。3.6自来水管直径d1=200mm,通过流量Q=25l/s,求管中的平均流速v1;该管后面接·71· 水力学题3.5图题3.6图一直径d2=100mm的较细水管,求断面平均流速v2(如题3.6图)3.7在图示管路水流中,过水断面上各点流速按下列抛物线方程轴对称分布:r2u=umax[1-()]r0式中水管半径r0为3cm,管轴上最大流速umax为0.15m/s。试求管流流量Q与断面平均流速v。题3.7图题3.8图3.8图示输送海水的管道,管径d=0.2m,进口断面平均流速v=1m/s,若从此管中分3出流量Q1=12l/s,问管中尚余流量Q2等于多少?设海水密度为1.02t/m,求重量流量γQ2。3.9在一过水断面为矩形的人工渠道,其宽度B等于1m(题3.9图),测得断面1-1与2-2处的水深h1为0.4m,h2=0.2m。若断面2-2的平均流速v2=5m/s,试求通过此渠道的流量Q及断面1-1的平均流速。题3.9图题3.10图3.10一直径D为1m的盛水圆筒铅垂放置,现接出一根直径d=10cm的水平管子。已知某时刻水管中断面平均流速v2=2m/s,求该时刻圆筒中液面下降的速度v1。(题3.10图)3.11利用毕托管原理测量输水管中的流量(题3.11图),已知输水管直径d为200mm,测得水银压差计读数hp为60mm,若此时断面平均流速v=0.84uA,式中uA是毕托管前管轴上未受扰动之水流的A点的流速。问输水管中的流量Q多大?3.12一个水深1.5m,水平截面积为3m×3m的水箱(题3.12图),箱底接一直径d=200mm,长为2m的竖直管,在水箱进水量等于出水量情况下作恒定出流,试求点3的压强。略去水流阻力,即hω=0。3.13图示利用毕托管测量水管中点A的流速uA,U型压差计中用四氯化碳溶液3(CCl4),其容重γ′=16000N/m,压差计读值h=0.6m,求A点的流速。设流速系数为φ=真实流速0.98,(φ=)。理想流速·72· 第3章水动力学基础题3.11图题3.12图题3.13图题3.14图3.14有一输水管路,由两根直径不同的等径管子与一直径渐变的管段组成,dA=200mm,dB=400mm,A点的相对压强pA为0.7个大气压,B点的相对压强pB=0.4Pa,B点处的断面平均流速vB=1m/s。A、B两点高差Δz=1m。要求判明水流方向,并计算这两断面间的水头损失hω。3.15为了测量石油管道的流量,安装一文丘里流量计。管道直径d1为20cm,文丘里管3喉道直径d2=10cm,石油密度ρ为850kg/m,文丘里管流量系数μ=0.95,水银压差计读数hp=15cm,问此时石油流量Q为多大?题3.15图题3.16图3.16如图所示水管通过的流量等于9l/s,若测压管水头差h为100.6cm,直径d2为5cm,试确定直径d1。3.17图示一文丘里流量计,水银压差计读数为360mm,若不计A、B两点间的水头损失,试求管道中的流量。已知管道直径d1=300mm,喉段直径d2=150mm,渐变段AB长为750mm。3.18如图所示,用一根直径d=200mm的管道从水箱中引水,水箱中的水由于不断得到外界的补充而保持水位恒定。若需要流量Q为60l/s,问水箱中水位与管道出口断面中心的高差H应保持多大?假定水箱截面积远大于管道截面积,水流总的水头损失hω为5m(水柱)。·73· 水力学题3.17图题3.18图23.19图示容器内存有水,水流沿变断面管道流入大气作恒定流动。已知A0=4m,222A1=0.04m,A2=0.1m,A3=0.03m。水面与各断面距离为:h1=1m,h2=2m,h3=3m,不计水头损失,试求断面A1及A2处的相对压强。题3.19图题3.20图3.20一大水箱下接直径d=150mm之水管,水经最末端出流到大气中,末端管道直径22vDvDd=75mm,设管段AB和BC间的水头损失均为hω=,管段CD间的水头损失hω=2,试2g2g求B断面的压强和管中流量。3.21图示为一圆锥形喷嘴,长为L=600mm,入口直径d1=75mm,将它接在水管末端。已知:射流流量Q=10l/s,水从喷嘴喷出的高度H=15m(不计空气阻力),喷嘴内压强损失2pl=γ·hω=3920N/m,试求喷嘴入口断面处所需的液流压强p1及出口断面直径d2。题3.21图题3.22图223.22由断面为0.2m和0.1m的两根管道组成的水平输水管系从水箱流入大气中。(1)若不计水头损失,求断面平均流速v1和v2及进口后面渐变流断面B处的压强;(2)考虑水22v1v2头损失,第一段为4,第二段为3,求断面平均流速v1和v2。2g2g·74· 第3章水动力学基础3.23图示用直径d=0.5m的管道将河水引入集水井,设水流从河中经过管道流入集水2v井的全部水头损失ha=5,已知河水位与井水位相差h=2m,求管中的流量。2g题3.23图题3.24图2v3.24离心式水泵吸水。水池液面1-1至管道进口后的断面2-2的水头损失为10,高2g差为2m,吸水管直径为0.5m,断面3-3上的真空高度为30cm水银柱,断面2-2至断面3-32v的水头损失为1.2,泵轴心至水面的距离为3m,试求断面2-2的压强p2及通过管中的流2g量。题3.25题3.26图3.25图示一虹吸管,通过的流量Q=28l/s,管段AB和BC的水头损失均为0.5m,B处离水池水面高度为3m,B处与C处的高差为6m。试求虹吸管的直径d和B处的压强。3.26一台离心泵,抽水量为220l/s,水泵进口允许真空度已知为4.5m水柱,水泵进口直径d=300mm(题3.26图),从水池经管道进口的吸水滤头至水泵进口的水头损失为1m,求能避免汽蚀的水泵进口轴线至水源水面的最大高度(称为水泵的最大安装高度)hs。3.27有一直径缓慢变化的锥形水管(题3.27图),1-1断面处直径为d1=0.15m,中心2点A的相对压强为7.2kN/m,2-2断面处直径d2为0.3m,中心点B的相对压强为6.1kN/2m,断面平均流速v2为1.5m/s,A、B两点高差为1m,试判别管中水流方向,并求1、2两断面间的水头损失。3.28如图示(题3.28图),从水塔引出的水管,其末端连接一个消防喷水枪,将水枪置于和水塔液面高差H为10m的地方,若水管及喷水枪系统的水头损失为3m,试问喷水枪所喷出的液体最高能达到的高度h为多少?(不计在空气中的能量损失)。3.29一水池通过直径有改变的管道系统泄水(题3.29图),已知管道直径d1=125mm,d2=100mm,喷嘴出口直径d3=75mm,水银比压计中读数Δh=175mm,不计管道中流动的液·75· 水力学题3.27图题3.28图体的水头损失,求管道流量Q和喷嘴上游管道中的压力表读数p。(压力表3-3断面中心点的高差可略)题3.29图题3.30图3.30一盛水的密闭容器(题3.30图),液面上的气体的相对压强p0为0.5大气压。若在容器底部接一段管路,管长L为4m,与水平面夹角为30°,出口断面直径d为50mm。管路进口断面中心位于水下深度H为5m处,水出流时总的水头损失hω=2.3m,求水的出流量Q。3.31一水平变截面管段接于输水管路中,管段进口直径d1为10cm,出口直径d2为5cm(题3.31图)。当进口断面平均流速v1为1.4m/s,相对压强p1为0.6个大气压时,若不计两截面间的水头损失,试计算管段出口断面的相对压强。题3.31图题3.32图3.32水箱中的水从一扩散短管流到大气中(题3.32图),若直径d1=100mm,该处绝对压强p1为0.5大气压,直径d2为150mm,求水头H。水头损失可以忽略不计。3.33在水平管路中所通过的水流量Q=2.5l/s,直径d1为5cm,d2为2.5cm,相对压强p1为0.1个大气压,两断面间水头损失可忽略不计,问:连接于该管收缩断面上(题3.33图)的测压管可将水自容器内吸上多大的高度h?3.34一矩形断面平底的渠道,其宽度B为2.7m,河床在某断面处抬高0.3m,抬高前的·76· 第3章水动力学基础题3.33图题3.34图水深为1.8m,抬高后水面降低0.12m(题3.34图),若水头损失hω为尾渠流速水头的一半,问流量Q等于多少?3.35一水平喷射水流作用在铅垂平板上,射流的流量Q=10l/s,流速v=10m/s,求射流对平板的作用力F。(水平面图如题3.35图)题3.35图题3.36图3.36水流从喷嘴中水平射向一相距不远的静止壁面,接触壁面后分成两段并沿其表面流动,其水平面图如题3.36图所示。设固壁及其表面的液流对称于喷嘴的轴线。若已知喷嘴3出口直径d为40mm,喷射流量Q为0.0252m/s,求:液流偏转角θ分别等于60°,90°与180°时射流对固壁的冲击力R,并比较它们的大小。3.37将一平板放置在自由射流中,并垂直于射流的轴线,该平板截去射流流量的一部分题3.37图题3.38图3Q1,并将射流的剩余部分偏转角度θ,如题3.37图所示。已知v=30m/s,Q=0.036m/s,Q1=30.012m/s,若不计摩擦力与液体重量的影响,试求射流对平板的作用力,以及射流偏转角θ。(射流流动在同一水平面上)。·77· 水力学3.38有一沿铅垂直立墙壁铺设的弯管如题3.38图所示,弯头转角为90°,起始断面1-1与终止断面2-2间的轴线长度L为3.14m,两断面中心高差ΔZ为2m,已知1-1断面中心处2动水压强p1为117.6kN/m,两断面之间水头损失hω=0.1m,已知管径d=0.2m,试求当管3中通过流量Q为0.06m/s时,水流对弯头的作用力。3.39水由一容器经小孔口流出(题3.39图)。孔口直径d为10cm,若容器中水面高度H为3m,求孔口射流的反作用力R。题3.39图题3.40图3.40一过水堰,上游渐变流断面1-1的水深h1=1.5m,下游渐变流断面2-2的水深h2=0.6m,断面1-1和2-2之间的水头损失略去不计,求水流对每米宽过水堰的水平推力(题3.40图)。题3.41图题3.42图3.41管道在某混凝土建筑物中分叉。已知,主管直径D=3m,分叉管直径d=2m,主管3p1流量Q=35m/s。两分岔管流量均为Q/2。分岔管转角α为60°,断面1-1处的压强水头=γ30m水柱,不计水头损失,求水流对支座的作用力。3.42一矩形断面渠道宽4m,渠中设有薄壁堰(置于渠道横截面上的挡水薄板,水可以从板顶部溢流至下游,用于测量流量),堰顶水深1m,堰高2m,下游尾水深0.8m,已知通过堰的3流量Q=6.8m/s,堰后水舌内外均为大气,试求堰壁上所受动水总压力(上、下游河底为平底,河底摩擦阻力略去不计)。·78· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失由第一章的讨论可知,实际液体的运动由于粘性的作用使得相邻液层之间以及液体与边界之间存在着相互作用的切应力,低速层对高速层的切应力表现为阻力,液流阻力作功而造成机械能损失。在前一章中,已将单位重量液体的机械能损失定义为水头损失。水头损失的机理及计算是个很复杂的问题。对此问题,科学家们作了大量的科学实验研究及理论分析工作。本章将简要地介绍他们的研究成果:1)流动的两种不同型态(简称流态);2)流动阻力和水头损失与流态的关系;3)沿程阻力与沿程水头损失的普遍关系式———均匀流基本方程;4)水头损失的计算公式;5)绕流阻力。4.1水流阻力与水头损失分类水流阻力与水头损失的产生取决于两个条件,一是液体具有粘滞性,二是流动边界的影响。前者是主要的,起决定作用的因素。但对于不同边界的液流,过水断面上流速分布不同,因而对流动阻力及水头损失的影响也不同。若采用一元流动分析方法,可根据造成水流阻力和水头损失的外在原因,即流动的不同边界情况,将水头损失hω分为沿程水头损失hf和局部水头损失hj两种,以便于分析研究。(1)沿程阻力和沿程水头损失流动边界沿程不变的均匀流中,固体边界虽然是平直的,但由于边界粗糙及液流的粘滞作用,引起过水断面上流速分布不均匀,液流内部质点之间发生相对运动,从而产生切应力,但仅仅产生沿程不变的切应力,称为沿程阻力(或摩擦力);在流动过程中,要克服这种摩擦阻力就要作功,单位重量液体由于沿程阻力作功所引起的机械能损失称为沿程水头损失,以hf表示。由于沿程阻力沿流程均匀分布,因而沿程水头损失与流程的长短成正比。总水头线坡度J沿程不变,总水头线为一条直线。由伯诺里方程可计算出均匀流从过水断面1-1到过水断面2-2间流段的水头损失为:p1p2hf=hω=(z1+)-(z2+)(4.1)1-2γγ说明克服沿程阻力所消耗的能量由势能提供。当液体流动为渐变流动时,水流阻力就不仅仅有沿程阻力了,而且沿程阻力的大小沿流程·79· 水力学也要发生变化。为简化计算,常将十分接近的两过水断面之间的渐变流视为均匀流而采用均匀流计算该流段的沿程水头损失的公式计算其水头损失,实践表明这样的近似对于处理工程中的水力计算问题是可以的。(2)局部阻力及局部水头损失在急变流段上所产生的流动阻力称为局部阻力,相应的水头损失称为局部水头损失,以hj表示。急变流段上流动边界急剧变化,使得过水断面形状及大小、断面上的流速分布及压强分布均沿程迅速变化,并且往往会发生主流与固壁边界脱离,在主流与边界之间形成漩涡区,漩涡区内过水断面上的流速梯度增大,相应地粘性阻力也增大(例如图4.1(a)所示管流中有半开的阀门,断面2-2至断面4-4为急变流段;图4.1(b)为该流动的均匀流断面1-1及急变流断面3-3的流速分布),漩涡运动的产生及发展还会使流体质点的运动更加紊乱,相互碰撞加剧。由于上述各种现象,使得急变流段上的流动阻力及水头损失均比同长度的均匀流段上大得多。图4.1实际的液体运动,通常是由若干段均匀流、渐变流及急变流组成,整个流动的水头损失应是全部这些流段的水头损失之和。例如图4.1(c)所示水流,若探讨包括管道进口前的渐变流断面1-1及管道出口后的渐变流断面5-5的管流,管段1、2、3、4都较长,主要为均匀流,断面2-2及3-3处管径突然变化,断面4-4处有半开的阀门,因而这些断面前、后是急变流,断面1-1至管道进口以及管道出口至断面5-5也属急变流。则整个管流总的水头损失hω是所有均匀流段的沿程水头损失以及所有急变流段的局部水头损失之和:hω=(hf1+hf2+hf3+hf4)+(hj进口+hj扩大+hj缩小+hj阀门+hj出口)·80· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失对于任意一个流动,总的水头损失可用下式计算:nmhω=∑hfi+∑hjk(4.2)i=1k=1式中n———均匀流段数;m———急变流段数(局部水头损失个数)。上式称为水头损失叠加原理。4.2实际液体流动的两种型态英国物理学家雷诺(OsborneReynolds)通过管道水流试验,研究不同的管径、管壁粗糙度及不同的流速与沿程水头损失之间的关系,他的实验揭示了实际液体运动在不同的边界条件及不同的流速时会有两种不同的流态,即层流和紊流,以及不同流态下水流运动的沿程水头损失有不同的规律。(1)雷诺实验雷诺实验的装置如图4.2(a)所示。水平放置一玻璃管与水箱相连,水箱水面保持恒定,另接一装有颜色水的容器,颜色水的容重与水的容重相同,经细管流入玻璃管中,以小阀门调节颜色水流量。以调节阀调节玻管内水流量,从而达到控制流速的目的。图4.2进行实验时,首先缓慢打开调节阀,使玻管内水的流速很小,再打开小阀门放出颜色水,此时可见颜色水呈一细股界线分明的直线流束,与周围的清水互不混掺(如图4.2(b)),这种流动状态称为层流。液体作层流运动时,各层液体质点互不混掺。若逐渐开大调节阀,使流速逐渐增大到足够大时,颜色水产生微小波动,如图4.2(c)所示。继续开大调节阀,当流速增大到某一数值时,颜色水横向扩散遍及至管道的整个断面,与清水混掺,使得整个管中水流被均匀染色,如图4.2(d)所示,这种流动称为紊流。图4.2(c)是层流与紊流之间的过渡状态。由层·81· 水力学流转化为紊流时的流速被称为上临界流速,以v′c表示。紊流状态下液体质点的运动轨迹极不规则,既有沿质点主流方向的运动,又有垂直于主流方向的运动,各点速度的大小和方向随时间无规律地随机变化。若以相反的程序进行试验,将开大的调节阀逐渐关小,玻管中已处于紊流状态的液体逐渐减速,经图4.2(c)所示的过渡状态后,当液体的流速降低到某一值vc时,玻璃管中的液流又呈现出颜色水鲜明的直线元流,说明水流已由紊流转变为层流了。由实验知vcv′c,流态为紊流,试验曲线ef的开始部分为与横轴(lgv轴)成65°15′夹角的直线,向上微弯后又渐为与横轴成63°25′夹角的直线;ef线的斜率为1.75～2.0;③be段,此段流速vc0,可得:νvdvcd<ννvd定义:Re=,称为液体流动的雷诺数;νvcdRec=,称为下临界雷诺数,ν则上述不等式说明:又可以利用雷诺数判别流态:当:ReRec时,液体作紊流运动。雷诺数是一个无量纲数,它反映了液体流动的惯性与液体粘性的对比关系,由实验得知:不同的流动边界情况以及不同的液体物理性质,流动的下临界雷诺数是同一个常数。因此,用雷诺数判别流态比用流速判别更方便。由大量试验资料可知,对于圆管满管有压流动,下临界雷诺数为Rec≈2300,是一个相当稳定的数值。对于其他情况,如圆管非满管流动,河道、明渠等具有自由液面的流动,同样存在两种流动型态,也同样可用临界雷诺数进行流态的判别。对于不是圆管有压流的其他各种流动,需采用水力半径R作为特征长度来定义雷诺数及临界雷诺数:vRRe=νvcRRec=νω式中水力半径R是过水断面面积ω与湿周X之比,即R=,湿周X是指过水断面上固X体边界与液体接触的部分的周长。vcR由实验得知:Rec==575ν例4.1有压管流水温为15℃,管径为2cm,水流的断面平均流速为8cm/s,试求管中水流型态以及水流型态转变时的临界流速或水温。2解水温15℃,查表1.3可知,ν=0.0114cm/s,实际管流的雷诺数为:vd8×2Re===1400<2300(层流)ν0.0114Recν2300×0.0114临界流速:vc===13.11cm/sd2·83· 水力学即当v增大到13.11cm/s以上时,水流由层流转变紊流。若不改变流速,即v=8cm/s,也可以因水温的改变而使ν及Re改变,从而使层流转变为紊流。临界流态下,ν值为:vd8×22ν===0.00696cm/sRec2300查表1.3可知,当水温升高到38℃以上时,水流转变为紊流。例4.2一断面为矩形的排水沟,沟底宽20cm,水深15cm,流速0.15m/s,水温15℃,试判别其流态。2解当水温为15℃时,ν=0.0114cm/s,非圆形断面的水力半径:ω20×15R===6cmX20+2×15vcR15×6Re===7900>575ν0.0114因此,流态为紊流。4.3均匀流基本方程、均匀流沿程水头损失的计算公式(1)形成均匀流的条件均匀流是沿流程各个过水断面上的流速分布及其他各水力要素都保持不变的流动,并且流线是相互平行的直线。对于圆管有压流动,若管道是管径及管材均沿程不变的长直管,则形成均匀流;对于明渠流动(指具有自由液面的流动),若渠道断面的形状、尺寸、壁面粗糙情况以及渠道的底坡都沿程不变,且在长、直、顺坡(即渠底高程沿流程下降)渠道中的恒定流,则形成均匀流。(2)均匀流基本方程以有压管流中均匀流为例推导均匀流基本方程,在过水断面1-1至2-2的流段中取中心处一圆形断面的元流进行研究。元流两过水断面的面积分别为dω1和dω2,过水断面1-1至图4.4·84· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失2-2间的距离为l,如图4.4所示。元流上所受的力有重力G,过水断面dω1和dω2上的压力p1dω1和p2dω2以及元流段表面的剪切力τX′l,均匀流是匀速直线流动,因此,沿元流流动方向各力的投影平衡,即:p1dω1-p2dω2+γdωlsinα-τX′·l=0均匀流各过水断面相等,所以dω1=dω2=dω。任选一基准面0-0,两断面中心点的高程差:Z1-Z2=lsinα,代入上式可得:p1p2τX′lτl(z1+)-(z2+)==(4.4)γγγdωγR′p1p2式中:X′为元流的湿周,R′为元流的水力半径。又由元流伯诺里方程知:(z1+)-(z2+)=γγh′f,比较两式可得元流的沿程水头损失为:τlh′f=或:τ=γR′J(4.5)γR′式(4.5)中的两式均称为均匀元流基本方程,该方程反映了沿程水头损失与沿程阻力之间的关系。对于无压流动,同样可以按照上述步骤列出沿流动方向的力的平衡方程而得到相同于式(4.5)的结果,因此,该方程对有压流或无压流都是适用的。图4.5如果讨论总流,则切应力为壁面沿程阻力τ0,如图4.5所示。将τ0代入式(4.5)得:τ0=γRJ或hf=τ0l/γR(4.6)式(4.6)称为均匀流基本方程。R及J分别是总流的水力半径及水力坡度。对于圆管有压流12πdω411R===d=r0Xπd42r0为圆管半径。故可得出:r0τ0=γ·J(4.7)2在过水断面上半径为r的某点处:·85· 水力学rτ=γJ(4.8)2比较式(4.7)和式(4.8)可得:τr=(4.9)τ0r0式(4.9)说明在圆管均匀流过水断面上,切应力呈直线分布,管壁处切应力值τ0最大,而管轴处切应力为零。(3)沿程水头损失的计算公式从实际液体均匀流的伯诺里方程可知沿程水头损失等于测压管水头差。由式(4.6)得:τ0lhf=。由实验研究知道τ0与下列因素有关:流速v、水力半径R、液体密度ρ、液体的动力粘γR度μ以及流动边界固壁的粗糙突起高度(称为绝对粗糙度)等。在工程实际中计算液流的沿程水头损失常采用下列经验公式:2lvhf=λ(4.10)4R2g上式称为达西公式,它是计算沿程水头损失的通用公式,即该式适用于任何流动型态的液流。d对于有压圆管流动,因为R=,代入式(4.10),则可得有压圆管流的沿程水头损失计算4公式为:2lvhf=λ(4.11)d2g式中,λ称为沿程阻力系数。它综合反映上述各种与τ0有关的因素对hf的影响。因而,沿程水头损失的计算就归结为如何确定λ。下面分别对层流及紊流讨论λ函数。4.4圆管中的层流运动(1)层流的沿程阻力对于层流运动,沿程阻力就是内摩擦力。液层间的内摩擦切应力可由牛顿内摩擦定律求du出:τ=μ。圆管中有压均匀流是轴对称流,若采用坐标系(x,r),并自管壁起沿径向设y坐dy图4.6标,即y=r0-r,如图4.6所示。则:·86· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失dudu=-dydr所以圆管层流的内摩擦切应力的计算式为:duτ=-μ(4.12)dr(2)圆管层流过水断面上的流速分布圆管均匀层流在半径r处的切应力由均匀流基本方程及式(4.12)可得:1duτ=rγJ=-μ2drγJ于是:du=rdr。2μ均匀流中各元流J值相等。对du积分,并考虑到边界条件r=r0时,u=0,可得:γJ2γJ2u=r+C,C=r04μ4μγJ22所以:u=(r0-r)(4.13)4μ上式表明圆管层流运动过水断面上流速分布是一个旋转抛物面,即在层流的情况下,圆管断面上流速分布为抛物线律。当r=0时,可得:γJ2u=umax=r0(4.14)4μ即断面上的最大流速在管轴上。因为流量Q=∫ωudω=vω,在过水断面上选取宽为dr的环形断面,面积为微元面积dω=2πrdr,如图4.6所示。则圆管层流的断面平均流速为:udωrQ∫ω10γJ22γJ2v===∫2(r0-r)2πrdr=r0(4.15)ωωπr004μ8μ比较式(4.14)和式(4.15)得:1v=umax(4.16)2即圆管层流中的平均流速为过水断面上最大流速的一半。在第3章中曾提出过动能修正系数α和动量修正系数β,它们的值均与过水断面上的流速分布有关。根据α及β的定义式以及流速分布函数(4.13)式可得圆管层流的动能修正系数:13α=3∫ωudω=2.0vω动量修正系数:12β=v2∫ωωudω=1.33(3)圆管层流的沿程水头损失计算公式由式(4.15)得:8μv32μvJ=hf/l=2=2γr0γd·87· 水力学2因此:hf=32μvl/γd(4.17)该式说明了圆管层流运动的水头损失hf与断面平均流速v成正比,即如图4.3中的ab段所示。将式(4.17)转化为达西公式的形式:2222·32·μlv64lv64lvhf=··=··=··v·ρ·dd2gvdd2gRed2gν将上式与式(4.11)比较可得圆管层流的沿程阻力系数为:64λ=(4.18)Re例4.3利用管径d=75mm的管道输送重油,如图4.7所示。已知重油的重度γ油=328.83kN/m,运动粘性系数ν油=0.9cm/s,如在管轴上装有带有水银压差计的毕托管,读得水3银液面高差hp=20mm,求重油每小时流量及每米长的沿程水头损失(γ水银=133.28kN/m)。解①欲求重油每小时流量,需先求得流速。从图4.7所示装置看,可以测得A点的流速,取测速管前的滞止点B,沿流线写出A→B的伯诺里方程为:2pAumaxpB0+=+γ2gγ2g由于A、B两点靠得很近,因此,略去了沿程水头损失hf。由上式可得:umaxpB-pAγ汞-γ油==hp2gγγ油图4.7于是:133.28-8.83umax=19.6××0.02=2.35m/s8.831若重油的流动为层流,则:v=umax=1.175m/s,但到底是否为层流运动还需校核,用v=21.175m/s估算雷诺数:vd1.175×0.075Re==-4=979<2300ν0.9×10即:Re6δL或>70(Re*>70)νΔv*其中:=Re*,称为粗糙雷诺数。ν判别流动边壁属于水力光滑还是水力粗糙取决于紊流阻力规律属于哪一区域,而不单纯取决于壁面的粗糙度。即:对于同一流动边壁,在某一雷诺数值时,它可能是水力光滑(或水力粗糙)壁,在另一雷诺数值时,它可能变为水力粗糙(或水力光滑)壁。(3)紊流过水断面上的流速分布紊流过水断面包括粘性底层及紊流流核两部分。在这两部分液流中,由于流态不同,流速分布规律也就不同。在粘性底层处液流流态为层流,流速分布服从抛物线律。由于粘性底层厚度δL一般很小,可近似按线性律考虑;在紊流流核中,流动阻力以紊动附加阻力为主,粘性切应力与附加切应力比较可以忽略不计,即:2du2τ=ρ(l)()dy又知均匀流过水断面上的切应力呈直线分布,对于有压管流ryτ=τ0=τ0(1-)r0r0·92· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失式中混合长度l,由尼古拉兹实验研究得:yl=ky1-r0式中:k称为卡门常数,于是:y22ydu2τ0(1-)=ρky(1-)()r0r0dy整理得:τ01v*du=·dy=dyρkyky积分得:1u=v*lny+C(4.28a)k或采用变换式:u1v*y=ln()+C](4.28b)v*kν换为常用对数可以写为:2.3v*yu=v*[lg()+C](4.29)kν可见过水断面上紊流流核的流速分布规律为对数律,如图4.11所示。对数律的流速分布较为均匀,因而紊流运动的动能修正系数与动量修正系数的值都接近于1.0。断面平均流速v约为0.8umax。下面分别讨论紊流光滑和紊流粗糙的流速分布规律。图4.111)紊流光滑的流速分布紊流光滑的粘性底层较厚,δL>2.5Δ,粘性底层中的流速分布近似为线性分布:uv*y=v*ν光滑管中紊流流核的流速分布可由式(4.29)确定,由尼古拉兹人工粗糙管(尼古拉兹在圆管内壁粘胶上经过筛分的具有同粒径Δ的砂粒,制成人工均匀颗粒粗糙,用以测定不同流态下λ与Re和Δ关系的管道)实验资料得积分常数:C=5.5,k=0.4,故:v*yu=v*[5.75lg()+5.5](4.30)ν2)紊流粗糙的流速分布紊流粗糙的粘性底层厚度非常小,可认为整个过水断面上的流速分布均符合式(4.29),卡门和普兰特根据尼古拉兹实验资料,得出紊流粗糙的过水断面上的对数流速分布公式为:yu=v*(5.75lg+8.5)(4.31)Δ3)紊流流速分布的指数律经验公式普朗特和卡门根据实验资料又提出了紊流流速分布的指数律公式:·93· 水力学uyn=()(4.32)umaxr05式(4.32)中的指数随雷诺数而变化,当Re<10时,n约等于1/7,即:uy1/7=()(4.33)umaxr0称为紊流流速分布中的七分之一次方定律。4.7圆管有压流的沿程阻力系数由前文知,圆管有压流的沿程水头损失可用达西公式计算,即:2lvhf=λ··d2g因此,问题归结为求不同流态下的λ值。图4.12(1)λ的变化规律为确定沿程阻力系数λ的变化规律,尼古拉兹采用如图4.12所示实验装置,管内为恒定有压流,以不同粗糙度的人工粗糙管进行了一系列试验,并将试验结果以lgRe为横坐标,lg(100λ)为纵坐标绘出,得曲线如图4.13所示。该曲线称为尼古拉兹实验曲线。由该曲线可看出:λ和Re及Δ/d的关系有五个不同的区域,图中分别以Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ表示。Δ第Ⅰ区:层流区,Re<2300,所有不同值的管子的试验点均聚集在一条直线ab上,说明dΔ64λ与粗糙度无关,而只与Re数有关,并且λ与Re的关系基本符合理论公式:λ=,该试验dRe同时指出Δ不影响临界雷诺数Rec=2300的数值。第Ⅱ区:bc线,该区Re从2300到3000左右,液流为层流到紊流过渡,该区称为层流转变为紊流的过渡区,在该区中λ值亦只与Re数有关:λ=λ(Re),而基本上与Δ/d无关。第Ⅲ区:cd线,该区Re>3000,此时水流已处于紊流状态,属于“紊流光滑”区。在该区Δ内,不同粗糙度管道的试验点都聚集在cd线上,Δ/d对λ仍没有影响。不同相对粗糙度的d管流,实验点离开cd线(即离开紊流光滑区)的位置不同。相对粗糙度较大的管流较早离开cd线,而相对粗糙度小的管道,则在Re数较高时才离开此线。第Ⅳ区:cd线与ef线之间的区域。该区管壁粗糙度对流动有影响,阻力系数λ不仅与雷·94· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失图4.13Δ诺数Re有关,而且与相对粗糙度Δ/d有关:λ=f(Re,),为“紊流光滑”转变向“紊流粗糙”d的紊流过渡区。第Ⅴ区:ef线的右侧区域。在该区,阻力系数λ与雷诺数无关,它只是相对粗糙度的函Δ数:λ=f()。水流属于充分发展的紊流状态,水流阻力与流速的平方成正比。该区为紊流d粗糙区,又称为阻力平方区。尼古拉兹实验的意义在于全面揭示了不同流态情况下λ和雷诺数Re及相对粗糙度的关系。并说明确定λ的各种经验公式和半经验公式有一定的适用范围。(2)圆管有压紊流λ值的计算1)人工粗糙管的沿程阻力系数的半经验公式①紊流光滑管区(Re*<5)由紊流流核流速分布公式(4.30)v*u=v*[5.75lg(+5.5)]]ν对断面积分可得断面平均流速:r02∫uπrdrQ0v==2ωπr0考虑到粘性底层很薄,解上述积分时可认为整个断面上流速分布服从对数律,将式(4.30)代入上式,积分得:v*r0v=v*[5.75lg()+1.75](4.34)ν根据剪切流速的定义及(4.26)式得:·95· 水力学τ0λv*==v(4.35)ρ8将式(4.35)代入式(4.34),并与尼古拉兹试验资料比较,进行修正后得:1=2lg(Reλ)-0.8(4.36)λ46称为尼古拉兹光滑管公式。适用于Re=5×10～3×10。②紊流粗糙区(Re*>70)根据实验资料得流速分布为:yu=v*[5.75lg()+8.5](4.37)Δ对断面积分,求得平均流速公式:r0v=v*[5.75lg()+4.75](4.38)Δ将式(4.35)代入式(4.38),整理并由实验资料修正后得:1λ=(4.39)r02[2lg()+1.74]Δ38.2r0该式称为尼古拉兹粗糙管公式。适用于Re>()。λΔ2)当量粗糙高度前面所讨论的半经验公式都是在尼古拉兹人工粗糙管实验基础上得到的,但工业管道和实验用人工粗糙管两种管道的粗糙情况并不相同。工业管道的粗糙高度、粗糙形状及其分布都是随机性的,为将尼古拉兹粗糙管公式用于工业管道,须引入“当量粗糙高度”的概念进行计算“,当量粗糙高度”是指与工业管道粗糙区λ值相等的同直径人工粗糙管的粗糙高度,以Δ表示。表4.1列出了部分常用工业管道的当量粗糙高度Δ值。3)柯列勃洛克公式尼古拉兹对紊流光滑到紊流粗糙之间的过渡区所做试验的实验成果不能应用于工业管道,这是由于在该区内,工业管道和人工粗糙管道λ值的变化规律差别太大。柯列勃洛克根据大量工业管道试验资料,综合尼古拉兹光滑区公式和粗糙区公式,提出工业管道紊流过渡区(51.2m/s0.0210λ=0.3(4.45)d以上各式中d均为管径,单位为米(m),v为流速,单位为米/秒(m/s),各式都是在水温为-6210℃,运动粘性系数ν=1.3×10m/s条件下导出的。③谢才公式谢才公式v=CR·J(4.46a)是水力学中很著名的经验公式(1775年由Chézy提出)。式中,v是断面平均流速,其单位是m/s;R是水力半径,单位是m;J是水力坡度;C称为谢才系数,它综合反映各种因素对断面平均流速与水力坡度的关系的影响。经验公式必须与理论公式一样是量纲和谐的,因而得谢才0.5系数的单位是m/s。由谢才公式得:2vlhf=J·L=2(4.46b)CR2lv将谢才公式与达西公式hf=λ··对比,得沿程阻力系数λ与谢才系数的关系为:4R2g2λ=8g/C(4.47)C值通常由经验公式计算,下面介绍两个常用的经验公式:①曼宁公式11/6C=R(4.48)n·98· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失式中:R为水力半径,单位为m,n为综合反映壁面对水流阻滞作用的粗糙系数,其值见表4.2。表4.2粗糙系数n值1序号边界种类及状况nn1仔细刨光的木板,新制的清洁的生铁和铸铁管,铺设平整,接缝光滑。0.01190未刨光的但连接很好的木板,正常情况下的给水管,极清洁的排水管,很光滑的20.01283.3混凝土面。3正常情况下的排水管,略有污秽的给水管,很好的砖砌。0.01376.94污秽的给水和排水管,一般混凝土表面,一般砖砌。0.01471.45陈旧的砖砌面,相当粗糙的混凝土面,光滑、仔细开挖的岩石面。0.01758.8坚实粘土的土渠。有不连接淤泥层的黄土,或砂砾石中的土渠。维修良好的大60.022544.4土渠。一般的大土渠。情况良好的小土渠。情况极其良好的天然河流(河床清洁顺70.02540.0直,水流通畅,没有浅滩深槽)。情况较坏的土渠(如部分地区有杂草或砾石,部分的岸坡倒塌等)。情况良好的80.03033.3天然河流。情况极坏的土渠(剖面不规则,有杂草、块石,水流不畅等)。情况比较良好的天90.03528.6然河流,但有不多的块石和野草。情况特别不好的土渠(深槽或浅滩,杂草众多,渠底有大块石等)。情况不甚良10好的天然河流(野草、块石较多,河床不甚规则而有弯曲,有不少的倒塌和深潭0.04025.0等)。曼宁公式的适用范围:n<0.020,R<0.5m。在该范围内使用式(4.48)进行管道或较小渠道的水力计算,结果与实验资料吻合较好。②巴甫洛夫斯基公式:1yC=R(4.49)n式中,n和R的意义与曼宁公式相同,y为与n及R有关的指数,其值由下式计算:y=2.5n-0.13-0.75R(n-0.10)(4.50)或采用近似公式:当R<1m,y=1.5n(4.51)当R>1m,y=1.3n计算。巴浦洛夫斯基公式的适用范围为:·99· 水力学0.1m≤R≤3.0m,0.011≤n≤0.04显然比曼宁公式的适用范围要宽。应说明的是,谢才公式适用于有压或无压流的紊流三区。但上述计算谢才系数C的两经验公式均只适用于紊流粗糙,因此采用以上两个经验公式计算C值时,谢才公式也就仅适用于紊流粗糙区(阻力平方区)。例4.4温度为20℃的水在d=50cm的焊接钢管中流动。已知水力坡度J=0.006,Δ/d=0.046/500=0.00009。求管中流量;并计算粘性底层厚度δL。2lv解由于Re数未知,需用迭代方法计算。暂设λ值为0.03,由达西公式:hf=λ,则:d2g21vJ=hf/l=0.006=0.03·×0.52×9.8222所以v=1.96m/s,v=1.4m/s可算得雷诺数:vd1.4(m/s)×0.5m5Re==-62=7×10ν1×10(m/s)5由雷诺数Re=7×10和相对粗糙度Δ/d=0.00009可在莫迪图(图4.13)中查找得出λ=0.0135,它与原假设值不符。将λ=0.0135代入达西公式中再计算:21v0.006=0.01350.52×9.8v=2.08m/s0.5×2.086Re=-6≈10106再由Re=10及Δ/d的值查图4.14,可得λ=0.0135,即与所设值相等,试算完毕,v=2.08m/s,2π(0.5)3所以Q=ωv=(2.08)=0.41m/s4采用式(4.27)求粘性底层的厚度:-6232.8ν32.8×10(m/s)-6δL===136×10m=0.136mmvλ2.08×0.0135(m/s)可知:δL≈3Δ,液流在紊流过渡区。例4.5某水管长l=500m,直径d=200mm,管壁粗糙突起高度Δ=0.1mm,如输送流量Q=10l/s,水温t=10℃,试计算沿程水头损失。解断面平均流速:Q10000v===31.83cm/s1212πd(20)442当t=10℃时,水的运动粘性系数ν=0.01310cm/s,雷诺数:vd31.83×20Re===48595>2300ν0.013105管中水流为紊流。Re<10,故可先采用布拉休斯公式计算λ:0.3160.316λ=1/4=1/4=0.0213Re48595·100· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失再计算粘性底层厚度:32.8d32.8×200δL===0.92mmReλ485950.02135因为Re=48595<10,Δ=0.1mm<0.4δL=0.4×0.92mm=0.369mm,所以流态是紊流光滑区,布拉休斯公式适用。沿程水头损失:2lv5000.3182hf=λ=0.023××()=0.297m(水柱)d2g0.22×9.8或者按式(4.36)计算λ:1=2lg(Reλ)-0.8λ为求解上式需要通过试算,为此,首先假设λ=0.021,则:1=2lg(485950.021)-0.80.021得:6.90=2×3.847-0.8=6.894所以λ=0.021满足此式。也可查莫迪图(图4.14),当Re=48595按光滑管查得:λ=0.0208由此可以看出,在上面所得雷诺数范围内,计算和查表所得的λ值是一致的。例4.6铸铁管(按旧管计算)直径d=25cm,长700m,通过自来水流量为56l/s,水温度为10℃,求通过这段管道的水头损失。解断面平均流速:Q56000v===114.1cm/s1212πdπ·2544雷诺数:v·d114.1×25Re===217748ν0.01310查表4.1可得当量粗糙高度,采用Δ=1.25mm,则:Δ/d=1.25/250=0.005,由Re和Δ/d的值,查莫迪图(图4.14)得:λ=0.0304沿程水头损失:22lv7001.14hf=λ·=0.0304××=5.64m水柱d2g0.252×9.8对于自来水管道也可采用舍维列夫经验公式计算λ。因为v=1.14m/s<1.2m/s,故应采用公式(4.44)计算,即:0.01790.8670.30.01790.8670.3λ=0.3(1+)=0.3(1+)=0.032dv0.251.1422lv7001.14hf=λ··=0.032××=5.94m水柱d2g0.252×9.8例4.7水在直径900mm的铸铁管中作有压流动,水温10℃,流速v=1.5m/s,试:(a)用莫迪曲线估计λ值,并由λ推算C值;(b)用曼宁公式计算C值;·101· 水力学(c)用巴浦洛夫斯基公式计算C值。2解(a)由水温t=10℃知ν=0.0131cm/s6Re=150×90/0.0131=1030000≈10查表4.1,取铸铁管Δ=0.3mmΔ/d=0.3/900=0.000333从求得的雷诺数Re和Δ/d的值查莫迪图(图4.14),知液流在过渡区,λ=0.016。代入式(4.47)中计算C:1/2C=8g/λ=8×9.8/0.016=70m/s(b)采用曼宁公式求C查表4.2得铸铁管n=0.013,水力半径:R=d/4=0.225m1/6R=0.7811/611/2C=R=×0.78=60m/sn0.013(c)采用巴浦洛夫斯基公式求C1yR=0.225,n=0.013,C=Rny=2.5n-0.13-0.75R(n-0.10)=2.50.013-0.13-0.750.225(0.013-0.10)=0.1510.1510.151/2C=R=0.225=61.5m/s0.0130.013三种答案比较,(a)的结果偏大,(b)和(c)相差不大;(a)的计算结果是考虑液流在紊流过渡区,而(b)和(c)按公式计算使用条件都是在阻力平方区。若查表4.1,取Δ=1mm,则:Δ/d=0.00116Re=10,再查图4.13得λ≈0.02,液流已接近阻力平方区:8×9.81/2C=8g/λ==62.5m/s0.02(a)、(b)、(c)三种计算结果已较为接近,最大相对误差约为4%。例4.8一混凝土衬砌的矩形渠道,底宽b=4.0m,水深h=1.2m,假设流动属于紊流粗糙区,要求分别用曼宁公式和巴浦洛夫斯基公式计算谢才系数C的值。4×1.2解水力半径:R==0.75m,查表4.2得:n=0.014。4+2×1.2按曼宁公式计算:11/611/6C=R=0.75=68.08n0.014按巴浦洛夫斯基公式计算:y=2.50.014-0.13-0.750.75(0.014-0.10)=0.15391y10.1539C=R=0.75=68.34n0.014·102· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失从以上计算可以看出,按两种公式计算的结果比较接近。计算C值主要取决于粗糙率n的选择,而n是一个综合性因素确定的值,它对计算结果的精确度影响较大,故在实际应用时应慎选。4.8局部水头损失在产生局部水头损失的流段上,流态一般为紊流粗糙。局部障碍的形状繁多,水力现象极其复杂,因此,在各种局部水头损失的计算中只有少数局部水头损失可以通过理论分析得出计算公式,其余的都由实验测定。下面对圆管过水断面突然扩大的水头损失进行分析计算。(1)圆管有压流过水断面突然扩大的局部水头损失图4.15表示圆管水流流经管径从d1到d2突然扩大的流段,这种情况的局部水头损失可由理论分析结合实验求得。当水流从管径为d1的管道流入管径为d2的大管时,将与边界发生分离,并在突然扩大处形成漩涡区,在大管中水流前进至距离约为(5～8)d2处,即图4.15的断面2-2处,主流才充满管路,在这过程中不断调整流速分布,至2-2断面成为渐变流。设1-1过水断面和2-2过水断面的断面平均流速分别为v1和v2,断面平均压强分别为p1和p2,列出1-1断面到2-2断面的伯诺里方程:22p1α1v1p2α2v2图4.15z1++=z2+++hjγ2gγ2g该式中的hj为急变流段1-1断面到2-2断面间的局部水头损失,从该式可得:22p1p2α1v1α2v2hj=(z1-z2)+(-)+-(4.52)γγ2g2g为将式(4.52)变为hj与流速v的关系式,需消去压强项p,为此,取控制体AB22分析其受力并列动量方程。控制体内液体所受的力有:作用在1-1和2-2过水断面上的总压力分别为P1和P2,P1=p1ω1,P2=p2ω2;AB断面上环形面积(漩涡区)管壁的作用力,等于涡漩区水作用于环形面积上的力P,由实验知AB断面上的压强基本符合静水压强分布规律,因此,P=p1(ω2-ω1);控制体内水体的重力G=γω2lsinθ;略去了相对于其他力较小的管壁阻力,列出动量方程为:p1ω1-p2ω2+γω2lsinθ+p1(ω2-ω1)=ρQ(β2v2-β1v1)(4.53)z1-z2从图4.15中可以看出几何关系:sinθ=,代入式(4.53)中得:lp1p2v2(z1-z2)+(-)=(β2v2-β1v1)(4.54)γγg在紊流状态下,可假设动能及动量修正系数α1=α2=1,β1=β2=1,将式(4.54)代入式(4.52)中得:2(v1-v2)hj=(4.55)2g式(4.55)即为断面突然扩大的局部水头损失的理论计算式,它表明断面突扩的水头损失等于·103· 水力学ω2所减小的平均流速水头。又由连续性方程v1ω1=v2ω2得:v1=v2,代入式(4.55)得:ω122ω22v2v2hj=(-1)=ζ2ω12g2g22ω12v1v1或:hj=(1-)=ζ1(4.56)ω22g2gω22ω22式中:ζ1=(-1),ζ2=(1-)称为断面突然扩大的局部阻力系数。ω1ω1ω1当液流从管道流入很大容器的液体中或气流流入大气时,ω2mω1,≈0,则ζ=1,这是断ω2面突然扩大的局部阻力系数的特殊情况,称为出口局部阻力系数。在工程问题的水力计算中,通常把局部水头损失表示为以下通用公式:2vhj=ζ(4.57)2g由于局部障碍不同,局部阻力系数ζ值不同。用不同的流速水头计算hj,则ζ值也不同。(2)各种管路配件及明渠的局部阻力系数局部阻力系数ζ一般与雷诺数Re和边界情况都有关。但由于局部障碍的强烈干扰,水流4在较小的雷诺数(Re=10)就进入了阻力平方区。因此,在一般的工程计算中,认为ζ只取决于局部障碍的不同类型而与Re无关。对于不同型态的局部阻力,其局部阻力系数常由实验确定。表4.3给出一些典型的阻力平方区的局部阻力系数ζ值。表4.3管路局部水头损失ζ值2v计算局部水头损失的公式:hj=ζ,式中v如图说明2g名称简图ζ值ω22断面突ζ=(ω-1)(用v2计算)1然扩大ζ′=(1-ω1)2(用v1计算)ω2断面突ω2ζ=0.5(1-)然缩小ω1·104· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失续表2v计算局部水头损失的公式:hj=ζ,式中v如图说明2g名称简图ζ值完全修圆0.05～0.10稍微修圆0.20～0.25进口直角进口0.5内插进口1.0流入水库1.0(池)出口ω1/ω20.10.20.30.40.5ζ0.810.640.490.360.25流入明渠ω1/ω20.60.70.80.9ζ0.160.090.040.01渐放管0.25渐缩管0.10d/R0.20.40.60.81.0ζ0.1320.1380.1580.2060.294圆管d/R1.21.41.61.82.0ζ0.4400.6600.9761.4061.975缓弯管90°b/R0.20.40.60.81.0ζ0.120.140.180.250.40矩形管b/R1.21.41.62.0ζ0.641.021.553.23·105· 水力学续表2v计算局部水头损失的公式:hj=ζ,式中v如图说明2g名称简图ζ值ζα°=αζ90°任α°20304050657080意弯管ζ0.400.550.650.750.830.880.95角度α°90100120140160180ζ1.001.051.131.201.271.33α°30405060708090圆管ζ0.200.300.400.550.700.901.10折管α°1530456090方管ζ0.0250.110.260.491.20收缩截面直径d0.300.400.450.500.55进水管直径Dζ195.33.061.91.15文丘里管收缩截面直径d0.600.650.700.750.80进水管直径Dζ0.690.420.20--平板门槽0.05～0.20ω2/ω10.10.20.40.60.81.0明渠突缩ζ1.491.361.140.840.460ω2/ω10.010.10.20.40.60.81.0明渠突扩ζ0.980.810.640.360.160.040直角0.40渠道入口曲面0.10b1.6lsζ=k()(2.3+8+2.9sinα)b+ssl格式中:k———格栅杆条横断面形状系数矩形k=0.504,圆弧形k=0.318,流线栅形k=0.182α———水流与栅杆的夹角·106· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失续表2v其他管路配件局部损失hj=ζ2g名称图式ζ名称图式ζ截全止4.3～6.10.1阀开等蝶全0.1～0.31.5阀开闸全径0.121.5门开三无阀2～33.0滤水网通有网3.5～102.0底阀(d=600～50mm)例4.9水流经过虹吸管由一个水池流入另一个水池,如图4.16所示。管径d=100mm,管长l=30m,沿程阻力系数λ=0.02,ζ弯=0.75,两水池的液面高差H0=4.0m,求虹吸管的水流流量。解水头损失:22lvvhω=∑hf+∑hj=λ··+(ζ进+2ζ弯+ζ出)d2g2gζ进=0.5,代入上式得:2230v9vhω=[0.02×+0.5+2×0.75+1]=0.12g2g列出1-1到2-2断面的伯诺里方程,可得:图4.16222p1p2α1v1α2v2v(z1-z2)+(-)+-=hω=9γγ2g2g2g因为:p1=p2,z1-z2=H0,v1≈v2=0,于是:29vH0=4=2gv=2.95m/sπ23虹吸管水流量:Q=v××0.1=0.0284m/s4·107· 水力学例4.10两水箱用两段不同直径的水管连接(图4.17)。1-3管段长为10m,直径d1=200mm,已知λ1=0.019,3-6管段长为10m,直径d2=100mm,已知λ2=0.018。管路中有下列配件:90°弯头两个(2,5),每个ζ=0.6;渐缩管一个(3),ζ=0.10;闸阀(全开,4)一个,ζ=0.12。已知进口ζ=0.5;出口ζ=1.0。管中流量Q=20l/s,求两水箱间水流的总水头损失hω。图4.17解因为流量及管径已知,故可先算出流速水头。设1-3管段内流速为v1,3-6管段内流速为v2,Q0.02v1===0.02/(0.785×0.04)=0.64m/sω112πd142v1/2g≈0.02mQ0.02v2===0.02/(0.785×0.01)=2.55m/sω212πd242v2/2g≈0.33m两水箱间水流的总水头损失为自a-a断面至b-b断面水流的全部沿程水头损失及所有局部水头损失之和:2210v110v2hω=(0.5+0.019×+0.6)+(0.10+0.018×+0.12+0.6+1.0)=0.202g0.12g2.05×0.02+3.62×0.33≈1.32m例4.11水从水箱流入一管径不同的管道,管道连接情况如图4.18所示。已知:d1=150mm,l1=25m,λ1=0.037;d2=125mm,l2=10m,λ2=0.039,局部水头损失系数:进口ζ1=0.5,逐渐收缩ζ2=0.15,阀门ζ3=2.0。(以上ζ值相应的流速均采用发生局部水头损失后的流速)。试计算:图4.18①沿程水头损失∑hf;②局部水头总损失∑hj;3③要保持流量Q为25000cm/s所需水头H。解求沿程水头损失①求沿程水头损失∑hf第一管段:2l1v1hf1=λ1·d12g4×0.025v1=Q/A1=2=1.415m/sπ(0.15)·108· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失2251.415hf1=0.037××=0.63m0.152×9.8第二管段:2l2v2hf2=λ2·d22g4×0.025v2=Q/A2=2=2.04m/sπ(0.125)22520.4hf2=0.039××=0.663m0.1252×9.8故∑hf=hf1+hf2=0.63+0.663=1.293m②求局部水头损失进口水头损失:22v11.415hj1=ζ1=0.5×=0.051m2g2×9.8逐渐收缩水头损失:22v2.04hj2=ζ2=0.15=0.032m2g2×9.8阀门水头损失:22v22.04hj3=ζ3=2.00×=0.423m2g2×9.8故:∑hj=hj1+hj2+hj3=0.051+0.032+0.423=0.506m3③要保持Q为25000cm/s所需的水头以0-0为基准面,对水箱液面上与管子出口处写伯诺里方程:2v2H+0+0=0+0++hω2g2v2得:H=+hω2g因:hω=∑hf+∑hj=1.293+0.506=1.799m故求得所需水头:22.04H=+1.799=0.212+1.799=2.011m2×9.8例4.12水流从上游水箱经变截面管道流入下游水箱,已知:d1=0.15m,d2=0.25m,d3=0.15m;l1=15m,l2=25m,l3=15m,如图4.19(a)所示。求管中流量并绘制水头线。(n=0.013)。解由于各管段较短,中间边界变化较多,因此,由经验知水流阻力在紊流粗糙区。要求流量,首先需求出流速,取如图4.19所示渐变流断面1-1和4-4,写断面1-1到断面4-4的伯诺里方程:H0=H+hω1-4hω1-4为从断面1-1到4-4的总水头损失,它等于各段管道的沿程水头损失以及各局部障碍处的局部水头损失的总和。·109· 水力学图4.19(a)hω1-4=hf1+hf2+hf3+hj进口+hj扩大+hj缩小+hj出口采用曼宁公式计算谢才系数,用它求沿程阻力系数,即:11/61ω1/61d11/60.5C1=R=()=()=44.5m/s=C3nnx0.01341d21/60.5C2=()=48.5m/s0.01342λ1=8g/c1=0.0396=λ32λ2=8g/c2=0.0334由表4.3查得各局部阻力系数:2ω22d22ζ进口=0.5,ζ突扩=(-1)=(2-1)=3.16ω1d1dζ缩小=0.5[1-()]=0.32Dζ出口=1.0将以上各系数代入总水头损失表达式中得:222l1v1l2v2l3v3hω1-4=(ζ进口+λ1)+(ζ突扩+λ2)+(ζ缩小+ζ出口+λ3)=d12gd22gd32g2215v125v2(0.5+0.0396)+(3.16+0.0334·)+0.152g0.252g215v3(0.32+1.0+0.0396·)0.152g又hω1-4=H0-H=3md32由连续性方程知:v1=v3,v2=v3(),代入hω1-4的计算式中,可以解出:d2v1=v3=2.36m/sv2=0.85m/s22πd33.14×0.153流量:Q=v3ω3=2.36×=2.36×=0.411m/s=411l/s44为绘制水头线,必须计算各管段的沿程水头损失和各局部水头损失:215v1hf1=0.0396××=1.125m水柱0.152g·110· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失225v2hf2=0.0334××=0.123m水柱0.252ghf3=hf12v1hj进口=0.5×=0.142m水柱2g2v2hj扩大=3.16×=0.115m水柱2g2v3hj缩小=0.32×=0.09m水柱2g2v3hj出口=1.0×=0.28m水柱2g图4.19(b)局部水头损失发生在急变流段上。断面突变的急变流段较短,绘水头线时,通常把这种局部水头损失视为集中发生在突变断面处。因而水头线成阶梯形,如图4.19(b)所示。4.9绕流阻力及升力前面只讨论了液体在固壁边界内(如管道、明渠)流动(称为内流)的水流阻力及水头损失问题。本节讨论液体绕经物体外部流动(称外流)的绕流阻力和升力问题。(1)液体作用在绕流物体上的力液体作用于绕流物体上的力是指潜没在液体中,并和液体有相对运动的物体所受到的液体作用力。这里所说的相对运动是指物体在静止液体中运动,或者静止物体在流动液体中,或者两者作不同速度的运动。例如桥墩所受到的水流阻力;飞机在飞行中所受到的空气阻力等。图4.20所示为静止物体处于运动的水流中,液体作用在绕流物体上的力为:F=∫(pds+τds)s式中p和τ分别为作用于绕流物体表面微元面积ds上的法向及切向分应力。将F分解为平行于来流流速v的力D及垂直于来流流速的力L,D称为绕流阻力,即流体作用于绕流物体上的力在来流方向上的分力;L称为升力,即流体作用于绕流物体上的力在垂直于流速方向上·111· 水力学的分力。(2)绕流阻力和升力的计算公式在工程应用中,采用下列计算式计算绕流阻力D及升力L的大小:2ρu∞D=CDωD(4.58)2图4.2012L=CLρu∞ωL(4.59)2其中CD———绕流阻力系数,是一个无量纲数,主要取决于雷诺数,也与物体表面粗糙情况、来流的紊流强度,特别是绕流物体形状有关。其值由实验确定;ρ———液体的密度;u∞———在未受绕流影响以前流体与物体的相对速度;ωD———绕流物体在垂直于流速u∞方向上的投影面积;CL———升力系数,为一无量纲数,其大小由实验确定;ωL———绕流物体的最大投影面面积,或迎流面的投影面积。(3)三元物体和二元物体的绕流阻力系数由实验得图4.21和图4.22所示的三元物体和二元物体的绕流阻力系数的关系曲线。图4.21三元物体绕流阻力系数实验曲线下面,讨论直径为d的圆球在液体中的沉降速度。设球容重γ′大于液体容重γ,则圆球在液体中下沉。重力和浮力之差使得圆球下沉速度逐渐加大,从而绕流阻力也加大。当重力、浮力和绕流阻力达平衡时,圆球以匀速下沉,这个速度称为沉降速度,简称沉速。重力和浮力之差G为:3πdG=(γ′-γ)(4.60)6vd当雷诺数Re=<1时,绕流阻力D为:ν·112· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失图4.22二元物体绕流阻力系数实验曲线D=3πμvd(4.61)由D=G及式(4.60)及式(4.61)得沉速v为:2dv=(γ′-γ)(4.62)18μ在Re>1的情况下,由式(4.58)及式(4.60)得:4γ′沉速:v=(-1)gd(4.63)3CDγ其中绕流阻力系数CD可由图4.21中的曲线查得。2例4.13直径为20cm的圆球,重70N,在水温15℃的水(ν=0.0114cm/s)中,受重力浮力沉降,求沉速。解球重G=70N,33πd3.14×(0.2)浮力P=×γ=×9800=41N66Gγ′Vγ′70===P2γVγ41设CD=0.4,代入式(4.63)得:429v=××9.8×0.4=2.15m/s3×0.441215×20Re==378000114查图4.21,Re=378000时,CD≈0.2,再设CD=0.2,429v=××9.8×0.4=3.05m/s3×0.241Re=535000·113· 水力学查图4.21,CD≈0.2,所以v≈3.05m/s思考题4.1下列管路系统中有哪些水头损失?思考题4.1图4.2(1)试述雷诺数的物理意义;(2)为什么判别流态时采用下临界流速而不采用上临界流速?(3)粘性不同的流体通过相同管径的管道,其雷诺数是否相同?(4)粘性相同的流体通过不同管径的管道,其雷诺数是否相同?(5)不同粘性的流体通过不同管径的管道,其雷诺数是否相同?4.3试述均匀流沿程水头损失hf与边壁切应力τ0之间的关系。4.4层流中,沿程水头损失与速度的一次方成正比,但为什么圆管层流沿程水头损失也2lv可采用达西公式:hf=λ·?d2g4.5层流与紊流的切应力各由什么因素引起?4.6紊流中是否存在恒定流?为什么?4.7紊流的粘性底层厚度δL与哪些因素有关?δL在紊流运动中的作用是什么?4.8什么是水力光滑管?什么是水力粗糙管?如何判别?4.9什么是管壁的当量粗糙度和粗糙系数?4.10直径为d,长度为l的管路,通过恒定流量Q,试问:当流量Q增大时,沿程阻力系数λ如何变化?4.11谢才公式和达西公式之间有何联系?它们之间的区别是什么?4.12如何判断紊流阻力变化的三个不同的区域?4.13水流从小管径断面突然扩大流入大管与水流从大管径断面突然缩小而流入小管的局部水头损失的计算公式是否相同?4.14绕流阻力是如何形成的?4.15绕流阻力系数与哪些因素有关?习题4.1某管道直径d=50mm,通过温度为10℃的中等燃料油,其运动粘滞系数ν=5.16×-6210m/s。试求:保持层流状态的最大流量。·114· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失4.2水流经变断面管道,已知小管径为d1,大管径为d2,d2/d1=2。试问:哪个断面的雷诺数大?两个断面雷诺数的比值Re1/Re2是多少?34.3圆管内径d=6mm,有重油通过,密度ρ=870.0kg/m,运动粘性系数为ν=2.2×-6210m/s,管中流量为0.02l/s。试判别其流态。4.4有一矩形断面的小排水沟,水深h=15cm,底宽b=20cm,流速v=0.15m/s,水温为15℃,试判别其流态。4.5同题4.3,要求阻力系数λ和管壁处的切应力。24.6一输水管直径d=250mm,管长l=200m,测得管壁的切应力τ0=46N/m,试求:(1)在200m管长上的水头损失;(2)在圆管中心和半径r=100mm处的切应力。4.7某输油管道由A点到B点长l=500m,测得A点的压强pA=3pa,B点的压强pB=3-622pa,通过的流量Q=0.016m/s,已知油的运动粘滞系数ν=150×10m/s,试求:管径d。34.8为了确定某圆管内径,在管中通水,温度为15℃,实测流量为Q=10cm/s,长6m,水头损失hf=0.22m水柱,试求:圆管的直径d。4.9一垂直放置的管道,水自上而下满管流动,管中压强不变,运动粘性系数ν=1.01×-6210m/s,雷诺数Re=1600。要求确定水管的内径。4.10某塑料管,内径d=107mm,内壁当量粗糙凸出高为0.01mm,流速为1.2m/s,水温t=10℃,要求判别流态,求出阻力系数λ。34.11油的流量Q=7.7cm/s,通过直径d=6mm的细管,在l=2m长的管段两端接水银差压计,差压计读数33h=15cm,水银重度γ汞=133.28kN/m,γ油=8.43kN/m,试求:油的运动粘性系数ν。(管中油的流动为层流)4.12一新铸铁管直径d=100mm,输水时在100m长的管路上水头损失为2m,水温为20℃,试判别流动属于何种流态。4.13有一直径d=200mm的新的铸铁管,其当量粗糙度Δ=0.35mm,水温T=15℃,试求:题4.11图(1)维持紊流光滑的最大流量;(2)维持紊流粗糙的最小流量。4.14用一直径d=200mm,管长l=1000m的旧铸铁管输水(Δ=0.6mm),测得管中心-62处最大流速umax=3m/s,水温为20℃,ν=1.003×10m/s,设管中流态为紊流粗糙,试求:(1)管中流量Q;(2)水头损失hf。4.15有一水管,直径d为20cm,管壁绝对粗糙度Δ=0.2mm,已知液体的运动粘滞系数2333ν为0.015cm/s。试求Q为5000cm/s、2000cm/s、4000cm/s时,管道的沿程阻力系数λ各为若干?4.16有三根直径相同的输水管,直径d=10cm,通过的流量Q=15l/s,管长约为l=1000m,各管的当量粗糙度分别为Δ1=0.1mm,Δ2=0.4mm,Δ3=0.3mm,水温为20℃,试求:各管中的沿程水头损失。·115· 水力学34.17有一旧的生锈铸铁管路,直径d=300mm,长度l=200m,流量Q=0.25m/s,取当量粗糙度Δ=0.6mm,水温T=10℃,试分别用公式法和查图法求沿程水头损失hf。4.18一压力钢管的当量粗糙度Δ=0.19mm,水温T=10℃,试求:下列各种情况下的流态及沿程水头损失hf。(1)管长l=5m,管径d=25mm,流量Q=0.15l/s时;(2)其他条件不变,如果管径改为d=75mm时;(3)管径保持不变,但流量增加至Q=50l/s时。4.19一旧铸铁管,内径d=200mm,长100m,流量为30l/s,水温为20℃,要求采用两种不同的方法求沿程阻力系数λ和沿程水头损失hf。4.20一条新的钢管输水管道,管径d=150mm,管长l=1200m,测得沿程水头损失hf=37mH2O,水温为20℃,试求管中的流量Q。4.21铸铁输水管长l=1000m,内径d=300mm,通过流量Q=100l/s。试按公式计算水温为10℃,15℃两种情况下的阻力系数λ及水头损失hf。又如水管水平放置,水管始末端压强降落为多少?4.22某梯形断面土渠中为均匀流,已知:底宽b=2m,边坡系数m=cotθ=1.5,水深h=1.5m,水力坡度J=0.0004,土壤的粗糙系数n=0.0225,试求:(1)渠中流速v;(2)渠中流量Q。题4.22图题4.23图4.23一混凝土输水管,内径d=300mm,流速v=1.4m/s,水温t=10℃,要求用莫迪图和曼宁公式分别计算其水力坡度。题4.24图题4.25图4.24水流自压力罐流入水箱,水箱水位比压力罐水位高24m;管径d=100mm,流量10l/s,用镀锌钢管,λ=0.020,管路中有闸门二个,ζ闸=0.25,每弯头的ζ弯=0.15,管长48m。试确定压力罐中的最小气压。·116· 第4章流动型态、水流阻力和水头损失4.25两水池水位恒定,已知管道直径d=10cm,管长l=20m,沿程阻力系数λ=0.042,局部水头损失系数ζ弯=0.8,ζ阀=0.26,通过流量Q=65l/s,试求水池水面高差H。4.26有一如图示管路,首先由直径d1缩小到d2,然后又突然扩大到d1,已知直径d1=20cm,d2=10cm,U形压差计读数Δh=50cm;题4.26图试求:管中流量Q。4.27如图所示A、B、C三个水箱题4.27图由两段普通钢管相连接,经过调节,管中为恒定流动。已知:A、C箱水面差H=10m,l1=50m,l2=40m,d1=250mm,d2=200mm,ζb=0.25,假设流动流态在阻力平方区,管壁的当量粗糙度Δ=0.2mm,试求:(1)管中流量Q;(2)图中h1及h2。题4.28图图4.29图4.28如图所示一水平放置的水管自水池引水流入大气。已知H=4.0m,管径d=2v20cm,由1-1断面至2-2断面的水头损失hω1=0.5,自2-2断面至3-3断面的水头损失2g2vhω=0.3,v为管的断面平均流速。试求2-2断面至3-3断面间的管壁所受的水平总作用2g力。4.29为了测定AB管段的沿程阻力系数λ或粗糙系数n,可采用如图所示装置。已知AB段的管长l为10m,管径d为50mm。今测得实验数据:(1)A、B两测压管的水头差为30.8m;(2)经90s钟流过的水量为0.247m,试求该管段的沿程阻力系数ν的值,并用曼宁公式求其粗糙系数n。A24.30有一管路系统如图所示,设ζ1=0.5,ζ2=0.5(1-)(用突然收缩后的流速水头A1·117· 水力学计算突然收缩局部水头损失,式中A1、A2分别表示收缩前后的管道面积),ζ3=ζ4=0.3,ζ5=1.0,管道粗糙系数n=0.013,d1=0.4m,d2=d3=d4=0.2m,其他尺寸如图,试求:(1)流量Q;(2)作用在每一个弯头上的动水总作用力(注意水管轴线在铅直平面上);(3)第一根管道周界上的内摩擦切应τ0。题4.30图4.31有一输油管,如图所示,管长l=50m,作用水头H=2m,油的运动粘性系数ν=20.2cm/s,下临界雷诺数Rec=2000,求管中油能维持层流状态的最大管径dmax(流速水头和局部水头损失可忽略不计)。题4.31图4.32一有压涵洞,水流为恒定流,涵洞为矩形断面,宽b=1.2m,高h=2m,流量Q=38.8m/s,洞长l=70m,粗糙度n=0.014;试求:谢才系数C;沿程阻力系数λ;剪切流速v*;及沿程水头损失hf。24.33用新的,清洁的铸铁管(Δ=0.3mm)输水,水温20℃,(ν=0.0101cm/s),直径进口ζ=0.5;两个90°弯头,每个ζ弯=0.9;球阀一个,ζ阀=10.0;其余尺寸如题图4.33所示。求管中流量。题4.33图·118· 第5章孔口、管嘴出流和有压管流前面各章阐述了水流运动的基本规律,本章及以后各章将研究如何运用这些基本规律对工程中所涉及的水流现象进行分析。本章讨论孔口,管嘴出流和有压管流。5.1液体经薄壁孔口的恒定出流在容器壁上开一孔口,水经孔口流出的水力现象称为孔口出流。如果孔口的壁厚对水流无影响,出流水股表面与孔壁仅在一条周线上接触,这种孔口称为薄壁孔口,如图5.1所示。图5.1图5.2孔口上下缘在水面以下的深度不同,因而经过孔口上缘和下缘的出流情况也不相同。但当孔口直径d(或高度e)与孔口形心在水面下的深度H相比较很小时,可忽略其差异,而认为孔口断面上各点水头相等。根据H/d的比值大小可将孔口分为大孔口和小孔口两类:当H/d≥10,这种孔口称为小孔口。对于小孔口可认为孔口断面上各点压强分布均匀,各点测压管水头相同。若H/d<10,则称为大孔口。大孔口断面上压强分布不均匀,各点的测压管水头不相等。若在孔口出流过程中不断有水流补充流入容器,并且,流入与流出容器的流量相等,则容器中的水位不变,且孔口的出流量及其他水力要素均不随时间而变化,这种情况为孔口恒定出流。(1)小孔口的恒定自由出流水由孔口流入空气中称为自由出流。如图5.1所示,箱中水流的流线从孔口四周各个方1向向孔口收缩,在孔口断面处各流线互不平行,水流在出口处距孔壁面约孔高处形成流股的2·119· 水力学收缩最小断面,称为收缩断面,如图5.1中的c-c断面,在收缩断面上,流线相互平行。以通过孔口过水断面形心的水平面为基准面o-o,取孔口前渐变流断面1-1,对断面1-1至断面c-c的水流建立能量方程。1-1断面到c-c断面间的流段称为孔口出流段,一般该流段较短,且为急变流段,因而可略去沿程水头损失,该段液流仅有局部水头损失hj,可写出能量方程为:22p1α1v1pcαcvcH++=0+++hjγ2gγ2g其中,H是断面c-c的形心处距水箱液面的水深。记局部阻力系数为ζ0,则2vchj=ζ02g水箱水面为自由液面时,p1为大气压强,即p1=pa=pc=0,则能量方程可整理为22α1v1v0H+=(αc+ζ0)(5.1)2g2g2α1v1令H0=H+,代入上式整理得收缩断面流速2g1vc=2gH0=φ2gH0(5.2)αc+ζ0式中,H0称为作用水头。φ称为流速系数,如流速v1≈0,则H0≈H。11φ==(5.3)αc+ζ01+ζ0由式(5.2)看出,若不计水头损失,则ζ0=0,取αc=1.0,则φ=1,故流速系数φ的物理意义为实际流速vc与理论流速2gH0之比。由实验得薄壁小孔口流速系数φ=0.97～0.98。11从而可求得水流经薄壁小孔口的局部阻力系数ζ0=2-1=2-1=0.06。φ0.97设孔口断面面积为ω,水流收缩断面面积为ωc,由实验可得出ωc与ω之比值ε=ωc/ω,称为收缩系数,则通过孔口的水流流量为Q=vcωc=εωφ2gH0=μω2gH0(5.4)上式是薄壁小孔口自由出流水力计算的基本公式。式中,μ=εφ称为孔口流量系数,它综合反映水流收缩及水头损失等因素对孔口出流能力的影响。收缩系数ε的值与孔口在容器壁上的位置有关。如图5.3中,孔口a四周的流线全部发生弯曲,水流在各方向都发生收缩,这种孔口称为全部完善收缩孔口。图中孔口c和d只有部分边界处水流发生收缩,称为非全部收缩。全部收缩孔口又有完善收缩和不完善收缩之分:当孔口离侧壁的距离大于同方向孔口尺寸的三倍(l>3a或l>图5.33b)时,孔口出流流线弯曲率最大,收缩得充分,称为完善收缩,如孔口a,否则为非完善收缩,如孔口b。根据实验结果,对于薄壁小孔口在全部完善收缩情况下,其收缩系数为ε=0.62～0.64,流量系数为μ=0.60～0.62。(2)小孔口的恒定淹没出流液体由孔口流入另一部分相同液体中称为孔口淹没出流,如图5.2所示。小孔口淹没出流时,水流同样在距孔口壁面d/2处,形成收缩断面c-c,然后再扩散至下游水箱的整个过水断·120· 第5章孔口、管嘴出流和有压管流面。以通过孔口形心的水平面为基准面,取上游渐变流断面1-1至下游渐变流断面2-2之间的水流列能量方程2222p1α1v1p2α2v2vcvcH1++=H2+++ζ0+ζse(5.5)γ2gγ2g2g2g22p1-p2α1v1-α2v2令H0=(H1-H2)++,代入上式得:γ2g2vcH0=(ζ0+ζse)(5.6)2g式中,H0为淹没出流的作用水头;ζ0称为水流经孔口处的局部阻力系数;ζse为水流自收缩断面后突然扩大的局部阻力系数,由公式(4.56)知,当ω2mωc时,ζse≈1。当容器的上、下游水面均为自由液面时,有p1=p2=pa。并且,通常可忽略断面1-1及2-2的流速水头差,则作用水头便简化为:H0=H1-H2=H(5.7)式中H为孔口上、下游液面的高差。将局部阻力系数代入式(5.6),经整理得1vc=2gH0=φ2gH0(5.8)ζ0+ζse11其中φ=≈(5.9)ζ0+ζse1+ζ0可见小孔口淹没出流的流速系数与自由出流的流速系数的表达式略有不同,但它们的数值近似相等。孔口淹没出流流量为Q=φεω2gH0=μω2gH0(5.10)对比孔口自由出流流量公式(5.4),可以看出,两式的形式完全相同,但作用水头H0的表达式不相同(比较公式(5.1)及公式(5.6))。由公式(5.8)及(5.10)可见:孔口淹没出流的流速和流量均与孔口在水面以下的位置深度无关。工程实际中,大孔口(如闸孔)自由出流时的水力计算可采用小孔口公式(5.4),但式中H0为大孔口形心的水头,而且流量系数μ值因收缩系数较小孔口大,因而流量系数亦大。μ值可参考表5.1给出的值。表5.1大孔口的流量系数μ孔口形状和水流收缩情况流量系数μ全部、不完善收缩0.70底部无收缩但有适度侧收缩0.65～0.70底部无收缩、侧向很小收缩0.70～0.75底部无收缩、侧向极小收缩0.80～0.90·121· 水力学5.2液体经管嘴的恒定出流(1)圆柱形外管嘴的恒定出流当孔壁厚δ等于3～4倍孔径d,或者在孔口处外接一段长l=(3～4)d的短管时(如图5.4),水流出流称为管嘴出流,此短管称为管嘴。水流进入管嘴后,先形成收缩断面c-c,在收缩断面附近水流与管壁分离,并形成漩涡区,之后,水流逐渐扩大,在管嘴出口断面上,水流已完全充满整个断面。因此,管嘴的水头损失有:经孔口的局部水头损失、由于水流扩大所引起的局部损失(略去沿程水头损失),即:hω=hj孔口+hj扩大设水箱的水面压强为大气压强,管嘴为自由出流,以管嘴轴线为基准面,写出水箱中过水断面1-1和管嘴出口断面2-2的能量方程:22α0v0αvH+=+hω2g2g2式中:hv图5.4ω=ζn2g其中ζn称为管嘴出流的阻力系数,根据实验资料其值约为0.5。2α0v0令H0=H+2g将以上两式代入能量方程,可解得管嘴出口断面平均流速:1v=·2gH0=φn2gH0(5.11)α+ζn及管嘴流量:Q=φnω2gH0=μnω2gH0(5.12)1式中,φn为管嘴流速系数,φn==0.82。由于管嘴出口断面处水流无收缩,即ε=1.0,α+ζn从而μn=εφn=0.82。比较式(5.10)与式(5.12)可知,对于同样的作用水头H0,圆柱形外管嘴的流量是孔口流0.82量的1.32倍(Q管嘴/Q孔口=μn/μ==1.32)。0.62(2)管嘴中水流收缩断面的真空值当作用水头相同、直径相同时,管嘴出流中阻力较之孔口出流时要大,但是管嘴出流流量反而比孔口出流流量要大,这是由于收缩断面处出现真空的作用。以图5.4为例,讨论管嘴水流在收缩断面处的真空作用及真空值的大小,为此,以通过管嘴轴线的水平面为基准面,对断面1-1至断面c-c的水流写能量方程,式中采用绝对压强:222paα0v0pcabsvcvcH++=++ζ0γ2gγ2g2g2α0v0令H0=H+,利用连续性方程和式(5.12)可得:2g·122· 第5章孔口、管嘴出流和有压管流Qωμnvc==μn2gH0=2gH0ωcωcε将此式代入能量方程中得:pa-pcabsμn2=[(1+ζ0)()-1]H0γε取孔口局部阻力系数ζ0=0.06,ε=0.64,管嘴流量系数μn=0.82代入上式得pa-pcabs=0.75H0>0γ可见:断面c-c处出现负压,真空度高达作用水头H0的0.75倍。整理能量方程,得管嘴收缩断面的流速:1pa-pcabsvc=2g(H0+)=φ2g×1.75H01+ζ0γ于是,管嘴流量为:Q=vc·ωc=μω2g×1.75H0可见,由于管嘴中收缩断面上的真空,使管嘴出流的有效作用水头比孔口出流增大了75%,因而相同作用水头下,相同直径的圆柱形外管嘴的流量反而比孔口大。(3)保证管嘴正常工作的条件从以上讨论看出,收缩断面的真空度和作用水头成正比,作用水头愈大,收缩断面真空度愈大,亦即出流量也愈大。但当收缩断面的真空度达到7m水柱以上时,由于绝对压强过低,管嘴出口断面外的空气在大气压强的作用下,会流进管嘴内,从而破坏收缩断面的真空状态,使管嘴中水流如同孔口出流一样,因此就达不到增大流量的目的。为了保证正常管嘴出流,真空度必须控制在7m水柱以下,从而,作用水头H0的允许最大值为:7[H0]ù≈9.0m水柱0.75其次,管嘴长度l也有一定限制。若l>(3～4)d,则沿程阻力变大,沿程水头损失不能忽略,应视为有压管流;若l过短,水流收缩后来不及扩大到整个管口断面便出流,收缩断面不能形成真空,而不能发挥管嘴作用。所以,圆柱形外管嘴的正常工作条件是①作用水头H0≤9m;②管嘴长度l=(3～4)d。例5.1一薄壁锐缘圆形孔口,直径d=10mm,水头H=2m,自由出流,如图5.5所示。行近流速水头很小,可略去不计。现测得收缩断面处流束直径dc=8mm;在32.8s时间内经孔口流出的水量为10l。试求该孔口的收缩系数ε,流速系数φ,流量系数μ和阻力系数图5.5ζ。解①求ε2ωcdc28ε==()=2=0.64ωd10②求μ2因为p1=pc=pa(大气压),及v0/2g≈0,所以H0=H,则由式(5.10)得·123· 水力学-3Q10×10/32.8μ===0.62ω2gH0π×(0.01)22×9.8×24③求φφ=μ/ε=0.62/0.64=0.97也可由下式求出-3vc(实际流速)Q/ωc10×10/32.8φ====0.97v′c(理想流速)2gH0π×(0.008)22×9.8×24④求ζ1111由公式知φ==,所以ζ=2-1=2-1=0.063α+ζ1+ζφ0.97例5.2一大水池的侧壁开有一直径d=10mm的小圆孔,水池水面比孔口中心高H=5m,求:出口流速及流量Q。①若池壁厚度δ=3mm;②若池壁厚度δ=40mm。解首先分析壁厚δ对出流的影响:若δ=l=(3～4)d=(30～40)mm,则为管嘴出流,否则,若δ1.2m/sπdπ×0.3故比阻抗不需修正。2-62H=hf=AlQ=1.025×10×3500×85=25.9m相应标高为:H0=H+2=26+2=28m223Q0.085用水力坡度进行校核:已查得d=300mm时,K=1.006m/s,故H=Jl=2l=K1.0062×3500=25m。·135· 水力学(2)串联管路由不同直径的简单管顺次首尾相连接而成的管道称为串联管路。在两简单管的连接点(称为节点)处可能有流量输出管路系统外部,如图5.15所示。因为各段管径不同,通常流速也不相同,所以,应分段计算其水头损失。管路系统的总水头损失等于各简单管水头损失的总和:nn2H=∑hfi=∑AiliQi(5.37a)i=1i=1nn2Qi或H=∑hfi=∑2li(5.37b)i=1i=1Ki图5.15式中n为简单管的总数目。串联管道的流量计算应满足连续性方程。因而,流入节点的流量应等于流出节点的流量,即Qi=qi+Qi+1(5.38)式(5.37)和式(5.38)是串联管路水力计算的基本公式,可用于计算Q、d、H等各类问题。串联管道中各管段的水力坡度通常不同,所以全管的测压管水头线呈折线形,如图5.15所示。例5.8内壁涂水泥砂浆的铸铁管输水,已知作用水头H=20m,n=0.012,管长l=2000m,通过流量Q=200l/s,选择铸铁管直径d。若选用两种管径的管道串联,求每段管道的长度。①求管径d解按长管计算,用公式(5.32)2H=hf=AlQ3而Q=200l/s=0.2m/sH2026A=2=2=0.25s/mQl0.2×2000由A及n查表5.3,对相近于算得的A值有26d1=350mmA=0.401s/m26d2=400mmA=0.196s/m可见合适的管径在d1与d2之间,但无此种规格的产品。只能选用管径d2=400mm。为节省管材,也可采用两段不同直径的管道(350mm和400mm)串联。②求各管段长度设直径d1=400mm的管长为l1,比阻抗为A1,直径d2=350mm的管长为l2,比阻抗为A2。管段的流速分别为4Q4×0.2v1=2=2=1.59m/s>1.2m/sπd1π×0.44Q4×0.2v2=2=2=2.01m/s>1.2m/sπd2π×0.35故比阻抗A都不需修正,·136· 第5章孔口、管嘴出流和有压管流26A1=0.196s/m26A2=0.401s/m2H=(A1l1+A2l2)Q以上各值代入上式得:220=(0.196l1+0.401l2)×0.2(1)又l1+l2=2000(2)联解(1)、(2)两式得l1=1474m,l2=526m例5.9如图5.16所示,两水池间的水位差保持为H=66m,被一长4000m,直径为225mm的管道连通。在距上游水池出口1600m处管道有一分流流出,分流量q=42.5l/s。若沿程阻力系数λ=0.036,不计局部阻力,求进入下游水池的流量,并绘出测压管水头线。解设C点为分流点,Q1为BC段流量、Q2为CD段流量、q为图5.16分流量。由连续方程有Q1=Q2+q=Q2+0.0425(1)由式(5.37a)有n8λ22H=∑hfi=25(l1Q1+l2Q2)i=1gπd8×0.03622即66=25×(1600Q1+2400Q2)9.8π×0.22522-3化简得:Q1+1.5Q2=7.99×10(2)联解(1)、(2)两式得流入下游水池的流量为-3-85×101-32-3Q2=+(85×10)+4×2.5×6.18×10=5530.0354m/s=35.4l/s再由(1)式可解得BC段流量-3-3-33Q1=Q2+q=35.4×10+42.5×10=77.9×10m/s=77.9l/s为了绘制水头线,需计算各管段的水头损失:BC段损失8λl128×0.036×1600-32hfBC=25Q1=25×(77.9×10)=50.49m(水柱)gπd9.8π×0.225CD段损失8λ28×0.036×2400-32hfCD=25l2Q2=25×(35.4×10)=15.51m(水柱)gπd9.8π×0.225以下水池水面为基准面,各点的总水头为:A点:66m水柱·137· 水力学C点:H-hfBC=66-50.49=15.51m水柱E点:H-hfBC-hfCD=66-50.49-15.51=0按相同的长度比尺用铅垂线段长度表示各点总水头,即可绘出总水头线如图5.16所示。(3)并联管路在两节点间并设两条或两条以上的管路称为并联管路,如图5.17所示,节点A、B之间的三条管道构成一并联管道系统。如在节点A、B处分别安置测压管,则在每一节点处都只可能测出一个测压管水头,因而两点的测压管水头差就是A、B之间任一简单管水流的水头损失,即水流通过并联管道系统中任何一条简单管道的水头损失都相等:hf2=hf3=hf4=hfAB(5.39a)图5.17根据用比阻抗表示hf的简单管公式,上式可写成222A2l2Q2=A3l3Q3=A4l4Q4(5.39b)由于各管的长度、直径、粗糙度可能不同,因此流量也不会相等,但各管流量应满足连续条件,即流向节点的流量等于由节点流出的流量:对节点A:Q1=q1+Q2+Q3+Q4(5.40)对节点B:Q2+Q3+Q4=Q5+q2下面推导并联管路中各简单管的流量计算公式。将节点A到节点B之间的并联管路视为一根简单管AB,其阻抗为Aplp,流量为Q。水头损失2hfAB=AplpQhfAB则Q=Aplp又因为Q=∑QiihfABhfi所以=∑(5.41)AplpAili11亦即=∑(5.42)AplpAili即所假设的简单管AB的阻抗平方根倒数等于各并联支管的阻抗平方根的倒数之和。Aplp称为等效阻抗。Qihfi/Aili式(5.41)又可改写为=QhfAB/Aplp因此,可得并联管路流量分配公式:AplpQi=Q(5.43)Aili·138· 第5章孔口、管嘴出流和有压管流必须指出,各并联支管水头损失相等,只表明并联管道中各简单管的单位重量液体机械能损失相同,由于各支管的流量不同,故通过各支管的水流所损失的机械能总量是不相等的,流量大的,总能量损失大。如果已知干管流量Q1及并联的各简单管的直径、长度(和粗糙系数),即可利用式(5.39)及式(5.43)计算各支管的流量和水头损失hf。例5.10以旧铸铁管在A处用四条并联管道供水至B处。粗糙系数n=0.013,直径d1=300mm,d2=d3=350mm,d4=250mm;管长l1=200m,l2=400m,l3=350m,l4=300m;总流量Q=400l/s,求各管流量Q1、Q2、Q3和Q4。26262解比阻抗的数值直接查表5.3,得A=1.07s/m,A2=A3=0.471s/m,A4=2.83s/6m,由式(5.39b)得2222A1l1Q1=A2l2Q2=A3l3Q3=A4l4Q422221.07×200Q1=0.471×400Q2=0.471×350Q3=2.83×300Q420.471×40022Q1=Q2=0.88Q21.07×200Q1=0.9382Q220.471×40022Q3=Q2=1.143Q20.471×350Q3=1.069Q220.471×40022Q4=Q2=0.222Q22.83×300Q4=0.471Q2再由连续性方程Q1+Q2+Q3+Q4=Q得0.938Q2+Q2+1.069Q2+0.471Q2=Q=400l/s400解得Q2==115.0l/s3.478Q1=0.938Q2=107.9l/sQ3=1.069Q2=122.9l/sQ4=0.471Q2=54.2l/s4Q14×107.9验算v1=2=2=1.526m/sπd1π×0.34Q24×115v2=2=2=1.2m/sπd2π×0.354Q34×122.9v3=2=2=1.28m/sπd3π×0.354Q44×54.2v4=2=2=1.100m/sπd4π×0.25d4的流速v4=1.10m/s<1.2m/s,水流在过渡区,A值应修正。查表5.4得修正系数k=1.015,重新计算各管流量:22221.07×200Q1=0.471×400Q2=0.471×350Q3=1.015×2.83×300Q4解得Q1=0.938Q2Q3=1.069Q2Q4=0.468Q2·139· 水力学又由连续性方程:Q1+Q2+Q3+Q4=Q0.938Q2+Q2+1.069Q2+0.468Q2=Q=400400400Q2===115.12l/s1.938+1.069+0.4683.475Q1=0.938×115.12=108l/sQ3=1.069×115.12=123l/sQ4=0.468×115.12=53.9l/s以上即为修正后的各管流量。例5.11管道系统如图5.18所示,已知上、下游水池水位差H=10m,1、2、3、4及5管均为简单管。粗糙系数n=0.013,各管长l及管径d见下表。求流入下游水池的流量及各管段流量Q1、Q2、Q3、Q4及Q5。管段号i①②③④⑤管径d/mm200300300300500管长l/m300300600800300比阻抗A9.301.071.071.070.0702阻抗Al279032164285621.06解整个管道系统的流动为:水流从上游水池经①、②管段流至5管段,再流经③、④管段至下游水池,淹没出流。①、②管段和③、④管段又分别并联于水池、节点A和B,它们又分别先后与AB管串联。故计算时,可先按并联管道计算出①、②管及③、④管的等效阻抗,再将①、②管段、AB管段和③、④图5.18管段按串联管道计算。因为已知粗糙系数n,可查表5.3得各管段比阻抗Ai,列入上表。1)①、②管并联,其等效阻抗为11111=+=+=0.075(Aplp)1-2A1l1A2l22790321所以(Aplp)1-2=178.9852)③、④管段并联,其等效阻抗为11111=+=+=0.074(Aplp)3-4A3l3A4l4642856所以(Aplp)3-4=184.3743)按三段串联计算流量由公式(5.37a),得H=hf1-2+hf5+hf3-4因为三段流量相等,故上式可写成·140· 第5章孔口、管嘴出流和有压管流2H=[(Aplp)1-2+A5l5+(Aplp)3-4]Q2210=[178.985+21.06+184.374]Q=384.42Q210所以Q==0.026384.423Q=0.1613m/s由式(5.43)可得各管段流量分别为(Aplp)1-2178.9853Q1=Q=0.1613=0.04085m/sA1l12790(Aplp)1-2178.9853Q2=Q=0.1613=0.12045m/sA2l2321.03(也可由Q2=Q-Q1=0.1613-0.04085=0.12045m/s)(Aplp)3-4184.3743Q3=Q=0.1613=0.08644m/sA3l36423Q4=Q-Q3=0.1613-0.08644=0.07486m/s3Q5=Q=0.1613m/s4)验算阻力区域先求出各管段的平均流速Q14×0.04085v1==2=1.30m/s>1.2m/sω1π×0.2Q24×0.12045v2==2=1.70m/s>1.2m/sω2π×0.3Q34×0.08644v3==2=1.22m/s>1.2m/sω3π×0.3Q44×0.07486v4==2=1.06m/s<1.2m/sω4π×0.34×0.1613v5=2=0.82m/s<1.2m/sπ×0.5故①、②和③管段流动均属于阻力平方区,比阻抗A值不需修正。④、⑤管段流动属紊流过渡区,比阻抗值应进行修正。查表5.4得k4=1.021,k5=1.058,重新计算:5)计算(Aplp)3-411111=+=+=(Aplp)3-4(A3l3)k4A4l46421.021×8560.0733(Aplp)3-4=186.1566)计算流量2H=[(Aplp)1-2+k5A5l5+(Aplp)3-4]Q=2[178.985+1.058×21.06+186.156]Q210Q==0.0258387.423所以Q=0.1607m/s178.9853Q1=0.1607×=0.0407m/s2790·141· 水力学3Q2=0.1607-0.0407=0.120m/s186.1563Q3=0.1607×=0.08653m/s642186.1563Q4=0.1607×=0.07417m/s1.021×8563Q5=Q=0.1607m/s5.6管网水力计算基础对区域性的用水,需将通向诸用户的许多管道组合成统一的供水系统,称为管网。管网按其形状可分为枝状管网和环状管网两种。管道像树枝一样分叉的管网为枝状管网,如图5.19所示;环状管网是管道各首尾端连接起来所形成的闭合管路,如图5.20所示。图5.19图5.20管网内各管段的管径是根据流量Q及流速v两者来决定的,在流量Q一定的条件下,不2πd4QQ同的流速对应不同的管径(Q=ω·v=·v,所以d==1.13)。如果流速大,则管4πvv径小,管道造价低,但因流速大,而造成的水头损失大,从而需增加水塔高度及抽水费用。反之,采用较大管径可使流速减小,降低了运转费用,却又增加了管材用量,管道造价高。所以选用管径同整个工程的经济性和运转费用等有关。目前给水工程上采用的办法是通过综合考虑各种因素的影响对每一种管径定出一定的流速,使得供水的总成本最小。这种流速称为经济流速ve。综合实际设计经验及技术经济资料,对于中、小直径的给水管道:当直径D=100～400mm,采用ve=0.6～1.0m/s,当直径D>400mm,采用ve=1.0～1.4m/s。以上规定供初学者参考,但要注意ve是因时因地而变动的。(1)枝状管网水力计算枝状管网水力计算分为两种情况,即新建给水系统和扩建原有给水系统。1)新建给水系统的水力计算在这种情况下,通常是已知管道长度l,通过的流量Q和自由水头HZ(即给水管道出口断面上的剩余水头,对于不同的楼层其Hz值分别为:一层Hz=10m,二层Hz=12m,三层Hz=16m,以后每上升一层增加4m;对消火栓Hz=10m)。要求确定各段管道的直径D及水塔的高度Ht。计算时,首先按经济流速在已知流量下先定标准管径,由管径确定出比阻抗A值,利用公·142· 第5章孔口、管嘴出流和有压管流式2hf=AlQ计算各段的水头损失。然后按串联管道系统计算出从水塔到控制点(管网的控制点是指在管网中水塔至该点的水头损失、地形标高和所需自由水头三项之和为最大值之点)的总水头损失∑hf。最后,按长管考虑,由能量方程可得水塔高度Ht为Ht=∑hf+Hz+zo-zt式中Hz———控制点的自由水头;zt———水塔外的地面标高;zo———控制点的地面标高;∑hf———从水塔到管网控制点的总水头损失。(2)扩建给水系统的水力计算当水塔已经建成,需要扩大供水范围,就要增加管道,水力计算是从已知水塔高度Ht及Zt、管道长度l、用水点自由水头HZ以及通过的流量Q来确定管径D。计算方法:根据枝状管网各管线的已知条件,算出各管线各自的平均水力坡度Ht-(zi-zo)-HzJi=(5.44)∑li然后选择其中平均水力坡度最小(Jmin)的管线作为控制干线进行设计。一般在计算中,控制干线上按水头损失均匀分配,即各管段水力坡度相等条件,由式2(5.32)计算各管段比阻抗:Ai=J/Qi。式中Qi为某一管段通过的流量。由求得的Ai值就可选择各管段的直径di。当控制干线确定后,再算出各节点的水头,并以此为支管起点的水头,分别设计各枝线管径。例5.12一枝状管网从水塔0向0-1干线输送用水,各节点要求供水量如图5.21所示。各管段长度见表5.5。此外,水塔处的地面标高和点4、点7的地面标高见图示。点4和点7要求的自由水头均为HZ=12m。求各管段的管径,水头损失及水塔应有的高度。解①各管段流量计算根据连续性条件从各枝线末端开始,向上游对每一个节点依次计算各管段的流量,结果列在表5.5中第4栏。②各管段直径计算可根据经济流速选择各管段的直径:采用经济流速ve=1m/s,对于管3～4,Q=25l/s,则管径0.025图5.21d3-4=1.13Q/ve=1.13=1.00.179m取d3-4=200mm。管中实际流速为4Q4×0.025v=2=2=0.80m/sπdπ×0.2·143· 水力学(在0.6～1.0m/s范围内)。其他各管段计算直径及最后先取的直径如下:d2～3=0.253m实选d2～3=250mmd1～2=0.337m实选d1～2=350mmd6～7=0.138m实选d6～7=150mmd5～6=0.118m实选d5～6=200mmd1～5=0.238m实选d1～5=250mmd0～1=0.413m实选d0～1=400mm实选直径列在表5.5中第5栏。表5.5已知数据计算数值12345678910管段长度管中流量管径流速修正系数比阻抗A水头损失累积水头损失管线管段-126/mm/l/s/mm/m·s/k/s/m/m/m左3-4350252000.801.0609.0292.09侧2-3350452500.921.0382.7522.024.72支线1-2200803500.831.0540.4540.61右6-750013.51500.761.06841.854.07侧5-6200252000.801.0609.0291.206.67支线1-5300402500.821.0562.7521.40水塔至0-14001204000.961.0340.22321.331.033分叉点③各管段内水头损失计算0.021采用铸铁管,用公式(λ=0.3)计算λ,查表5.3得管段3-4的比阻抗A=9.029,因为平d均流速v=0.80m/s<1.2m/s,水流在紊流过渡区范围,故A值需要加以修正。查表5.4得修正系数k=1.06,则管段3～4的水头损失为22hf3-4=kAlQ=1.06×9.029×350×0.025=2.09m各管段的水头损失计算结果列在表5.5中第9栏。④水塔高度计算从水塔到最远的用水点4和点7的沿程水头损失分别为:沿0-1-2-3-4线∑hf0-4=2.09+2.02+0.61+1.33=6.05m沿0-1-5-6-7线∑hf0-7=4.07+1.20+1.40+1.33=8m满足点4用水要求时水塔水面高程为H=z4+∑hf0-4+Hz4=13+6.05+12=31.05m满足点7用水要求时水塔水面高程为·144· 第5章孔口、管嘴出流和有压管流H=z7+∑hf0-7+Hz7=10+8+12=30.0m可见点4为控制点,0-1-2-3-4为干管,0-1-5-6-7为支线。故水塔高度为Ht=H-z0=31.05-7=24.05m(3)环状管网水力计算图5.20表示一环状管网。通常管网的布置及各管段的长度l和各节点流出的流量为已知。因此,环状管网水力计算的任务是确定各管段通过的流量Q和管径d,其中需要求出各段水头损失hf。环状管网中的每一闭合环路应按并联管道考虑,在每一环的水力计算中均要求符合两条水力学原则:①根据连续性条件,在各个节点上,流向节点的流量应等于由此节点流出的流量。若以流向节点的流量为正值,离开节点的流量为负值,则两者的总和应等于零。即在各节点上∑Qi=0(5.45)②在任一闭合环路内,由某一节点沿两支管流至另一节点的水头损失应相等。设在一个环内如以顺时针水流方向管段的水头损失为正值,逆时针水流方向管段的水头损失为负值,则两者的总和应等于零。即在每一环内,均应满足:22∑hfi=∑AiliQi=∑SiQi=0(5.46)式中S=Al称为管道的阻抗。具体计算时可按下列步骤进行:①先初拟各管段的水流方向(用箭头标在图上)并根据各节点上应满足∑Qi=0初拟各管段的流量;②根据经济流速和各管段的流量选择管径di;③计算各管段的水头损失,校核各环是否满足(5.46)式。以顺时针流向的水头损失为正2值,逆时针流向的水头损失为负值,计算每一环的∑hf=∑SQ。这一∑hf值在首次试算时一般是不会等于零的。记∑hf=Δh,称Δh为环路的闭合差。在工程实际中通常只要求环路闭合差满足一定精度要求便可。如果Δh不满足精度要求,则需对流量分配进行修正,直至各环水流情况均满足闭合差Δh=∑hf小于规定值为止。对流量逐步修正的水力计算称为管网平差。2④求出使某一环的∑SQ=0的校正流量ΔQ,ΔQ的计算式为∑hfiΔQ=-(5.47)2∑(hfi/Qi)式中的分子是各管段水头损失的代数和,可正可负,而分母的hf和Q总是同号的,所以分母为正。校正后的流量为Q′i=Qi+ΔQ(5.48)某一环在第一次校正后,还会受到相邻另一个环校正流量的影响。相邻两环的公共管段(如图5.22中的管段FC)的校正流量是把邻环的ΔQ改变正、负号之后,与本环的校正量迭加。⑤按修正后的流量重新计算水头损失,求闭合差,若不满足精度要求,则再进行流量校正。重复以上步骤,一般要求一个环的∑hf在0.5m以下便可。这时各管段的管径、流量、水头损·145· 水力学失就可作为最后的计算结果。例5.13包含两环的水平管网如图5.22所示,已知各节点流量Qa=80l/s,Qb=10l/s,Qc=15l/s,Qd=55l/s。各管段均为铸铁管,长度如图中所示。试确定各管段的直径及所通过的流量(闭合差小于0.5m即可)。解为了便于计算,列表进行:(见表5.6)①初拟流向、第一次分配流量:初拟各管段流向如图5.22所示。根据节点流量平衡公式∑Qi=0,流量的初分配值如下:ab段Q1=50l/sbc段Q2=15l/sbd段Q3=20l/sad段Q4=30l/sdc段Q5=40l/s图5.22②根据初分流量,按经济流速选择标准管径(并查出相应比阻值)。2③计算各管段水头损失。按分配流量,根据式hfi=AiliQi,代入Ai(考虑修正)、li、Qi值,算得各管段的水头损失,将Qi、di、hfi均写入表5.6中。再计算环路的闭合差∑hfⅠ=3.096+1.806-3.250=1.652m∑hfⅡ=4.708-2.422-1.806=0.48m闭合差大于规定值,说明流量分配的比例不恰当,按式(5.47)计算校正流量ΔQ,表5.6计环号Ⅰ环Ⅱ环次算管段号①③④②⑤③数项目管长/m450500500500550500·146· 第5章孔口、管嘴出流和有压管流续表d/mm2502002001502502002-6A/s·m2.7529.0299.02941.852.7529.029-1Q/l·s5020-3015-40-20初步hf/m3.0961.806-3.254.708-2.422-1.806流量hf/Q0.06190.09030.10800.31400.06060.0903分配计∑hf=+1.652算hhf=0.48f∑∑=0.26hQf计算ΔQ∑Q=0.465-∑hf-1.652ΔQⅠ===-0.482∑hf/Q2×0.26ΔQⅡ=2×0.465=-0.516-3.177-3.177+3.177ΔQ-3.177-3.177-0.516-0.516+0.516-0.516Q′46.82317.34-33.1814.484-40.52-17.34第一hf2.7121.36-3.9764.387-2.485-1.357次修hf/Q0.0580.0780.11980.3030.0610.078正计算∑hf=0.096∑hf=0.545hfhf计算ΔQ′∑Q=0.256∑Q=0.4420.0960.545ΔQ′Ⅰ=-=-0.188ΔQ′Ⅱ=-=-0.6172×0.2562×0.442-0.188+0.188ΔQ′-0.188-0.188-0.617-0.617+0.617-0.617Q″46.63517.77-33.3713.87-41.14-17.77第二hf2.6891.430-4.0294.043-2.560-1.430次修hf/Q0.0580.08050.1210.2910.0620.0805正计算∑hf=+0.09∑hf=0.053hfhf计算ΔQ″∑Q=0.259∑Q=0.4430.09-0.052ΔQ′Ⅰ=-=-0.174ΔQ′Ⅱ==-0.06122×0.2592×0.433-1最终各管流量/l·s46.46117.66-33.5413.8141.0817.66·147· 水力学④调整分配流量,对于Ⅰ环,第一次校正流量为:-1.652-1.652ΔQⅠ===-3.17hf1hf2hf32×0.2482(++)Q1Q2Q3校正后的流量Q=Q+ΔQ。以Ⅰ环为例,①和③管为顺时针流向,Q为正,加上校正流量ΔQ(负值)后,流量减小,而④管反时针流向,Q为负,加上校正流量ΔQ(负值)后,流量加大。对于相邻环的公共管段③,其校正流量为:对Ⅰ环来说是Ⅰ环计算所得校正值ΔQ=-3.17与Ⅱ环所计算得的校正值的负值-ΔQⅡ=0.52之和;对Ⅱ环来说,校正值为ΔQ=ΔQⅡ+(-ΔQⅠ)=-0.52+3.17。⑤重复②、③及④步骤计算,直至满足闭合差精度要求。本例按两次分配流量计算,各环已满足闭合差要求,故第二次校正后的流量即为各管段的通过流量。思考题5.1写出薄壁小孔口出流的收缩系数ε、流速系数φ及流量系数μ的表达式,并简述ε、φ及μ的物理意义。5.2试导出在容器底壁上开孔且容器内液面压强不等于大气压强时的作用水头表达式。5.3简述管嘴出流的水力特点,并说明管嘴出流的流速、流量计算与孔口出流的流速、流量计算有何不同。5.4若管嘴出口面积和孔口面积相等,且作用水头H也相等,试比较孔口与管嘴的出流量,并写出圆柱形外管嘴的正常工作条件。5.5简述有压管流的水力特点。5.6试解释比阻抗的物理意义。5.7何谓短管和长管?判别标准是什么?如果某管道思考题5.8图为短管,但欲采用长管计算公式,怎么办?5.8如图所示虹吸管,当泄流时,B点高出上游水面最大允许高度h为多大?h值与下游水位有无关系?与BC段管长有无关系?习题5.1水从A箱通过直径为10cm的薄壁孔口流入B水箱,流量系数为0.62,设上游水箱的水面高程H1=3m保持不变。试分别求:(1)A水箱敞开,B水箱中无水时;(2)A水箱敞开,B水箱中的水深H2=2m时;(3)A水箱水面压强为2kPa,H2=2m时,通过孔口的流量。25.2贮水箱中水深保持为h=1.8m,水面上相对压强p0=70kN/m,箱底开一孔,直径d=50mm。若流量系数μ=0.62,试求用此底孔排水时的作用水头及出流量。·148· 第5章孔口、管嘴出流和有压管流题5.1图题5.2图5.3有一直径d=0.2m的圆形锐缘薄壁孔口,其中心在上游水面下的深度H=5.0m,孔口前的来水流速v0=0.5m/s,也口出流为全部完善收缩的自由出流,求孔口出流量Q。5.4在混凝土坝中设置一泄水管如图所示,管长l=4m,管轴处的水头H=6m,现需通3过流量Q=10m/s,若流量系数μ=0.82,试决定所需管径d,并求管中水流收缩断面处的真空度。若d=0.8m,l=3.0m,上游水头H1=10.0m,下游水头H2=4.5m,试求通过泄水管的流量。题5.3图题5.4图5.5水从封闭的立式容器中经管嘴流入开口水池(见题5.5图),管嘴直径d=8cm,容器-23液面与水池液面的高差恒为h=3m,要求流量为5×10m/s。试求容器内液面上的压强为多少?题5.5图题5.6图5.6两水箱用一直径d1=40mm的薄壁孔口连通如题5.6图所示,右侧水箱的底部接一直径d2=30mm的圆柱形管嘴,长l=0.1m,孔口的上游水深H1=3m,水流保持恒定,求管嘴流量Q2和下游水深H2。5.7为了使水流均匀地进入平流式沉淀池,通常在平流式沉淀池进口,造一道穿孔墙(题5.7图)。设某沉淀池需要通过穿孔墙的流量为125l/s,穿孔墙上设若干孔口,每一孔口尺寸·149· 水力学均为15cm×15cm,通过孔口断面的平均流速v不大于0.4m/s(孔口出流后收缩断面流速vc=v/ε=0.4/0.64=0.625m/s),试计算应设孔口总数,并核算穿孔墙上、下游水位差ΔH=?5.8水从封闭水箱上部经直径d1=3.0cm的孔口流至下部,然后经d2=2.0cm的圆柱形管嘴排向大气中,流动恒定后,水深h1=1.985m,h2=2.92m,上水箱的压力读数pM=249kN/m,求流量Q和下水箱水面上的空气压强px。管嘴长l=4d2。题5.7图题5.8图5.9上下两圆柱形敞口容器,大小相等,直径D1=D2=10cm,上容器充满着液体,下容器中无液体。现利用虹吸管,直径d=0.8cm,长l=72cm,将部分液体吸至下容器中(题5.9图)。虹吸管插入液体中的深度h0=10cm,管进口断面离下容器底面的高度差z=25cm,管道沿程阻力系数λ=0.035,各个局部阻力系数之和∑ζ=3。直到吸完液深h0为止,求所需时间。题5.9图题5.10图5.10用一根直径为d,长为l的管子将两个圆柱容器连接起来,如图所示。两容器的直径均为D,开始时两容器间的水位差H,设沿程阻力系数为λ。求水位差减小到H/2所需的时间。5.11圆锥形容器如图所示,内充液体,液面直径D1=20cm,容器底部直径D2=10cm,液体深h0=10cm,经底部孔口出流,孔口直径d=0.5cm,流量系数μ=0.6,1求液体全部放空及放出液体深度的一半(及h=h0)时2各需要多少时间?5.12用虹吸管将河道中的水引入水池,如图所示。钢管总长为30m,直径d=400mm,设每一弯头的局部阻题5.11图·150· 第5章孔口、管嘴出流和有压管流题5.12图力系数为ζω=0.7,又λ=0.02。求管中流量和最大真空值。5.13圆形有压涵管如图所示,管长l=50m。上、下游水位差H=3m,各项阻力系数:沿3程λ=0.03,进口ζ1=0.5,弯头ζω=0.65,出口ζ2=1。如要求涵管通过流量Q=3m/s,试确定管径。题5.13图题5.14图5.14用虹吸管自钻井输水至集水池如图所示。虹吸管l=lAB+lBC=30m+40m=70m,直径d=200mm。钻井至集水池间的恒定水位高差H=1.60m。又已知沿程阻力系数λ=0.03,管道进口,120°弯头,90°弯头及出口处局部阻力系数分别为ζ1=0.5,ζ2=0.2,ζ3=0.5,ζ4=1.0。求:(1)流经虹吸管的流量Q;(2)如虹吸管顶部B点安装高度hs=4.5m,校核其真空度。题5.15图5.15用虹吸管自钻井输水至集水井如图所示。虹吸管长l=l1+l2+l3=60m,直径d=200mm,钻井与集水井间的恒定水位高差H=1.5m。试求虹吸管的流量。已知选用钢管n=0.0125,管道进口、弯头及出口的局部阻力系数分别为ζ1=0.5,ζ2=ζ3=0.5,ζ4=1.0。5.16某工厂用直径d=600mm的钢管从大江中取水至集水井,设江水水位和井水水位高差H=1.5m,虹吸管全长l=100m,已知管道粗糙系数n=0.0125。管道有带滤网的进口,·151· 水力学题5.16图ζ进口=2.0;90°弯头两个,ζω1=0.6,45°弯头两个,ζω2=0.4;ζ出口=1.0。进口断面到断面2-2间管长l′=96m,断面2-2的管轴高出上游水面Z=1.5m。求(1)通过虹吸管的流量;(2)断面2-2的真空度。5.17水泵将水源处的水抽进水塔,装置如图(5.10)所示。已知:吸水管直径da=250mm,长la=8m,其局部阻力系数总和∑ζa=5.5,安装高度hs=5m;压水管直径dp=200mm,长lp=200m,其局部阻力系数总和∑ζp=3.0,吸水管和压水管的沿程阻力系数λ=0.025。若抽水高度需达到Z=40m,供水量Q=60l/s;泵的效率ηp=0.75,允许真空度[hv]≤6.0m。求该水泵的轴功率Np需要多少kW。35.18水泵抽水系统如图所示,流量Q=0.0628m/s,管径均为d=200mm,h1=3m,h2=17m,h3=15m,l2=12m,各处局部阻力系数ζ1=3,ζ2=0.21,ζ3=0.073,ζ4=1,沿程阻力系数λ=0.023。求水泵的扬程Hm及有效功率Ne(Ne=γQHm)。题5.18图题5.19图5.19图示离心泵实际抽水量Q=8.10l/s,吸水管长度la=7.5m,直径da=100mm,沿程阻力系数λ=0.045,局部阻力系数:带底阀的滤水管ζ1=7.0,弯管ζ2=0.25。如允许吸水真空高度[hv]=5.7m,试决定其允许安装高度HS。35.20用离心泵将湖水抽到水池,流量Q=0.2m/s,湖面标高꯽1=85.0m,水池水面标高꯽3为105.0m,吸水管长l1=10m,水泵的允许真空值为4.5m,吸水管底阀局部水头损失系数ζe=2.5,90°弯头局部阻力系数ζω=0.3,水泵入口前的渐变收缩段局部阻水系数ζ=0.1,吸水管沿程阻力系数λ=0.022,压力管道采用铸铁管,其直径d2=400mm,长度l2=1000m,n=0.013,试确定:(1)吸水管的直径d1;(2)水泵的安装高程꯽2;(3)带动水泵的动力机械功率。5.21水池A和B的水位保持不变,用一直径变化的管道系统相连接,如图所示。管道·152· 第5章孔口、管嘴出流和有压管流题5.20图题5.21图直径d1=150mm,d2=225mm,管长l1=6m,l2=15m,两水池水面高差为6m,两管道沿程阻力系数λ=0.04,试求通过管道的流量?并绘制总水头线及测压管水头线。5.22有一管路,长l=60m,原设计管径为0.3m,其输水量原定为800l/s,但加工后测得实有管径只有0.29m,管壁粗糙系数n=0.01,问:(1)当水头不变时,其实际输水量是多少?(2)若仍欲通过800l/s的流量,所需水头是多少?题5.23图题5.24图5.23一水泵向图示水平串联管路的B、C、D三处供水。D点要求自由水头hZ=10m。已知:流量qB=15l/s,qC=10l/s,qD=5l/s;管径d1=200mm,d2=150mm,d3=100mm;管长l1=500m,l2=400m,l3=300m。试求:水泵出口A点的压强水头pA/γ。5.24如图所示串联供水管路,各段管道尺寸见表,管道为正常铸铁管,n=0.0125。试求水塔高度H。管道123d/mm300200100l/m150100503-1Q/(m·s)0.160.080.035.25水塔供水管路上有并联管路1及2,如图所示。铸铁管输水,在C点的自由水头Hz=5m,在B点有qB=5l/s的流量分出,其余已知数据见下表,试决定并联管路的流量分配并求所需水塔高度。·153· 水力学管管道管道道管11道1管22道21管33道321管44道43124321342434管道1234d/mm150100200150l(m)300400500500-1Q/(l·s)1510题5.25图题5.26图5.26在长为2l,直径为d的管路上,并联一根直径相同,长为l的支管(如图中虚线所示)。若水头H不变,求加并联管前后的流量比值(不计局部水头损失)。35.27三根并联铸铁管,由节点A分出,并在节点B重新汇合。已知Q=0.28m/s,l1=500ml2=800ml3=1000md1=300mmd2=250mmd3=200mm求并联管道中每一管段的流量及水头损失。题5.27图题5.28图35.28设并联管路如图所示。已知干管流量Q=0.10m/s;长度l1=1000m,l2=l3=500m;直径d1=250mm,d2=300mm,d3=2000mm,如采用铸铁管,试求各支管的流量及AB两点间的水头损失。5.29如图所示一枝状管网。已知1、2、3、4点与水塔地面标高相同,点5较各点高5m,各点要求自由水头均为10m,管长L1-2=200m,L2-3=350m,L1-4=300m,L4-5=200m,L0-1=400m,各管段均采用普通铸铁管,各点要求的流量见图,试求:各段管径及水塔高度。题5.29图题5.31图5.30将一根直径d=800mm的输水管的流量用两根直径相等的管道来取代,假设水管·154· 第5章孔口、管嘴出流和有压管流的性质相同,求所需管径。5.31有一压力罐供水给A、B两个用水设备。已知p0=4个工程大气压,水面标高为0.7m,A点标高12m,B点标高14m,A、B两设备所需自由水头均为10m,QA=6l/s,QB=8l/s,各管段长度为l1-2=40m,l2-3=l3-5=14m,l2-4=12m,要求设计各管段管径,设水管为铸铁管,且不计局部阻力。5.32某工厂供水管道如图所示,由水塔A向B、C、D、E及F各处供水。已知各点流QB=10l/s,QC=24l/s,QD=12l/s,QE=10l/s,QF=12l/s;各点地形标高为꯽A=120m,꯽B=102m,꯽C=110m,꯽D=108m,꯽E=105m,꯽F=106m;各点所需的自由水头HZC=20m,HZD=20m,HZE=16m,HZF=20m;各管段长分别为lAB=400m,lBC=200m,lBD=300m,lDE=150m,lDF=180m;试确定水塔高度。题5.32图·155· 第6章明渠恒定流6.1概述具有自由液面的流动称为明渠流动,天然河道和人工渠道(如路基排水沟、无压涵洞和下水道等)中的水流都是明渠流。明渠水流水面上各点的压强都等于大气压强,相对压强为零,所以明渠流动又称为无压流动。若明渠水流各运动要素不随时间变化则为明渠恒定流,否则为明渠非恒定流,本章仅讨论明渠恒定流。渠道断面形状、尺寸及底坡均对明渠水流运动有很大影响。在水力学中,按照这些因素的不同情况把明渠分成下面几种类型:(1)棱柱形渠道与非棱柱形渠道渠道横断面的形状及尺寸均沿程保持不变的长直渠道,称为棱柱形渠道,棱柱形渠道中水流过水断面的面积ω只随水深变化,即ω=f(h)。断面形状或尺寸沿程改变的渠道称为非棱柱形渠道,所以非棱柱形渠道的过水断面面积不仅是水深h的函数,还是水流流程s的函数,即ω=f(h,s)。人工明渠的横断面,通常呈对称的几何形状,常见的有梯形,矩形或半圆形等。而天然河道的横断面则常呈不规则的形状。如图6.1(a)、(b)、(c)。图6.1(2)顺坡、平坡和逆坡渠道渠底高程沿水流方向的变化情况用底坡i表示。设两断面的渠底高程分别为z1和z2,两断面之间的渠长为s(图6.2),则底坡定义为:z1-z2i=sinθ=(6.1)s若渠道的底坡i很小(即θ≤6°),有sinθ≈tanθ,则可用两断面之间的水平距离l代替流程·156· 第6章明渠恒定流长度s来定义底坡,即z1-z2Δzi=tanθ==(6.2)ll在渠道底坡很小情况下,水流的过水断面可以用水流的铅垂断面代替,过水断面的水深h也可以沿铅垂方向量取。当渠底高程沿程下降时,i>0(图6.3(a)),称为图6.2顺坡渠道;当渠底高程沿程不变时,i=0(图6.3(b)),称为平坡渠道;当渠底高程沿程上升时,i<0(图6.3(c)),称为逆坡渠道。天然河道的河底凹凸不平,其底坡可取一定长度河段的平均底坡计算。图6.3本章只讨论明渠恒定流中的三个问题:明渠均匀流的水力计算,明渠渐变流水面线及水跃。6.2明渠均匀流(1)明渠均匀流的形成及其特点均匀流指水流运动要素沿流程不变的流动,在明渠中要形成均匀流,必须满足:渠道为顺坡、棱柱形长直渠,底坡及糙率均沿程不变,且为恒定流。在明渠均匀流中无分、汇流,也无构筑物对水流运动的干扰。若这些条件中任一条件不满足(例如:底坡变化,或非恒定),都只能形成非均匀流。明渠均匀流各过水断面的水深相等,各过水断面上的流速分布相同(各断面的平均流速相等),因而水面线(亦图6.4即测压管水头线)、总水头线及渠底线相互平行(图6.4),坡度相等,即:J=JP=i(6.3)由于均匀流是匀速直线流动,所以,作用在水体上的诸力平衡。如图6.4所示,取控制体ABCDA中水体分析,作用在水体上的力有重力G,边壁摩擦力F以及过水断面AB及CD上·157· 水力学的动水压力P1、P2。沿流动方向的平衡方程为:P1+Gsinθ-F-P2=0明渠均匀流各过水断面面积及水深均相等,过水断面上动水压强分布服从静水压强分布规律(见第3章),因而P1=P2。故得:G·sinθ-F=0(6.4)Δz上式说明:明渠均匀流中,重力在流动方向的分力与流动阻力相平衡。将sinθ=代入l上式,得:G·Δz=Fl(6.5)即:明渠均匀流的重力功完全用来克服摩擦力功。明渠均匀流的水深称为正常水深,用h0表示。(2)明渠均匀流的水力计算公式明渠水流一般属紊流粗糙区,明渠均匀流水力计算的基本公式是连续性方程和谢才公式。Q=v·ωv=CRJ在明渠均匀流中,水力坡度J与渠道底坡i相等,所以谢才公式可以写成为v=CRi(6.6)采用曼宁公式或巴甫洛夫斯基公式来确定式(6.6)中的谢才系数C,曼宁公式:11C=R6(4.48)n巴甫洛夫斯基公式:1yC=R(4.49)n其中:y=2.5n-0.13-0.75R(n-0.10)(4.50)根据连续性方程和谢才公式,可得到计算明渠均匀流流量的公式Q=ω·v=ω·CRi=Ki(6.7)图6.5图6.63式中:K=ω·CR,称为流量模数,单位为m/s,它综合反映明渠断面形状、尺寸和粗糙度对输水能力的影响。当渠道断面形状及粗糙系数一定时,K是正常水深h0的函数。由(6.7)式可知:当流量Q一定时,明渠底坡i愈大,则均匀流的水深即正常水深h0越小,h0与i之间成反比关系,h0=f(i),如图6.5所示。·158· 第6章明渠恒定流(3)水力最优断面与允许流速1)水力最优断面由公式(6.7)可见:明渠均匀流的流量取决于渠道底坡i,渠壁的粗糙系数n及过水断面的大小和形状。一般底坡随地形而定,粗糙系数则取决于渠壁材料。在渠道底坡和粗糙系数已定的前提下,渠道输水能力Q只取决于过水断面的大小和形状。当渠道过水断面面积ω,粗糙系数n及渠道底坡i一定时,过水能力最大的断面形状称为水力最优断面。应用曼宁公式计11算谢才系数C=R6,公式(6.7)可写成为:n12/31i5/3-2/3Q=·ω·R·i2=·ω·χ(6.8)nn可见在i、n以及ω一定的条件下,要使输水能力Q最大,则要求水力半径R最大,或湿周χ最小。即渠壁的阻力也最小。可以说水力最优断面,就是湿周最小的断面形状。当给定面积ω时,半圆形断面具有最小的湿周,是水力最优断面。但为施工方便,工程上渠道断面多采用梯形断面。下面讨论梯形断面的水力最优条件。梯形断面面积取决于底宽ωb,水深h,及边坡系数m。如图6.6所示。过水断面面积ω=(b+mh0)h0,b=-mh0,湿周h02为χ=b+2h01+m,m=cotα,m称为边坡系数。将b的表达式代入湿周公式得ω2χ=-mh0+2h01+m(6.9)h0上式说明,梯形断面的水力最优条件主要与边坡系数m和水深h0有关。边坡系数的值由土壤稳定性条件及施工条件决定。若将公式(6.9)中ω、m视为常数,对上式求χ=f(h0)的极小值,可求出梯形断面的水力最优条件:2dχω2bh0+mh02=-2-m+21+m=-2-m+21+m=dh0h0h0b2--2m+21+m=0h0又因为2dχ(-b)2=-2>0dh0h0故有极小值。即湿周最小时,梯形断面的宽深比为b2β==2(1+m-m)(6.10)h0β为梯形渠道水力最优断面的宽深比条件。对于各种边坡系数,梯形渠道的水力最优宽深比可查表6.1。表6.1m00.500.751.001.501.752.002.503.00b/h02.001.561.000.830.610.530.470.3850.325由式(6.10)可得水力最优梯形断面的水力半径为·159· 水力学ω(b+mh0)h0R===χ2b+2h01+m2[2(1+m-m)h0+mh0]h0h0=(6.11)2222(1+m-m)h0+2h01+m即:梯形渠道水力最优断面的水力半径等于正常水深的一半,它与渠道的边坡系数无关。对于矩形断面,边坡系数m=0,故水力最优宽深比为bβ==2(6.12)h0或b=2h0(6.13)可知矩形渠道水力最优断面的底宽b为水深h0的两倍。水力最优只是从水力学的角度去考虑的渠道断面,但不一定是工程设计中的最佳断面。在工程实际中还需综合考虑渠道的输水、通航等使用要求以及造价、施工技术和维修养护等因素,确定工程设计的最佳断面。2)允许流速在渠道设计中,除了要考虑水力最优断面这一因素外,还须限制流速。流速过大,将使渠道受冲刷或塌方,流速过小,将使渠道发生淤积。因此,渠道中的流速应是不冲不淤流速。设渠道中最大允许流速为vmax为不冲流速,最小允许流速vmin为不淤流速,则渠道中设计流速应满足:vmin10软质水成岩(泥灰岩、页岩、软砾岩)2.53.03.5中等硬质水成岩(致密砾岩、多孔石灰岩、层状石灰岩、白云3.54.255.0石灰岩、灰质沙岩)硬质水成岩(白云砂岩、沙质石灰岩)5.06.07.0结晶岩、火成岩8.09.010.0单层块石铺砌2.53.54.0双层块石铺砌3.54.55.0混凝土护面(水流中不含沙和砾石)6.08.010.0表6.3均质粘性土质渠道的最大允许不冲流速单位:m/s-1土质最大允许不冲流速/m·s轻壤土0.6～0.8中壤土0.65～0.85重壤土0.75～1.0粘土0.75～0.95·160· 第6章明渠恒定流表6.4均质无粘性土质渠道的最大允许不冲流速单位:m/s-1土质粒径mm最大允许不冲流速/m·s极细沙0.05～0.10.35～0.45细沙和中沙0.25～0.50.45～0.60粗沙0.5～2.00.60～0.75细砾石2.0～5.00.75～0.90中砾石5.0～10.00.90～1.10粗砾石10.0～20.01.10～1.30小卵石20.0～40.01.30～1.80中卵石40.0～60.01.80～2.20说明:(1)土质渠道表中所列的vαmax是属于水力半径R=1.0m的情况,当R≠1.0m时,表中所列的数值乘以R,即得相111应的vmax。对于各种粒径的砂、砾石和卵石以及疏松的壤土,粘土,α=～;对于密实的壤土、粘土,α=3441～。5(2)对于流量大于50m3/s的渠道,vmax应专门研究确定。渠道中的最小允许流速视水中含砂量、含砂粒径及水深而定,一般不小于0.5m/s。(4)明渠均匀流水力计算基本问题明渠均匀流的水力计算,主要有以下三种基本问题:1)验算渠道的输水能力这一类问题是校核已建成渠道的过水能力。一般已知渠道断面形状及尺寸、渠壁的粗糙系数、渠道底坡及水深,即已知m、b、n、i、h0,求其输水能力Q。在这种情况下,可根据已知值求出ω、χ、R及C后,直接按公式(6.7)求出流量Q。例6.1如图6.6所示,有一梯形断面路基排水土渠,长1000m,底宽3m,正常水深h0=0.8m,边坡系数m=1.5,粗糙系数n=0.03,底坡i=0.0005,试验算渠道的输水能力和流速。解因渠道较长,断面规则、顺坡,故可按均匀流计算。由图示几何关系可得:2过水断面面积ω=(b+mh0)h0=(3+1.5×0.8)×0.8=3.36m22湿周χ=b+2h01+m=3+2×0.81+1.5=5.88mω3.36水力半径R===0.57mχ5.88谢才系数C按曼宁公式计算:11110.5C=R6=×(0.57)6=30.352m/sn0.03所以渠道输水能力为3Q=ω·C·Ri=3.36×30.3520.57×0.0005=1.72m/sQ1.72渠中流速为v===0.512m/sω3.362)决定渠道底坡设计新渠时要求确定渠道的底坡。一般是已知渠道断面形状及尺寸、粗糙系数,通过的流·161· 水力学量或流速,求所需的渠道的底坡。这类问题的解法与第一类问题相似,即由已知的参数依次计算ω、χ、R、C和K,然后按公式(6.7)求i,即2Qi=2(6.14)K例6.2某钢筋混凝土矩形渠道(n=0.014),全长为l=880m,通过流量为Q=25.63m/s,过水断面宽b=5.1m,水深h0=3.08m,求该渠道的底坡及流速。解由公式(6.14)可直接求得底坡i,为此先计算流量模数K,K=ω·CR,式中谢才系数C按曼宁公式计算。ω5.1×3.08水力半径R===1.395mχ5.1+2×3.0811110.5谢才系数C=R6=×(1.395)6=75.5m/sn0.014流量模数K=ω·CR=35.1×3.08×75.51.395=1400.73m/s故渠道底坡为:2222i=Q/K=25.6/1400.73=0.000334渠中流速为:Q25.6v===1.63m/sω5.1×3.083)确定渠道断面尺寸已知设计流量Q,底坡i,边坡系数m及粗糙系数n,要设计一条新渠,则求出渠道断面尺寸b和h0。可见,这类问题的未知量有两个,利用式(6.9)求解时,可选出许多组能满足(6.9)式的b和h,因此必须结合工程技术和经济要求,再附加一个条件才能得到惟一的解。一般工程中有以下三种情况:1)由工程要求或地形选定b值,求相应的水深h0。直接解方程(6.9)往往太繁,所以常用试算法,即先假定若干个水深h0值,计算得若干个K值,作h0～K曲线,再由已知K值在曲线上查得相应的h0值,即为所求的水深(图6.7)。图6.7例6.3有一梯形渠道,用大块石干砌护面(n=0.02)。已知底宽b=5.70m,边坡系数m3=1.5,底坡i=0.0015,需要通过的流量Q=18m/s。试决定此渠道的正常水深h0(C按曼宁公式计算)。解由已知流量Q、底坡i计算K·162· 第6章明渠恒定流3K=Q/i=18/0.00015=464.76m/s而111ω2/3K=ω·CR=ω(·R6)R2=Rnn式中ω=(b+mh0)h0=(5.7+1.5h0)h022χ=b+2h01+m=5.7+2h01+1.5图6.8R=ωχω2/3假定不同的h0值,按K=·R计算K,计算结果列表如下:n22/33-1h0/mω/mχ/mR/mRK/m·s1.20910.0270.8980.931418.951.259.46910.2080.9280.950450.321.279.65810.2800.9420.961463.921.2759.70610.2980.9430.962466.673作K=f(h)曲线如图6.8,可见K=464.76m/s时,h0=1.27m。2)设渠中水深h0为已知,求底宽b。这类问题的解法,与上述(1)类似,仅仅是用b值代替h0而已。3)给定宽深比β,求相应的b和h0。2这类问题可根据给定m值,按水力最优断面的宽深比β=b/h0=2(1+m-m)计算,或直接查表6.1得β值,然后和上题类似,先计算Q/i=K值。设定若干个h0值(或b值),作h0～K曲线(或b～K曲线)。从已得的K,即可求出h0=(或b)值。再求b=βh0(或h0=b/β),渠道断面便可确定。例6.4一梯形引水渠道,经过粘土地区,若取定m=1.0,粗糙系数n=0.020,底坡i=30.0004,要求通过流量Q=1m/s,求水力最优断面的尺寸。又,根据土壤要求的最大容许流速vmax=0.75m/s,最小容许流速vmin=0.4m/s,该最优断面能否达到要求?解已知梯形断面的边坡系数m=1,需要确定满足水力最优断面的底宽b和水深h0。由表6.1查得β=b/h0=0.83即b=0.83h02ω=(b+mh0)h0=(0.83h0+h0)h0=1.83h0由式(6.11)知,水力最优时R=0.5h0212/31/2所以流量Q=ω·CRi=1.83h0·(R)i=n21h02/311.83h20··()·i=n2·163· 水力学21h02/318/31.83h0××()×(0.0004)2=1.15h00.0223又,已知Q=1.0m/s,代入上式,得13/8h0=()=0.95m1.15b=0.83h0=0.83×0.95=0.78m故所求最优过水断面尺寸为h0=0.95m,b=0.78m断面平均流速Q1v==2=0.61m/sω1.83×0.95vmin=0.4m/s0);而在下支ES则随水深h的增大而减小(<0),因此与上、下dhdh两支曲线相应的水流的特性是不同的。当ES=ESmin时水流状态是缓流与急流之间的临界状态,称为临界流,相应的水深就是临界水深hK,相应的流速称为临界流速vΚ。当明渠中通过某一流量时,如果实际水深h大于临界水深hK,则其比能函数对应于比能曲线的上支,水流状态为缓流,断面平均流速vvK。因此,临界水深是判别水流缓、急状态的一个重要的特性水深。例6.6有一棱柱形渠道,其过水断面形状是梯形,底宽b=12m,边坡系数m=1.5,流量·167· 水力学3Q=18m/s,求临界水深。解本题可利用公式(6.26)求解hK。对于梯形断面有ω=(b+mh)hB=b+2mh33当m及b一定时,ω/B=f(h)。现先假定h=0.4m,0.5m,0.6m,0.7m,计算相应的ω/B值,3计算结果列入表6.5中,再根据表中数值,绘制h～ω/B关系曲线。当h=0.4m时,2ω=(b+mh)h=(12+1.5×0.4)×0.4=5.04mB=b+2mb=12+2×1.5×0.4=13.2m33ω5.045==9.1mB13.23其余类推,计算结果见表6.5,由此即可得h～ω/B关系曲线(图6.13)。表6.5h/m0.40.50.60.72ω/m5.046.387.749.14B/m13.2013.5013.8014.1035ω/B/m9.7019.2433.6054.15图6.13图6.143Q=18m/s,取α=1,因而323ωKαQ1×185===33.06mBKg9.8由此值在图6.13中查得hK=0.596m。3例6.7一矩形断面渠道,流量Q=30m/s,底宽b=8m。试计算最小断面单位能和临界水深。3322Q30解取α=1.0,hK=2=2=1.13mgb9.8×8Q30vK===3.3m/shK·b1.13×8·168· 第6章明渠恒定流22αvK3.3Esmin=hK+=1.13+=1.69m2g19.66.4临界底坡、陡坡、缓坡由6.2节知道,在断面形状、尺寸和渠壁粗糙度一定的棱柱形渠道中,通过某一流量为Q并作均匀流动的水流时,正常水深h0的大小取决于渠底底坡i。当正常水深恰好等于临界水深时,所对应的渠道底坡称为临界底坡,以iK表示。即:当i=iK时,渠道中的均匀流又是临界流。所以,临界底坡iK可通过联解均匀流基本方程及临界水深的计算式求得。即因为Q=ωKCRKiK23αQωK=gBK式中下标K表示临界流的有关值。2QgχK所以iK=22=2·(6.28)ωKCKRKαCKBK对宽浅的矩形断面,χK≈BK,则giK=2(6.29)α·CK由式(6.28)看出,临界底坡iK与断面形状,尺寸,流量及粗糙度有关,与渠道的底坡i无关,它只是为了分析明渠水流运动而引入的一个概念。当渠道底坡小于某一流量下的临界底坡,即ihK,此时渠底坡度称为缓坡,渠中均匀流为缓流;若i>iK,则h0iK=0.00526,故渠道在Q=0.98m/s时为陡坡渠道。·170· 第6章明渠恒定流6.5明渠非均匀流的急流、缓流的判别准则缓流与急流的判别在明渠流的分析和计算中,具有重要意义,除了可用临界水深或断面单位能的变化趋势作为判别外,还可用一个更简便的判别准则———佛汝德数Fr(Froudenum-ber)来判别。将式(6.25)改写成2222dESαQα(Q/ω)αvαv=1-3B=1-=1-=1-=1-Fr(6.30)dhgωg(ω/B)ωghgΒ22ωαvαv式中h=为过水断面上的平均水深;Fr=是一个无量纲数,称为佛汝德数。由Fr=Bghgh2αv1=2··,可见,佛汝德数等于水流的流速水头与平均水深之比的两倍。这说明:Fr值2ghdES大,则反映动能较大;Fr小,则势能较大。若Fr<1,由式(6.30)得>0,则水流为缓流;若dhdESdESFr>1,由式(6.30)得<0,则水流为急流;若Fr=1,则=0,ES=ESmin,为临界流。所dhdh以,综合反映水流流速和水深大小的佛汝德数Fr可以作为判别明渠水流是急流还是缓流的标准。Fr判别准则既适用于明渠均匀流,也适用于明渠非均匀流。为了对缓流、急流、临界流的特征及其判别有清晰的概念,特将其归纳于表6.6中。表6.6均缓、急流缓流临界流急流匀判别指标流断面单位能或dESdESdES非dESdh>0dh=0dh<0均变化率dh匀流水深h(或h0)h>hKh=hKh1均匀流底坡iiK例6.9有一浆砌石矩形断面渠道,已知:粗糙系数n=0.017,底坡i=0.0003,底宽b=35m,当渠中均匀流的正常水深h0=1.85m时通过流量为Q=10m/s,试分别用临界水深,佛汝德数及临界坡度来判别渠中均匀流是急流还是缓流?解对于矩形断面渠道有①临界水深3322αQ1×10hK=2=2=0.74mgb9.8×5因为h0=1.85m>hK,故渠中均匀流为缓流。·171· 水力学②佛汝德数(矩形断面h=h)22αvαvFr==(a)ghgh式中:h=h0=1.85mQQ10v====1.08m/sωbh05×1.85将h、v代入(a)式中得22αv1×1.08Fr===0.064<1gh9.8×1.85因为Fr<1,所以渠中均匀流为缓流。③临界底坡gχKiK=2·αCKBK式中BK=b=5m2ωK=bhK=5×0.74=3.7mχK=b+2hK=5+2×0.74=6.48mωKRK==0.57mχK11111C662K=·RK=×(0.57)=53.56m/sn0.0179.86.48所以iK=2×=0.00441×53.565i=0.00030时,水dsdh深沿程增加,水面线称为壅水曲线;<0时,水深沿程减小,水面线称为降水曲线。ds用正常水深线N-N及临界水深线K-K可将渠底上部空间划分为三个区间,分别称为a区、b区和c区,如图6.17所示。若水面曲线以其所在的区间命名,则明渠渐变流水面曲线的类型共有12种,即a1型、b1型、c1型,⋯⋯(图6.18)。现分述如下:(1)顺坡(i>0)渠道在顺坡渠道中有下面三种情况:·173· 水力学图6.171)缓坡,ihK见图6.18(a)。正常水深线和临界水深线把渠底以上的空间划分的三个区域记为a1、b1、c1。根据水面线位于不同的区域,可分为三种不同的水面线:位于a区的水面线,其水深大于正常水深和临界水深,即h>h0>hK。在式(6.32)中,因dh为h>hK,Fr<1,1-Fr>0;又h>h0,J0,所以>0,水深沿程增加,水面线称为dsa1型壅水曲线。从式(6.32)还可以分析a1型水面线两端的趋势:该水面线的上游水深逐渐减小,最后趋dh近于h0,即hh0,Ji,0,渐变流水面线与均匀流水面线衔接;下游水深h逐渐增dsdh大,当h∞,J0,Fr0,i,单位流程上的水深增加等于渠底高程降低,水面ds线趋近于水平线。所以a1型水面线的一端以正常水深线N-N为渐近线,另一端以水平线为渐近线。在缓坡渠道上修建闸、坝等挡水建筑物时,都可能在其上游出现a1型水面曲线(图6.18(a))。位于b1区的水面线,水深小于正常水深,而大于临界水深,即h0>h>hK。在(6.32)式dh中,h>hK,Fr<1,1-Fr>0;hi,i-J<0,所以<0,水深沿程减小,称为b1型降水ds曲线。其上游水深逐渐增大,当hh0时,渐变流水面线以N-N线为渐近线与均匀流衔接;dh下游水游逐渐减小,当hhK时,Fr1,于是-∞,水面曲线下游端垂直于K-Kds线,说明在这局部的区域里,水面线的曲率很大,水流已经不是渐变流,而是急变流了,整个曲线变化的趋势如图6.18(a)所示。位于c1区的水面线,水深既小于正常水深,又小于临界水深,即hi,i-J<0,h1,1-Fr<0,所以>0,水面线称为c1型壅水曲线。ds在缓坡渠道上闸门部分开启时,若闸门后水深小于临界水深,形成急流,在流动过程中由于阻力作用,流速减小,水深增加,即形成c1型水面线(图6.18(a))。c1型水面线的下游水深以hKdh为界限,当hhK时,Fr1,∞,水面垂直于K-K线,此处水流已不是渐变流了。ds2)陡坡i>iK,h0hK>h0),b2区(hK>h>h0)和c2区(hK>h0>h)。经分析,a2、c2型水面曲线均是水深沿程增加,形状上凸的壅水曲线(图6.18(b))。a2型水面线的上游端与K-K线垂直,下游端以水平线为渐近线。c2型水面曲线的上游端由具体条件决定,下游端以N-N线为渐近线。b2型水面曲线是形状下凹的降水曲线,其上游端与K-K线垂直,下游端以N-N线为渐近线(图6.18(b))。在陡坡渠道中筑坝,若坝前水深h>hK,则上游形成的就a2型水面线;在陡坡渠道上的闸门部分开启时,若闸门开度小于正常水深,则在闸门下游形成c2型水面线;水流从陡坡渠道流入另一段渠底抬高的陡坡渠道时,在上游渠道上将形成a2型壅水曲线,在下游陡坡渠道上将形成b2型降水曲线(图6.18(b))。3)临界坡(i=iK)因为h0=hK,N-N线与K-K线重合,可认为b区为零,只有a区和c区,记为a3区(h>h0=hK)和c3区(hhK)和c0区(hhK降到hhK,经过K-K线时,水深急剧增大,称为水跃现象(见图6.23)。例6.10一棱柱形渠道(图6.19)底宽b为10m,边坡系数m为1.5,n为0.022,i为·176· 第6章明渠恒定流30.0009,当通过流量Q为45m/s时,渠道末端水深h为3.4m。试判别渠中水面曲线属于哪种类型。图6.19解为了绘出N-N及K-K线,需分别求出正常水深h0和临界水深hk。①计算h015/3-2/31/2Qn5/3-2/3因为Q=ω·χ·i或=ω·χni式中ω=(b+mh0)h0=(10+1.5h0)h022χ=b+21+mh0=10+21+1.5h045×0.0225/3-2/3所以=[(10+1.5h0)h0]×(10+3.61h0)0.0009经试算解得h0=1.96m②求hK取α=1,由式(6.26)有233QωK[(10+1.5hK)hK]==gBK10+2×1.5hK2345[(10+1.5hK)hK]即=9.810+3hK经试算求得hK=1.2m因为h0=1.96m>hK=1.2m,故渠道属缓坡渠道,又因渠末水深h>h0>hK,故水面曲线属于a1型壅水曲线(如图6.19)。例6.11有一矩形断面长直棱柱形渠道,底宽2m,在1-1断面处由上游渠底坡度i1=0.001变成为下游渠底坡度i2=0.0025,如图6.20所示。已知粗糙度n=0.015,通过流量Q3=5m/s,试定性分析坡度变化对水面线的影响。图6.20解先计算hK及h0,从而判别渠道底坡的陡、缓性质:·177· 水力学Q53渠内单宽流量q===2.5m/s·mb2临界水深按(6.27)式计算,令α=1.03322q2.5hK===0.862mg9.8正常水深由下式计算15/3-2/31/2Q=·ω·χ·i(a)n其中ω=h0b=2h0χ=b+2h0=2(1+h0)所以i1=0.001时,由(a)式有5/3Q·n(2h0)=2/3i1(2+2h0)5/32(h0)即2.372=2/3(1+h0)试算得:h01=1.63m>hK,故i1hK,故i2h02。棱柱形、顺坡、长直渠道中,如无构筑物的干扰,渠中恒定水流便为均匀流。现在某断面处渠道底坡发生变化,因而在该处前、后一流段内均匀流被破坏而变为非均匀流。非均匀流的水深由h01变为h020)。为确定渠道是缓坡还是陡坡,需先求正常水深h0:3K=Q/i=50/0.0002=3535.534m/s5/3ω-2/3又K=ωcR=χ=n15/32-2/3×[(10+1.5h0)h0]×(10+2h01+1.5)0.025经试算解得h0=3.4m。再求临界水深hK由公式(6.26)233αQωK[(b+mhK)hK]==gBKb+2mhK·179· 水力学图6.213ωK当m及b一定时,=f(hK)。代入已知数据,经试算求得hK=1.28m。BK因为hKh0,所以渠道中水面线为a1型壅水曲线。在图中标出N-N线(图6.21)。②水面曲线计算将自渠末控制断面到上游h=h0处的水流分段:设各段起始断面的水深分别为5.5m,5.4m,5.2m,5.0m,4.8m,4.6m,4.4m,4.2m,4.0m,3.8m,3.6m,3.4m。应用式(6.37)自控制段面开始,向上游依次计算每一流段的长度Δsi。然后再根据已知的渠道长度s=15000m,求渠首的水深h首。第一段:两端水深为h1=5.5m,h2=5.4m,则2ω1=(10+1.5×5.5)×5.5=100.375m2ω2=(10+1.5×5.4)×5.4=97.74m2χ1=10+2×5.51+1.5=29.83m2χ2=10+2×5.41+1.5=29.47mω1100.375R1===3.365mχ129.83ω297.74R2===3.317mχ229.471111C661=R1=×(3.365)=48.97n0.0251111C2=R16=×(3.317)6=48.85n0.025Q50v1===0.498m/sω1100.375Q50v2===0.512m/sω197.74·180· 第6章明渠恒定流·181· 水力学22v10.498-52=2=3.07×10C1R148.97×3.36522v20.512-52=2=3.30×10C2R248.85×3.317221v1v21-5-5J=(2+2)=×(3.07+3.30)×10=3.185×102R1C1R2C2222αv10.498=1×=0.012652g19.622αv20.512=1×=0.013382g19.6ES2-ES1(5.5+0.01265)-(5.4+0.01338)所以Δs1==-5=590mi-J0.0002-3.185×10用同样的方法依次计算其余各流段,各段的计算结果列于表6.7中。③求s=15km处的水深h首根据表6.7所列的计算结果,用内插法求S=15000m的水深h首,由比例关系3.8-3.6h首-3.6=16498-1311916498-15000求得h首=3.69m6.8跌水和水跃(1)跌水明渠中的缓流,由于渠底坡度突然变为陡坡(i>iK)或下游明渠断面形状突然改变,水面突然跌落,水流通过这个突变的断面时,水深降到临界水深之后,水流转变为急流。这种从缓流向急流过渡的局部水力现象称为跌水,如图6.22所示。以图6.22(a)所示明渠中的缓流在A处有一跌坎为例来说明跌水现象。由于A处有跌坎,这意味着突然减少跌坎下游水流的阻力,在重力作用下,水流作加速运动,水深不断减小,当水深降至hhc″,尾水淹没了收缩断面,称为淹没式水跃。图6.26上面所述的溢流坝下游水跃位置的判别方法,对闸孔或其他形式的泄水构筑亦同样适用。图6.26是平底闸孔下游三种水跃衔接形式的示意图,图6.27是变坡处发生水跃的示意图。·185· 水力学4)水跃长度、水跃的能量损失图6.27水跃长度是设计水工构筑物中消能段长度以及有关河段应加固的长短的主要依据之一,由于水跃运动复杂,目前水跃长度仍只是用经验公式来估算。对于平底矩形断面棱柱形渠道的水跃长度可用以下几个公式计算:①吴持恭公式-0.16lj=10(h″-h′)Fr1(6.45)②Elevototorski公式lj=6.9(h″-h′)(6.46)水跃区内水流的冲刷力较大,该区的渠底必须加固,以防发生冲刷破坏。水跃之后的一定距离(l0)内,冲刷仍然比较厉害。因此,渠段加固长度l应包括水跃长度li及跃后段长度l0,即l=lj+l0其中l0=(2.5～3.0)lj(6.47)如前所述,水跃是由急流过渡到缓流的一种水力现象。由于水跃的运动要素变化得很剧烈,水跃主流区的水流沿纵向急剧扩散,表面漩滚的水体剧烈旋转和紊动,以及漩滚区和主流区之间频繁的动量交换,加剧了水跃区内水流质点的摩擦和碰撞,使跃前断面水流的部分动能在水跃区中转化为热能而损失掉。计算跃前和跃后断面的能量差即可求得水跃的能量损失。以图6.28所示平底矩形明渠为例,以渠底为基准面,对跃前和跃后两断面列出能量方程,则水跃区单位重量液体的能图6.28量损失Δhω为22α1v1α2v2Δhω=H1-H2=(h′+)-(h″+)(6.48)2g2g利用式(6.42),并没α1=α2=α,可能223α1v1αq1hKh″=2=2=(h′+h″)2g2gh2h′4h′223α2v2αq1hKh′=2=2=(h′+h″)2g2gh″2h″4h″将以上两式代入式(6.48),化简后得3(h″-h′)Δhω=(6.49)4h′h″·186· 第6章明渠恒定流上式为矩形断面明渠中水跃水头损失的计算式。由于设α1=α2,故用(6.49)式计算的水头损失比实际水跃中的水头损失稍大些。由式(6.49)可知,在流量一定时,水跃愈高,即(h″-h′)愈大,则水跃中的水头损失Δhω亦愈大。例6.14某矩形断面水渠在水平底板上设平板闸门,当局部开启时,通过流量Q=320.4m/s,出闸后水深h1=0.62m,闸门下游水面宽度b=5.0m。试求:①设在闸后水深h1处发生水跃,求跃后水深h″;②计算水跃长度;③求水跃中的水头损失。解①跃后水深h″(取α=1.0)Q20.43单宽流量q===4.08m/s·mb53322q4.08临界水深hK===1.19m,h1=0.62miK,则A-A断面处发生跌水,所以hA=hK。由矩形断面临界水深计算公32q式hK=解得单宽流量g333q=ghK=9.8×3.44=20m/s·m②判断水跃位置因为i2>iK,i3h0=4m,故产生远驱式水跃,水跃位置在B-B断面的下游。跃前必产生c1型壅水曲线。若能计算出c1型水面曲线的长度l,即可以确定水跃的位置。用h″=h0=4m,计算出跃前水深h′:22h″q420h′=(1+83-1)=(1+8×3-1)=2.94m2gh″29.8×4由此可知c1型水面曲线的起始水深为hB=1m,末端水深为h′=2.94m。若已知b、n、i等ES-ES21值,可根据水面曲线计算的公式l=求出c1线的长度,从而可定出水跃发生的位置。i-J水跃段长度可由公式(6.45)计算lj=6.9(h″-h′)=6.9(4-2.94)=7.31m③计算B-B断面及下游均匀流断面比能,取α=1.0。B-B断面:q20vB===20m/shB1.022vB20ESB=hB+=1+=21.41m2g2×9.8渠段Ⅲ均匀流断面v0=q/h0=20/4=5m/s22v05ES0=h0+=4+=5.28m2g2×9.8在忽略B-B断面与下游均匀流断面间的渠底高差的条件下,此流段内消耗的水头为Δhω=ESB-ES0=21.41-5.28=16.13m=0.75ESB④渠道水面曲线示意图渠道中Ⅰ、Ⅲ段为缓坡渠道,渠中水深大于临界水深,水流为缓流。Ⅱ渠段为陡坡渠道,渠中无构筑物,水流为急流,渠中正常水深小于临界水深。水流从缓流过渡到急流将产生跌水,A-A断面上游的非均匀流段为b1型水面曲线,它与上游均匀流水面线N1-N1衔接。在A-A·188· 第6章明渠恒定流断面处水流通过K-K线进入陡坡渠段Ⅱ,形成b2型水面曲线,其下游逐渐趋近于N2-N2线。水流通过B-B断面后,形成c1型水面曲线,产生远驱水跃与Ⅲ段渠道下游均匀流衔接(图6.30)。图6.30(3)明渠水流的水面线衔接在工程实际问题中,渠道中可能有坝、闸孔等构筑物或一较长渠道用数段不同的底坡分段修建。这些构筑构干扰了水流运动,使得在其前后一流段内水面线发生了变化。因此,要了解整个渠道的水面线;就必须讨论构筑物前、后的水流与渠道上、下游水流相互衔接的问题。前面所讨论的跌水及水跃就是水流衔接问题中的一种。下面着重讨论棱柱形长直渠道中,上、下游为均匀流、中间某断面处底坡有变化,在变坡断面前后为非均匀流时,这段非均匀流与上、下游均匀流的衔接问题。图6.31在分析变坡渠道中,上、下游水面线衔接时,首先需要根据渠道已知条件,绘出各段渠道的正常水深线N-N和临界水深线K-K,然后根据渠道上、下游的已知水深判定水深沿程的变化趋势。例如图6.31所示渠道,设i1和i2均为顺坡,i2h01,非均匀流是壅水。因为壅水曲线只能发生在a区,所以,变坡断面的水深只能为h02,即:在第一渠段上发生a1型壅水曲线,在变坡断面处与第二渠段的均匀流N2-N2线衔接,如图6.31(a)所示。若两段渠道的底坡为i1iK)两种底坡连接。当进口闸门部分开启(eiK,则K-K线在N-N线之上,如图所示。图6.33图6.34因闸门的开启高度ehK,水流呈缓流,形成b0型降水曲线。该曲线在变坡断面处与K-K线相交。第二段渠道中以b2型降水曲线与均匀流水面相衔接,如图6.34所示。思考题6.1什么是水力最优断面?6.2试解释明渠水流中的“急流”与“缓流”,并说明判别它们的方法有哪些?6.3何谓临界底坡,缓坡及陡坡?试导出过水断面形状、尺寸及粗糙系数均一定的明渠中临界底坡的计算式。6.4断面单位能Es与单位重量液体的机械能(水头)E有何区别?6.5非均匀流有哪些特点?产生明渠非均匀流的原因是什么?6.6佛汝德数Fr有什么物理意义?怎样应用它判别水流的状态(缓流或急流)?6.7在明渠非均匀流中,急流是否一定发生在陡坡渠道上?缓流是否一定发生在缓坡渠道上?习题36.1渠道均匀流动。已知设计流量Q=10m/s,要求正常水深h0必须保持1.4m,边坡系数m=1.5,渠道修建在正常粘土上,最大允许断面平均流速vmax=1.4m/s,渠底及边坡未经·190· 第6章明渠恒定流加固,求此渠道所需之底宽b及底坡i。6.2某渠道断面为矩形,按水力最优断面设计,底宽b=8m,渠壁用石料砌成(n=130.028),底坡i=,试校核能否通过均匀流设计流量Q=20m/s。800036.3梯形断面渠道,通过流量Q=85m/s,i=0.0015,n=0.020,m=1.0,试按水力最优断面设计断面尺寸。6.4某水渠上拟建渡槽一座,初步确定采用钢丝网水泥喷浆薄壳渡槽,表面用水泥灰浆抹面(n=0.013),断面为U形,底部半圆直径d=2.5m,上部接垂直侧墙高0.8m(包括超高30.3m)。均匀流设计流量Q=5.5m/s,试求渡槽底坡。6.5梯形断面渠道,底宽b=6m,底坡i=0.0005,边坡系数m=2.0,粗糙系数n=0.025。试计算均匀流水深为2.5m时的流量及断面平均流速。36.6梯形断面渠道,流量Q=10m/s,底宽b=5m,边坡系数m=1.0,粗糙系数n=0.02,底坡i=0.0004。求均匀流时的水深为多少?题6.4图题6.8图36.7流量为1.0m/s的梯形断面渠道,底宽b=1.5m,边坡系数n=1.0,粗糙系数n=0.03。当按最大不冲流速vmax=0.8m/s设计时,求正常水深及底坡各为多少?36.8某渠道横断面如图所示。若底坡i=0.0004,流量Q=0.55m/s,中心处水深h=0.9m,求谢才系数C。36.9若矩形断面渠道宽b=2.4m,底坡i=0.0025,通过流量Q=8.5m/s,谢才系数C1=51m2/s,求正常水深h。6.10有一梯形断面路基排水土渠,长1000m,底宽3m,设计水深为0.8m,边坡系数m=1.5,底部落差为0.5m,试验算渠道的过水能力和断面平均流速。6.11一钢筋混凝土矩形输水渡槽,底宽5.1m,水深3.08m,粗糙系数n=0.014,设计流3量为25.6m/s,试求渠底坡度和流速。36.12有一梯形渠道,已知Q=2m/s,i=0.0016,m=1.5,n=0.020,若允许流速vmax=1.0m/s,试确定此渠道的断面尺寸。36.13已知梯形渠道底宽b=1.5m,边坡系数m=1.0,当流量Q=1.0m/s时,测得水深h0=0.86m。底坡i=0.0006,试求渠道的粗糙系数n。36.14已知一梯形渠道的设计流量Q=0.5m/s,b=0.5m,h0=0.82m,m=1.5,n=0.025,试设计此渠道所需要的底坡i。6.15在题6.9中,当b、i及C值不变,而通过流量比原设计流量减少一半时,问水深h减少多少?36.16一矩形断面的污水沟渠,宽b=1m,n=0.019,输水量Q=0.80m/s,沟中水深定为·191· 水力学h0=0.75m,试计算所需底坡,并校核沟中流速v是否大于最小允许不淤流速vmin=0.8m/s。36.17设计流量Q=10m/s的矩形渠道,i=0.0001,采用一般混凝土护面(n=0.014),试按水力最优断面设计渠宽b和水深h。6.18直径为0.8m的表面较粗糙的混凝土排水管(n=0.017),底坡为0.015,试问当管中从充满度α=h/d=0.3增加到α=0.6时,通过管中的流量增加多少。6.19直径为1.2m的无压排水管,管壁为表面较粗糙的混凝土(n=0.017),底坡i=30.008,求通过流量Q=2.25m/s时管内的水深。36.20梯形渠道,底宽3m,边坡系数m=2,流量Q=8m/s,求临界水深。36.21某梯形断面平坡渠道,底宽b=10m,边坡系数m=1.5,流量Q=50m/s,试绘出断面单位能曲线,并在曲线上查出临界水深。6.22试推证矩形断面的明渠均匀流在临界流状态下,水深与流速水头(即单位重量液体的动能)的关系。36.23一矩形渠道,断面宽度b=5m,通过流量Q=17.25m/s,求此渠道水流的临界水深hk(α=1.0)。36.24矩形断面渠道,底宽2m,通过流量为2.4m/s,当断面单位能为2m时可能有哪两个水深?36.25图示渠道断面,当Q=3m/s时,求临界水深hk。36.26梯形断面渠道,已知流量Q为45m/s,底宽b=10m,边坡系数m为1.5,粗糙系数n=0.022,底坡i=0.0009。求临界底坡ik,并判别渠道底坡的陡、缓。题6.25图6.27某梯形渠道底宽b=1m,边坡系数m=1,底坡i=0.0055。试问在通过流量Q=130.98m/s,(设临界水深时的谢才系数CR=47m2/s)时该渠道为陡坡或缓坡。6.28一条长直的矩形渠道,宽度b=5m,渠道的粗糙系数n=0.02,正常水深h0=2m3时,通过流量Q=40m/s。试分别用临界水深hk、佛汝德数Fr及临界底坡ik判明该明渠水流的缓、急状态。36.29梯形断面土渠,b=12m,m=1.5,n=0.025,Q=18m/s,底坡i=0.002。判别均匀流的急、缓,并问渠道是陡坡还是缓坡。36.30梯形断面渠道,b=2.5m,n=0.0014,Q=3.5m/s,渠中某一断面水深为0.8m,试判别该断面水流的缓、急状态。若i=0.006,问渠道是缓坡还是陡坡渠道。6.31梯形断面渠道,已知底宽b=10m,边坡系数m=1.5,水深h=5m,流量Q=3300m/s。试用佛汝德数判别流态。36.32有一陡坡渠道,如图所示,通过流量Q=3.5m/s,长度l=10m,沿程的过水断面均为矩形,断面宽b=2m,粗糙系数n=0.020,渠底坡度i2=0.30。要求按分段求和法计算并绘出该陡坡渠道的水面曲线。36.33有一矩形断面平底渠道,底宽b=0.3m,渠中流量为Q=0.6m/s,已知在某处发生水跃,跃前水深为0.3m,试求:(1)跃后水深;(2)水跃的长度;(3)水跃中的能量损失。36.34闸门下游矩形渠道中发生水跃,已知b=6m,Q=12.5m/s,出闸后水深h1=0.298m,设在闸后水深h1处发生水跃,求跃后水深h"、水跃的长度lj和水跃中所消耗的能量。·192· 第6章明渠恒定流题6.32图题6.35图6.35某灌溉渠道,因地形变化采用两种底坡连接。已知i110H时,堰顶水流的沿程水头损失已不能忽略,水流特性不再属于堰流,而属于明渠水流了。图7.2上述三种堰流,除由于堰坎存在,水流产生竖直方向的收缩外,当堰口宽b小于上游渠道宽B时(图7.1(c)),堰顶水流还将出现横向收缩,因而堰顶上水流有效过水宽度小于堰宽,并使水头损失增大,堰的过流能力有所降低,这种堰称为有侧收缩堰;反之为无侧收缩堰。水流从堰顶流出,继而进入下游渠道。当下游水位高于堰顶时,对堰的过流能力可能产生障碍作用。当下游水位较高,以致影响堰的过流能力时,称堰的出流为淹没出流,否则,称为自由出流。研究堰流的目的在于探讨过堰水流的流量与堰上水头,堰顶形状及过水宽度等因素的关系。从而解决工程中有关的水力计算问题。7.2堰流的水力计算公式以图7.3所示矩形堰口薄壁堰堰流为例,应用能量方程来推导无侧收缩、自由出流堰流的水力计算公式。以通过堰坝的水平面为基准面,对堰前断面0-0至中心点与堰顶同高的堰顶断面1-1列出能量方程。其中,堰前断面的测压管水头为H;断面1-1的流线较弯曲,故断面上各点的测压管水头不是常数,设其平均测压管水头为(p1/γ)m,则有·196· 第7章堰流22αov0p1v1H+=()m+(α1+ζ)2gγ2g式中,v0和v1为断面0-0和断面1-1的平均流速;α0和α1是相应断面的动能修正系数,ζ是局部阻力系数。2α0v0令H0=H+称为堰前总水头2g1φ=为堰流流速系数图7.3α1+ζp则v1=φ2g[H0-()m]γ设堰顶的过水宽度为b;断面1-1的厚度用kH0表示,k为反映堰顶水流竖向收缩的系数,则断面1-1的过水面积应为ω=kH0b。又令(p1/γ)m=ξΗ0,则通过流量为3/2Q=kH0bv1=kH0bφ1-ξ2gH0=φkb1-ξ2gH0令m=kφ1-ξ(7.1)m称为堰流的流量系数,则上式整理为3/2Q=mb2gH0(7.2)式(7.2)即为矩形堰口、无侧收缩、自由出流的堰流水力计算的基本公式。由该式可知,过堰的流量与堰前总水头的3/2次方成正比,与堰口的过水宽度成线性正比。流量系数m值与反映水股竖向收缩程度的k值,反映水头损失的φ值和反映堰顶断面的平均压强水头与堰前总水头之间的比例系数ξ值有关,即m=f(φ、k、ξ)。显然,所有这些k、φ、ξ值都是随堰流的几何边界条件而改变的。上述分析方法及所得流量公式对薄壁堰、实顶堰和宽顶堰都是适用的,只是不同几何形状的堰,有不同的流量系数m值。2α0v0在实际应用中,为了便于根据直接测出的水头H来计算流量,可将行近流速水头的2g影响纳入到流量系数中考虑,则式(7.2)可写成为3/2Q=m0b2gH(7.3)2α0v03/2式中m0=m(1+)为计及行近流速水头的堰流量系数。2g下面进一步讨论淹没出流及侧收缩对各种类型的堰的过流能力的影响。(1)薄壁堰薄壁堰堰流的流量与堰上水头有稳定的关系,常用于实验室或野外的流量量测。常用的薄壁堰,堰顶溢流的断面(称为堰口)常作成矩形、三角形或梯形,分别称为矩形薄壁堰、三角形薄壁堰或梯形薄壁堰。1)矩形薄壁堰实验表明:无侧收缩、自由出流时,矩形薄壁堰水流最为稳定,测量精度也较高。图7.3是根据实测数据绘出的无侧收缩,非淹没的矩形薄壁堰自由出流的水舌形状。无侧收缩自由出流的矩形薄壁堰其流量若按公式(7.3)计算,即·197· 水力学3/2Q=m0b2gH相应的流量系数m0可采用巴赞(Bazin)经验公式计算:0.0027H2m0=(0.405+)[1+0.55()](7.4)HH+P0.0027式中H和P以米计。其中项反映表面张力的作用;方括号项反映行近流速水头的影H响。此式适用范围为H=0.1～0.6m,堰宽b=0.2～2.0m及H≤2P(P为上游堰高)的情况。当堰的过水宽度b小于上游渠宽B时,堰顶水流将出现横向收缩,使水流有效宽度小于实际堰宽b,堰的过水能力有所降低。有侧收缩的薄壁堰流量系数m0可用巴赞公式计算0.0027B-bH2b2m0=[0.405+-0.03][1+0.55()()](7.5)HBH+PB为了保证堰为自由出流,首先应满足:①堰前水头不能过小(一般H>3cm)。否则在表面张力的作用下,溢流水舌将紧贴堰壁下游面流下,即所谓贴附溢流(见图7.4(a)),贴附溢流的流量比同样水头下自由溢流的流量大,但出流不稳定。②水舌下面的空间应与大气相通。否则该区域内空气被水舌卷吸抽去,水舌下面将形成局部真空,使pP′条件下,如果上、下游水位高差Z很大,则水舌具有很大动能,容易把下游水体推开一段距离,发生远驱水跃,临近堰壁的下游处,水深仍小于堰顶,则发生自由出流。试验表明,薄壁堰发生淹没出流的充分条件是:同时满足下列两条件图7.5图7.6h下>P′及z/P′<0.7·198· 第7章堰流薄壁堰淹没出流的流量Q′可按下式近似计算H2n0.385Q′=Q[1-()](7.6)H1式中:Q表示堰前水头为H1时的自由出流流量;H2是下游水位高出堰顶的高度(见图7.5);n为指数,对于矩形堰n=3/2,对于三角堰n=5/2。2)直角三角形薄壁堰3当所需测量的流量较小,如Q<0.1m/s时,采用矩形薄壁堰则因水头过小,测量水头的相对误差增大,一般改用直角三角形薄壁堰,其计算公式为5/2Q=C0H式中:C0为三角堰的流量系数。当H=0.05～0.25m时,可用下列公式计算2.47Q=0.0154Hl/s式中H———水头,以厘米计。(2)实顶堰实用堰是水利工程中用来挡水同时又能泄水的建筑物,它的剖面形式是随着生产的发展而不断改进的。如采用不便加工成曲线的条石或其他当地材料修建的中、低溢流堰,堰顶剖面常作成折线形,称为折线形实用堰(图7.7(a)、(b))。如用混凝土修筑的中、高溢流堰,堰顶制成适合水流情况的曲线形,称为曲线型实用堰(图7.7(c)、(d))。图7.7曲线型实用堰又可分为非真空堰和真空堰两类。如果堰的剖面曲线基本上与薄壁堰的水舌下缘外形相符,水流作用在堰面上的压强仍近似为大气压强,称为非真空堰(图7.7(c))。若堰的剖面曲线低于薄壁堰的水舌的下缘,溢流水舌局部地脱离堰面,脱离处的空气被水流带走而形成真空区,这种堰称为真空堰(图7.7(d))。真空堰由于堰面上真空区的存在,与管嘴的水力性质相似,增加了堰的过流能力,即增大了流量系数。但是,由于真空区的存在,水流不稳定而引起水工构筑物的振动,且易使堰面发生空蚀破坏。为了防止这种情况发生,多将实用堰剖面外形稍稍伸入薄壁堰溢流水舌下缘以内,如图7.7(c)所示。实用堰的流量计算公式,可按分析薄壁堰的方法得出与式(7.2)相同的形式。若同时考虑·199· 水力学侧收缩和淹没出流的影响,可将(7.2)式右边乘以系数ε≤1及σ≤1,便得堰流流量计算的普遍公式3/2Q=εσmb2gH0(7.7)式中:ε为侧收缩系数,当无侧收缩时ε=1.0,当有侧收缩时ε<1.0并可用下式计算H0ε=1-α(7.8)b+H0其中,α为考虑坝墩头部形状影响的系数,矩形坝墩α=0.20,半圆形或尖形坝墩α=0.11,流线形尖墩α=0.06(图7.8)。图7.8图7.9σ为淹没系数,当自由出流时σ=1.0,当淹没出流时σ<1.0,其值与H2/H(见图7.9)有关,可根据表7.1查得。实用堰形成淹没出流的条件与薄壁堰相同。表7.1H2/HσH2/HσH2/HσH2/Hσ0.050.9970.520.930.740.8310.920.5700.100.9950.540.9250.760.8140.930.5400.150.9900.560.9190.780.7960.940.5060.200.9850.580.9130.800.7760.950.4700.250.9800.600.9060.820.7500.960.4210.300.9720.60.8970.840.7240.970.3570.360.9640.640.8880.860.6950.980.2740.400.9570.660.8790.880.6630.990.1700.460.9450.700.8560.900.6210.9950.100.500.9350.720.8440.910.5961.000.00(3)宽顶堰水利工程中,宽顶堰溢流的现象和形式是很常见的。如进水闸,不论有底坎或无坎(平底),其水流均属宽顶堰溢流;流经隧洞、涵管进口、小桥孔及施工围堰的水流等,水流流经这些构筑物时,因断面变小,流速增大,自由水面发生降落,在2.5<δ/Η<10范围内,具有宽顶堰的水力性质。1)流量公式及流量系数对堰前断面0-0至堰顶上收缩断面C-C(图7.10)的水流应用能量方程和连续条件按照前述方法可推导出宽顶堰流量公式为式(7.2)。将侧收缩及淹没出流的影响纳入公式中便得式(7.9):·200· 第7章堰流(7.9)式中,B为堰顶过水宽度。宽顶堰的流量系数m取决于堰的进口形式和堰的相对高度P/H,可按下列经验公式进行计算:堰坎进口为直角形(图7.11(a))图7.10m=0.32+0.013-P/H0.46+0.75P/H(7.10)图7.11堰坎进口为圆弧形(图7.11(b))3-P/Hm=0.36+0.01(7.11)P1.20+1.50H由以上两式可知,当P/H=3时,m为最小值;当P=0时,m=0.385,为最大值。m值的范围对于直角进口为m=0.32～0.385,当P/H>3时,m=0.32;对圆弧形进口为m=0.36～0.385,当P/H>3时,m=0.36。2)淹没出流条件及淹没系数σ由实验得知:宽顶堰的淹没条件为H2≥0.8H0(7.12)式中,H0为堰前水头,H2为下游水面高出堰顶的高度(图7.12)图7.12图7.13宽顶堰的淹没系数σ值主要随相对淹没度H2/H的增大而减小,可查表7.2。表7.2宽顶堰的淹没系数σH20.800.810.820.830.840.850.860.870.880.89H0σ1.000.9950.990.980.970.960.950.930.900.87H20.900.910.920.930.940.950.960.970.98H0σ0.840.820.780.740.700.640.590.500.40·201· 水力学3)侧收缩系数ε可按以下经验公式计算ε值:34Hbbε=1-α0·(1-)(7.13)0.2H+PBB式中,α0为堰的边墩或中墩的形状系数,矩形墩α0=0.19,圆形墩α0=0.1;b为溢流孔净宽;B为上游引渠宽;P为上游堰顶高(如图7.13)。例7.1有一矩形无侧收缩薄壁堰。已知堰宽B=0.5m,上、下游堰高P=P′=0.5m,堰前水头H=0.2m,求下游水深分别为h下=0.4m及h下=0.6m时通过薄壁堰的流量。解①求h下=0.4m时的流量因h下P′,下游水面高于堰顶。又上下游水位差z=P+H-h下=0.5+0.2-0.6=0.1mz0.1==0.2<0.7P′0.5满足薄壁堰淹没出流的两个条件,故为淹没出流。薄壁堰淹没出流的流量Q′可按式(7.6)计算H2n0.385Q′=Q[1-()]H1式中:n=1.5;H2=h下-P′=0.6-0.5=0.1m;H1=H=0.2m;Q为堰前水头H1=H=30.2m时的自由出流流量,即Q=0.0866m/s。所以0.11.50.3853Q′=0.0866[1-()]=0.0732m/s0.2例7.2一直角进口无侧收缩宽顶堰,堰宽b=3.0m,堰坎高P=P′=0.38m,堰前水头H=0.6m。求当下游水深分别为0.6m及0.9m时通过此堰的流量。解①求流量系数m因为P/H=0.38/0.6=0.633<3,所以流量系数m由式(7.10)计算:3-P/Hm=0.32+0.01×=0.3450.46+0.75P/H因为流量待求,行近流速v0和堰前总水头H0均为未知,故需要试算。②第一次近似计算:先假设不计行近流速水头并取α=1,即设H01=H=0.6m,H2=h下-P′=0.6-0.38=0.22m,·202· 第7章堰流0.8H01=0.8×0.6=0.48m,因H2<0.8H01,故按自由出流计算,无侧收缩,ε=1.0。3/23/23Q1=mb2gH01=0.345×3.0×2×9.8×0.6=2.130m/sQ12.130v01===0.724m/sb(H+P)3(0.6+0.38)③第二次近似计算用v0=v01计算堰前总水头:22v010.724H02=H+=0.6+=0.627m2g19.6因H2<0.8H02=0.8×0.627=0.502m,故仍为自由出流,其流量为3/23/23Q2=mb2gH02=0.345×3.0×19.6×0.627=2.273m/s2.273v02==0.773m/s3(0.38+0.6)则应有22v020.773H03=H+=0.6+=0.630m2g19.6④第三次近似计算3/2Q3=0.345×319.6×0.63=2.291mQ3-Q22.291-2.273||=||=0.8%<5%Q32.2913满足精度要求,则当下游水深为0.6m时通过此堰的流量Q≈Q3=2.291m/s。⑤当下游水深h下=0.9m时,先假设堰上总水头H01=H=0.6m,此时H2=h下-P′=0.9-0.38=0.52m,H2>0.8H01,故为淹没出流。由H2/H01=0.87查表7.2,得σ1=0.93,第一次近似计算流量得3/23/23Q1=σ1mb2gH01=0.93×0.345×3.019.6×0.6=1.98m/sQ1.98v01===0.674m/sb(P+H)3(0.38+0.6)22v010.674H02=H+=0.6+=0.623m2g19.6第二次近似计算流量H2/H02=0.52/0.623=0.83>0.8,故为淹没出流,查表7-2得σ2=0.98,所以3/23Q2=0.98×0.345×3.019.6×0.623=2.208m/s2.208v02==0.751m/s3(0.38+0.6)22v020.751H03=H+=0.6+=0.629m2g19.6第三次近似计算流量H2/H03=0.52/0.629=0.83>0.8,为淹没出流,查表7.2得σ3=0.98,所以3/2Q3=0.98×345×3.019.6×0.629=2.24m·203· 水力学Q3-Q22.24-2.208||=||=1.4%<5%Q32.243故所求流量为Q≈Q3=2.24m/s。思考题7.1简述堰流的水力计算特点。7.2堰有几种类型,如何判别?7.3简述宽顶堰的水流特点。7.4宽顶堰实现淹没出流的充要条件是什么?7.5堰流流量计算公式是如何推导出来的?习题7.1一直角进口无侧收缩宽顶堰,宽度b=2m,堰高P=0.5m,堰前水头为1.8m,设为自由出流,求通过堰的流量。7.2一矩形进口宽顶堰,堰宽b=2m,堰高P=P′=1m,堰前水头H=2m,上游渠宽B=3m,边墩为矩形。下游水深h下=2.8m,求过堰流量(设行近流速v0可忽略不计)。7.3一无侧收缩矩形薄壁堰,堰宽b=0.5m,堰高P=P′=0.4m,堰前水头H=0.6m,下游水深h=0.6m,求通过的流量。7.4一圆角进口无侧收缩宽顶堰,堰高P=P′=3.5m,堰顶水头H限制为0.85m,通过3堰顶的流量Q=20m/s,求堰宽b及不发生淹没出流的下游最大水深。7.5直角三角形薄壁堰,堰前水头H=0.2m,求通过此堰的流量。若流量增加一倍,问水头变化如何?7.6图示潜水坝,厚度δ=2m,坝高P=P′=1m,上游水位高出坝顶0.6m,下游水位高出坝顶0.1m,求通过坝顶的单宽流量。7.7设有一取水闸,堰坎系矩形进口宽顶堰,坎高P=P′=1m,堰前水头H=2m,堰下游水深h下=1.0m,题7.6图堰宽b=2m,引水渠宽B=3m。求取水闸通过的流量。7.8在上题中,如果下游水深h下=2.8m,其他条件均不改变,问通过流量是多少,设v0可忽略不计。37.9有一曲线形滚水坝(流线型墩),已知堰上水头H=2.4m,流量Q=80m/s,自由出流,流量系数m=0.48,试求该滚水坝的宽度(设行近流速水头可忽略不计)。·204· 第8章地下水动力学基础8.1概述液体在孔隙介质中的流动称为渗流。水在土壤空隙和岩石裂缝中的流动,是渗流的一个重要部分,又称为地下水运动。水在土壤中的存在状态有几种不同的类型,以水蒸气的形式散逸于土壤空隙中的水称为气态水;由于分子力的作用而聚集于土壤颗粒周围,其厚度小于最小分子层厚度的水称为吸着水;厚度在分子作用半径以内的水层称为薄膜水;由于表面张力作用而聚集于土壤颗粒周围的水称为毛细水;当孔隙介质中含水量甚大,受重力作用而运动的水称为重力水。地下水动力学研究的主要对象是重力水的运动。渗流运动的特性与孔隙介质的粒径、级配、均匀性、排列情况以及孔隙的大小、形状及孔隙系数等因素密切相关。从渗流的角度可将土壤分为均质土壤与非均质土壤。均质土壤是指其渗透性质不随空间位置而变化的土壤,否则为非均质土壤。均质土壤又可分为各向同性的和非各向同性的土壤,均质各向同性的土壤是指其渗透性质与渗流方向无关的土壤,例如,均质砂土就是均质各向同性土壤,而黄土和各个方向上有不同裂缝的岩石就是均质非各向同性土壤。本章只研究均质各向同性土壤中的重力水的恒定流。在土木建筑工程中有许多问题都涉及到渗流运动。例如地下水水源利用,它涉及到水井和集水廊道等集水建筑物的设计、产水量的计算等问题;堰、坝、渠道侧坡的修建涉及构筑物的稳定性问题及渗漏损失问题,在土木建筑施工中涉及基坑排水、路基排水等问题。本章所讨论的内容有:渗流模型和渗流基本定律,地下水的均匀流与非均匀流,集水廊道和井的水力计算。8.2渗流基本定律(1)渗流模型天然土壤中的颗粒形状及粒径大小各不相同,颗粒间的孔隙形状、大小及分布无一定规则。水在孔隙中的渗流运动是很复杂的,按实际情况进行分析将十分困难。因此,在研究渗流运动时,人们将孔隙介质所占据的空间模型化,认为该空间内没有土壤的颗粒(骨架)存在,只·205· 水力学有水充满全部空间,并沿主流方向作为连续介质而运动,这个空间中所通过的流量、断面上的压力以及流动阻力(水头损失)均与实际渗流相等,这样的空间称为渗流理论的简化模型,或简称渗流模型。设ω是渗流模型的过水断面面积,Q为通过该过水断面的流量,则定义:v=Q/ω为渗流的断面平均流速。渗流模型的过水断面面积ω不等于真实渗流的过水断面面积ω′(ω′是孔隙介质断面上的孔隙面积),ω′<ω。因此,上述定义的渗流断面平均流速v的值比真实的渗流平均流速v′小。设n=ω′/ω并称为土壤的孔隙率,则v=nv′。各种土壤的孔隙率大致如表8.1所示。表8.1土壤种类粘土粉砂中粗混合砂均匀砂孔隙率0.45～0.550.40～0.500.35～0.400.30～0.40土壤种类细、中混合沙砾石砾石和砂砂岩孔隙率0.30～0.350.30～0.400.20～0.350.10～0.20(2)达西定律液体在孔隙介质中流动时,由于液体粘滞性的作用,必然有能量损失。早在1852～1855年,法国学者达西(H·Darcy)对砂质土壤进行了大量渗流实验研究,总结出渗流水头损失与渗流速度之间的基本关系,即渗流达西定律。达西实验装置如图8.1所示,一上端开口的直立圆筒,内装颗粒均匀的砂土,上部由供水管A供水,并用溢流管B以恒定水位,渗透过砂体的水通过底部滤水网C流入容器D,并由此测定渗透流量。在筒壁上接通两测压管相距l,以测量1-1和2-2断面上的渗透压强。由于达西实验中的渗流流速很小,渗流流态为层流,所以可以忽略流速水头,因此1-1和2-2断面的测压管水头差ΔΗ就是渗流在l长度的水头损失hω,从而水力坡度J为:J=hω/l=(h1-h2)/l(8.1)达西以不同尺寸的圆筒和不同类型的土壤进行了图8.1大量的实验,观测,发现在不同尺寸的圆筒和不同类型的土壤渗流中所通过的渗流流量Q与圆筒的横断面积ω和水力坡度J成正比,并与土壤的渗透性质有关。可以表示为:Q=kwJ(8.2)Q或v==kJ(8.3)w式中:k为反映土壤渗透性质的系数,称为渗流系数,其单位为速度的单位,v为渗流流速。式(8.3)称为渗流达西定律的表达式。渗流达西定律描述了当渗流流速很小时,渗流能量损失与渗流流速之间的基本关系,揭示了渗流层流的基本规律:渗流层流的断面平均流速与水·206· 第8章地下水动力学基础力坡度的一次方成正比。(3)渗流系数渗流系数是反映孔隙介质渗透特性综合指标的重要参数。渗流系数的大小主要取决于土壤颗粒的形状、大小、不均匀系数及水温等等。要精确测定渗流系数的数值较为困难,通常采用经验公式法、实验室测定法、现场观测法等多种方法测算渗流系数的概值。本书仅大概介绍实验室测定法和现场测定法。1)实验室测定法实验室测定法通常使用类似于达西渗流实验所采用的装置在实验室进行实验,测出Q,h1及h2,采用式(8.2)计算渗流系数。此法简便易测,若选取的土壤是实际的未扰动土壤,并有足够数量有代表性的土壤进行实验,其结果是可靠的。2)现场观测法在现场利用钻井或原有井作抽水或灌水试验,然后根据井的公式(在后面的小节中讨论)计算渗流系数k。这种方法是可靠的测定方法,且实用意义大,可以取得大面积平均渗流系数值,但经济耗费大。-1渗流系数k的量纲为〔LT〕,常用cm/s或m/d表示,其中d表示天。作近似计算时,可以采用表8.2给出的水在土壤中渗流系数的概值。表8.2渗透系数k土名m/dcm/s-6<0.005<6×10粘土-6-10.005～0.16×10～1×10-4-4轻亚粘土0.1～0.51×10～6×10-4-4黄土0.25～0.53×10～6×10-4-3粉砂0.5～1.06×10～1×10-3-3细砂1.0～5.01×10～6×10-3-2中砂5.0～20.06×10～2×10-2-2均质中砂35～504×10～6×10-2-2均质粗砂60～707×10～8×10-2-2圆砾50～1006×10～8×10-1-1卵石100～5001×10～6×10-1无填充物卵石500～10006×10～1×10-2-2稍有裂隙岩石20～602×10～7×10-2裂隙多的岩石>60>7×10(4)达西定律的适用范围和非线性渗流定律达西定律表明渗流的沿程水头损失与流速的一次方成正比,即水头损失与断面平均流速成线性关系。凡符合这种规律的渗流,称为层流渗流或线性渗流。达西渗流定律又称为线性·207· 水力学渗流定律。当渗流流速较大(如在重粗颗粒土壤中或堆石中的渗流)时,水头损失与流速之间不再呈线性关系,当流速达到一定数值后,水头损失与流速的平方成正比,这种渗流称为非线性渗流。土壤的渗透性质十分复杂,难以找到线性渗流与非线性渗流的确切的判别准则。有人建议直接引用土壤粒径,这种方法过于粗略,大多数人建议如同管渠流动一样采用雷诺数。这方面有多种研究成果。下面仅介绍两个实验研究成果。一种是直接采用雷诺数的通常表达式:vdRe=(8.4)ν式中v———渗流断面平均流速,以cm/s计;d———骨架或土壤的特征粒径,通常采用d10,即筛分时占10%的重量的土粒所通过的筛孔直径,以cm计;2ν———的运动粘滞系数,以cm/s计。一般可取Re≤1～10作为线性定律的上限值。另一种是考虑土壤孔隙率n的雷诺表达式:1vdRe=(8.5)0.75n+0.23ν当实际土壤的雷诺数Re<7～9,则为线性渗流。工程上所遇到的较多渗流问题属线性渗流,但渗水路堤,堆石坝等的渗流则不符合线性渗流定律。颗粒极细的粘土,能否运用渗流达西定律进行计算也尚待研究。1901年福希海梅(Forchheimer)提出渗流水头损失的一般表达式为:2J=au+bu(8.6)式中:a和b为待定系数,由实验测定。当b=0时,即为线性渗流定律,当渗流进入紊流阻尼平方区时,a=0,即水头损失与流速的平方成正比;若a和b都不等于零,则为一般的非线性渗流定律。一些实验结果表明,渗流紊流开始于Re=60～150,达西定律在Re≥1～10时已不适2用了。因此Re≈10～150间的层流区,也有bu项出现。本章仅限于讨论符合达西定律的渗流。8.3地下水的均匀流与非均匀流采用渗流模型研究,即认为地下水的运动是连续的,因此可以应用研究地表明渠水流的方法将渗流分为均匀渗流和非均匀渗流。服从达西定律的渗流具有某些地表明渠流所没有的特点。(1)恒定均匀流与渐变流流速分布1)均匀渗流在均匀渗流中,若视不透水层的顶坡为渠道的底坡,设其坡度为i,地下水水面线平行于2v渠底,服从线性律的渗流流速很小,因此可以略去流速水头不计,总水头线与测压管水头线2g重合。而地下水水面线就是测压管水头线。均匀渗流任一断面的测压管水头线坡度(或水力·208· 第8章地下水动力学基础坡度)都相同,因此有:J=Jp=i=常数(8.7)即各个断面水力坡度都等于底坡。均匀渗流每一过水断面上的压强分布都与静水压强分布相p同,即服从(z+)=常数,故在断面上各个点的水力坡度都相等。根据达西定律渗流流场中γ某点的渗流流速为:u=kJ=ki(8.8)即均匀渗流区域中任一点的渗流流速都相等。因此均匀渗流过水断面上的流速分布图为矩形,且断面上流速分布图沿程不变,全渗流区各点渗流流速相等,如图8.2所示。图8.2图8.32)渐变渗流如图8.3所示渐变渗流,任取相距为dL的过水断面1-1和2-2。在渐变渗流断面上压强分布近似服从静水压强的分布规律,因此,1-1断面上各点的测压管水头都是H1,断面2-2上各点的测压管水头均为H2。断面1-1与2-2之间任一流线的水头损失相同,为:dH=H2-H1又,由于渐变流流线间的夹角小,流线的曲率小,流线族几乎为平行直线,因此可以认为1-1和2-2断面间的所有流线长度均近似为dL,故过水断面上各点的水力坡度相等为:dHJ=-=常数dL根据达西定律,过水断面上各点的渗流流速u都相等,断面平均流速就等于点的渗流流速,即:v=u=kJ(8.9)该式称为裘皮幼公式。该公式表明:渐变渗流过水断面上各点的渗流流速相等,因而断面平均渗流流速等于断面上任一点的渗流流速,不同的过水断面上的流速不相等,因为水力坡度是沿程变化的。(2)渐变渗流基本方程下面讨论渐变渗流的水力要素沿程变化的规律。如图8.4所示无压恒定渐变渗流。不透水层顶坡为渗流底坡i,任取一过水断面1-1,其含水层水深为h,测压管水头为H,渠底距基准面的高度为z,则有:H=h+z该断面上各点的水力坡度为:dHd(h+z)J=-=-dLdL·209· 水力学dzdhdh=--=i-dLdLdL由于水深h沿程变化,因此,渐变渗流的不同断面具有不同的测压管水头线坡度。将测压管水头线坡度J的表达式代入裘皮幼公式(8.8)中可得断面平均渗流流速和通过该断面的渐变渗流流量:dhv=k(i-)dL图8.4dhQ=kw(i-)(8.10)dL式(8.9)为适用于各种底坡渐变渗流的基本微分方程,也是分析和绘制渐变渗流水面线(称为浸润曲线)的理论依据。(3)渐变渗流浸润曲线的类型无压渗流的地下水水面称为浸润面,在流动的纵剖面上它是一条曲线,称为浸润曲线。对于渐变渗流,当流速水头可忽略时,总水头线与测压管水头线相重合,浸润曲线既是测压管水头线又是总水头线。由于渗流流动过程中必然存在水头损失,总水头线总是沿程下降的,因此,浸润曲线也只能是沿程下降的,不可能是水平线,亦不可能沿程上升。前面已经得出渐变渗流微分方程,积分之,可得浸润曲线方程。在分析地表明渠水面曲线时,正常水深和临界水深起着重要的作用,这里沿用地表明渠流的概念,讨论渗流问题时将均匀渗流的水深h0称为正常水深;将不透水层顶坡作为渗流底坡,按其坡度是否大于零,依次分为顺坡渗流:i>0;平坡渗流:i=0;逆坡渗流:i<0。dh均均流的水深沿程不变:=0,决定均匀渗流水力要素的基本方程为:dLQ=kω0i(8.11)式中:ω0为相应于正常水深h0的过水断面面积ω0=bh0。由于可以略去流速水头,断面单位2αv能(比能)Es=h+实际上就近似等于水深h,因此就不存在临界水深、缓流、急流等概念,在2g分析浸润线时只需用实际水深与特征水深(正常水深)相比较,故渐变渗流浸润曲线类型及其位置的分区比地表明渠水面曲线少,在三种坡度情况下总共只有四种浸润曲线类型。下面分别对三种不同的坡度进行讨论。1)顺坡(i>0)渗流:均匀渗流只发生于顺坡。将式(8.10)中的渗流流量用式(8.11)代替可得:kω0i=kω(i-dh),由此可得出顺坡浸润曲线的微分方程为:dLdhw0h0=i(1-)=i(1-)(8.12)dLwh记正常水深线为N-N线,N-N线把渗流划分为(a)和(b)两个区域,如图(8.5)所示。dh(a)区:h>h0,ω>ω0,因此>0,即:浸润线为壅水曲线。在浸润线上游端,当h→h0时,dLdhdh有=0,浸润线以N-N线为渐近线,在曲线下游端,当h→∞时,→i,曲线以水平线为渐dLdL·210· 第8章地下水动力学基础近线。dh(b)区:h0,为顺坡渗流,又因h2>h1,故浸润曲线为顺坡壅水曲线。由顺坡渗流基本方程(8.11)·212· 第8章地下水动力学基础图8.9dhh0=i(1-)(a)dLhh式中h0为相应于均匀渗流的水深。令:=ηh0则:dh=h0dη代入(a)式中得:ηdηi=dLη-1h0等式两端同时积分:η2η+1-1iη2-1iL∫dη=L,得:η2-η1+ln=η1η-1h0η1-1h0改为常用对数表达式:iLη2-1=η2-η1+2.30lg(b)h0η1-1h1h2(b)式中:η1=,η2=h0h0h11h21.9由题给条件i=0.02,L=180m,η1==,η2==,代入(b)式后并化简得:h0h0h0h01.9-h01h0lg=(0.02×180-1.9+1.0)=1.1741.0-h02.3采用试算法解得:h0=0.945m。故每米长渠道所渗出的流量为:3q=kh0i=0.005×0.945×100×0.02=0.00945cm/s·cm为绘制浸润曲线,将i=0.02,h0=0.945m,h1=1m代入(b)式可得:h2h2-0.945L=47.25(-1.058+2.30lg)(c)0.9450.0548分别假设h2=1.2m,1.4m,1.7m,1.9m,(因为渗流总长只有180m,才可以这样计算。否则应该分段求和,特别是当曲线变化较快时,分段应取很短。)代入(c)式相应的L为80.6m,117.7m,156.7m,180m,连接这些坐标点,即可绘出浸润曲线如图8.9所示。·213· 水力学8.4集水廊道的渗流计算集水廊道是建造于无压含水层中用以集取地下水源或降低地下水位的集水建筑物。设一位于不透水层上的矩形断面集水廊道如图8.10所示,底坡i=0。廊道中不断抽水时,地下水流向廊道,水面沿程下降,在其两侧形成对称于廊道轴线的浸润曲面。刚开始抽水时,这种渗流属于非恒定流。若含水层很大,廊道很长,渗流持续一段时间后,可近似地形成无压渐变渗流,廊道中保持某一恒定水深h,两侧浸润曲线的形状位置基本不变,在所有垂直于廊道轴线的剖面上,渗流情况相同,可作为平面渗流问题讨论。图8.10取廊道右侧单位长度研究,设q为集水廊道单位长度上自一侧渗入的单宽流量,由式(8.9):dhQ=kω(i-)dLqdhq得:dL=-hdh或:=-kdLkhdhdz建立坐标系xoz如图8.10所示,x坐标与流向相反,故:=-,代入上式得渐变渗流的基dLdx本微分方程为:dzq=kzdx将该式分离变量并积分,代入边界条件:x=0时,z=h1,可得到集水廊道浸润曲线方程:222qz-h1=x(8.14)k可见,浸润曲线是抛物型曲线,当x越大,地下水位的降落就越小。设在x=L处,地下水位降落趋近于零,z等于含水层厚度H,L为集水廊道的影响范围,将这一边界条件代入式(8.14)中可得集水廊道单位长度上每侧的产水量公式为:22k(H-h1)q=(8.15)2LH-h式中,k与地质条件有关,由抽水试验决定。若引入浸润曲线的平均坡度:J=这一概念,L则式(8.15)可以改写为:kq=(H+h)J(8.16)2式(8.16)可用以估算q,J的数值可根据土壤性质确定,由表8.3选取。·214· 第8章地下水动力学基础表8.3浸润曲线的平均坡度土壤类别J值粗砂及冰川沉积土0.003～0.005砂土0.005～0.015微弱粘性砂土0.03亚粘土0.05～0.10粘土0.158.5单井的水力计算井在给水工程中是吸取地下水的建筑物,应用很广。从井中抽水可使井附近的天然地下水位降落,可起到排水或降低地下水位的作用,也可向井中输水,使地下水水位提高。根据水文地质条件,可将井分为潜水井和承压井两种基本类型。潜水井指在具有自由水面的潜水层中开凿的井,又称为无压井,若井底达不透水层,则称为完全井;若井底未达到不透水层,则称为不完全井;承压井指在两个不透水层之间的含水层中凿井,含水层压强大于大气压强,承压井又称为自流井。当地下水开采量较大,补给来源不足或者需要精确测定水文地质参数时,应按非恒定流考虑。但在地下水来源充沛,开采量远小于天然补给量的情况下,经一段时间抽水后,可按恒定流分析井的渗流情况。严格地讲,井的渗流属于三维渗流,求解是非常复杂的,但若忽略运动要素沿z轴方向的变化,并采用轴对称假设,即可采用一维渐变渗流的裘皮幼公式进行分析。(1)潜水井(无压井)具有自由水面的地下水称为无压地下水或潜水。在潜水中修建的井称为潜水井或无压井。井的断面通常为圆形,水由井壁渗入井中。如图8.11所示完全潜水井,井底为不透水层,含水层厚度为H,井的半径为r0。抽水时地下水从四周径向对称流入井内,形成对井中心垂直轴线对称的漏斗形浸润曲面。设抽水量不变地连续抽水,且含水层体积很大,抽水过程中不致使含水层厚度H有所改变,则流向水井的地下水渗流为恒定渗流,浸润面的位置不变,井中水深h也保持不变。流向水井的过水断面是一系列圆柱面,各径向剖面的渗流状况相同。图8.11可以运用裘皮幼公式计算断面平均流速。距井轴为r的过水断面,其高度为z,面积为dzdz2πrz,此圆柱面上各点的水力坡度皆为,故断面平均流速为:v=k,由Q=ωv得渗流流drdr·215· 水力学zrdzQdr量:Q=2πrzk,将该式分离变量,并从r0至r及h至z取定积分,即∫:zdz=∫由drhr02πkr此可求得完全潜水井的浸润曲线方程:22Qr0.732Qrz-h=ln=lg(8.17)πkr0kr0设在半径r=R的过水断面上,潜水水深z=H,即该处天然地下水位已不受井抽水影响,则距离R称为井的影响半径。将r=R时,z=H这一边界条件代入式(8.17)中可得:22k(H-h)Q=1.366(8.18)Rlgr0式(8.18)即为完全潜水井的产水量公式,称为裘皮幼产水量公式。对于一定的产水量Q,地下水面相应的最大降落深度为:S=H-h称为水位降深。从而有:22SH-h=(H+h)(H-h)=2H(1-)S2HS当H远大于S时,n1,可略去之,则(8.18)式可以简化为:2HkHSQ=2.73(8.19)Rlgr0式(8.19)表明:产水量Q与k、H及S成正比,而Q是随lgR而变化,故R值对Q的影响较小。一般,影响半径由抽水试验测定。在估算中,R值可按经验酌情选用:粗粒土壤R=700～1000m;中粗粒土壤R=250～700m;细粒土壤R=100～200m。也可以采用以下经验公式估算R值:R=3000Sk(8.20)式中:S、R以m计,k以m/s计。不完全井的产水量不仅来自井壁四周,而且还来自井底,其产水量公式一般由经验公式测定,此处不详述。例8.4一完全潜水井,井的半径r0=0.5m,含水层厚度H=8m,土壤的渗流系数k=0.0015m/s,抽水时井中水深h=5m,试估计井的产水量。解水位降深:S=H-h=8-5=3m由经验公式估算井的影响半径R的值:R=3000Sk=3000×3×0.0015=342.6m取影响半径R=350m,可求得井的产水量为:2222k(H-h)0.0015×(8-5)3Q=1.366=1.366×=0.028m/sR350lglgr00.5(2)自流井(承压井)如图8.12所示,含水层位于两不透水层之间,含水层的压强大于大气压强,这样的含水层称为承压含水层。凿井穿过上面的不透水层,从含水层中取水,这样的井称为自流井或承压·216· 第8章地下水动力学基础井。若井底直达下部不透水层的表面,则为完全自流井,图8.12所示为完全自流井。在本书中仅讨论一种最为简单的情况,即如图8.12所示,下面的不透水层水平,并且含水层厚度t为定值的完全自流井。未抽水时,在含水层压力作用下水深上升到H,H即为含水层的天然总水头,井中水面的延长面为地下水天然水头面,它高于t,若含水层压力较大,还有可能高出地面。若从井中抽水,井中水深由H降至h。若在上部不透水层钻若干小井作为测压管用,则可观测到抽水井外的测压管水头线沿渗流方向沿程下降,当抽水一段时间图8.12后,可近似地形成一个对称于井轴的漏斗形水头降落曲面。如图8.12所示。承压井渗流的过水断面为一系列高度为t的圆柱面,各径向剖面的渗流情况相同,除井周附近的区域外,测压管水头线的曲率很小,恒定抽水时,可作为恒定渐变渗流分析。dz对于半径为r的圆柱面过水断面,断面平均流速为:v=k,由Q=vω可得平坡渗流微分dr方程(或渗流流量公式):dzQ=wv=2πrtkdr式中z为半径等于r的过水断面的测压管水头。将上式分离变量,并从r0到r,h到z积分得:Qrz-h=0.366lg(8.21)ktr0式(8.21)即为自流井的测压管水头线方程。若同样引入影响半径的概念,当z=H时,r=R,(当r>R以后,测压管水头高度保持为H),可得:kt(H-h)ktsQ=2.73=2.73(8.22a)RRlglgr0r0RQlgr0或S=(8.22b)2.73kt影响半径R也可按照完全潜水井的方法确定。例8.5如图8.13所示,一完全自流井的半径r0=0.1m,含水层厚度t=5m,在离井中心r1=10m处钻一观测孔。在未抽水前,测得地下水的天然总水头3H=12m。现抽水流量Q=30m/h,井中水位降深S0=2m,观测孔中水位降深S1=1m,试求含水层的渗流系数k及影响半径R。解由题给条件知:S1=H-h1,所以h1=H-S1=12-1=11m,S0=H-h0,所以h0=10m,由式(8.20)图8.13·217· 水力学Qrz-h=0.366lgktr0将r=r1,z=h1,h=h0各条件代入得:3010h1-h0=0.366×lg=13600×k×50.1于是可解得渗流系数:k=0.00122m/skt(H-h)再由式(8.21):Q=2.73中解得影响半径R:Rlgr02.73kt(H-h)2.73×0.00122×5×(12-10)×3600lgR=+lgr0=+lg0.1Q30=3.997-1≈33所以影响半径:R=10=1000m。(3)大口井与基坑排水大口井是用以集取浅层地下水的一种井,井径较大,大致为2～10m或者更大,这种井类似于一个很大的坑。基坑排水与大口井集水相似,其计算方法基本相同。大口井可以是完全井,也可以是不完全井,但一般都是不完全井。井壁可以是透水的,也可以是不透水的。井底进水量往往很大,常为总产水量的主要部分。对于井壁与井底同时进水的大口井,其分析十分复杂。本章讨论假设井壁不透水,而只有井底进水的大口井的渗流。设有一大口井,井壁四周为不透水层,井底为半球形,紧接下层深度为无穷大的含水层。供水是由井底的渗流提供的。如图8.14所示。图8.14图8.152半球底大口井的渗流流线是径向的,过水断面为与井底同心的半球面,Q=ωv=2πr·dzk,分离变量积分:drrzdr∫Q2=2π∫kdzrrH-S0当r=R时,Z=H,且Rmr0,故得:Q=2πkr0S(8.23)·218· 第8章地下水动力学基础式(8.23)为半球底大口井的产水量公式。对于平底的大口井,其过水断面近似为椭圆,流线是双曲线,如图8.15所示。其产水量公式为:Q=4kr0S(8.24)式(8.23)和式(8.24)两式的计算结果相差甚大。当含水层比井的半径大8～10倍时,采用(8.23)式为好。8.6井群的水力计算井群是指多个井同时工作,井与井之间的距离小于一个井的影响半径的多个井的组合,如图8.16所示。抽水时,各井之间相互影响,渗流区地下水流比较复杂,其浸润面的形状也十分复杂,因此,井群的水力计算也比单井复杂得多。(1)完全潜水井井群的浸润曲面方程先讨论完全井渗流运动的连续性微分方程:将xoy坐标平面建立在渗流流场的不透水层上如图8.17所示,则浸润曲面的方程可表示为:z=f(x,y)。在渗流流场中自不透水层至浸润面取一底面积为dxdy的微小柱体,其高度为z,渗流通过该微小柱体的质量守恒。从adeh(ρQx)面流入柱体的质量流量为:ρQx=ρωxvx,从bcgf面流出柱体的质量流量为:ρQx+dx从x侧面abcd流入柱体的质量流量为:ρQy=ρωyvy图8.16图8.17(ρQy)从efgh面流出柱体的质量流量为:ρQy+dyy根据质量守恒定律得:(ρQx)(ρQy)(ρQx+dx-ρQx)+(ρQy+dy-ρQy)=0xy于是可得连续性微分方程为:(ρQx)(ρQy)dx+dy=0(8.25)xy此式对于完全潜水井及完全承压井均适用。·219· 水力学zQx=zdy·k·x对于完全潜水井,根据达西渗流定律有:zQy=zdx·ky将其代入式(8.25)中并考虑到在不可压缩流体条件下,ρ=常数,于是可得:2222(z)(z)2+2=0(8.26)xy2式(8.26)为完全潜水井浸润面z所应满足的微分方程。由该方程可知,式中z是满足线性方2程(即拉普拉斯方程)的函数,因此,函数f(z)=z可以叠加。即:当井群的所有井共同工作22时,所形成的z函数为井群中各井(记为第i个井)单独工作时的zi之和,即:2222z=z1+z2+⋯=∑Zi(8.27)i设井群中的第i个井的抽水量为Qi,井中水深为hi,井的半径为roi,由式(8.17)知:20.732Qiri2zi=lg+hi(8.28)kroi将上式代入式(8.27)中,得:nn220.732Qiri2z=∑zi=∑(lg+hi)(8.29)i=1i=1kroiQ0若各井产水量相同,即:Q1=Q2=⋯⋯=Qn=,Q0为n个井的总产水量,则:n20.732Q02z=〔lg(r1r2⋯⋯rn)-lg(r01r02⋯⋯ron)〕+∑hi(8.30)k设井群的影响半径为R,在影响半径上取一点A,A点距各井很远,即:r1≈r2≈⋯⋯rn=R,而z=H,代入式(8.30)中得:20.732Q2H=〔nlgR-lg(r01r02⋯⋯r0n〕+∑hi(8.31)k将式(8.30)与式(8.31)相减得:220.732Q01z=H-〔lgR-lg(r1r2⋯⋯rn)〕(8.32)kn式(8.32)为完全潜水井井群的浸润曲面方程。式中影响半径R可采用下式计算:R=575SHk(8.33)式中S———井群中心的水位降深,以m计;H———含水层厚度,以m计。(2)完全潜水井群产水量公式由式(8.32)完全潜水井井群的浸润曲面方程可以解得当各井产水量相等时完全潜水井群产水量公式为:221.366k(H-z)Q0=(8.34)1〔lgR-lg(r1r2⋯⋯rn)〕n(3)自流井井群的测压管水头方程用分析完全潜水井井群的方法去分析完全自流井井群,对于承压含水层的厚度t为常数的情况可得:·220· 第8章地下水动力学基础22zz2+2=0xy即:完全承压井的测压管水头函数z(x,y)满足拉普拉斯方程,具有可叠加性。于是,完全承压井井群的测压管水头方程为:n0.366Q01z=∑zi=H-〔lgR-lg(r1r2⋯⋯rn)〕(8.35)i=1ktn井群的产水量为:2.732kt(H-z)Q0=(8.36)1〔lgR-lgr1r2⋯⋯rn〕n因为第i个单自流井测压管水头方程为:0.366Qirizi-hi=lg(a)ktroi当z=H时,r=R,代入(a)式中得:0.366QiRH-hi=lg(b)ktroi将(a)、(b)两式相减可得单井的水头降深:0.366QiRSi=H-zi=lgktri当井群中各井抽水量相等时,总产水量Q0=nQi,则由(8.34)式得井群的水头降落:nn0.36610.366QiRS=H-z=nQi[lgR-lg(r1r2⋯rn)]=∑lg=∑Si(8.37)ktni=1ktrii=1式(8.37)说明自流井井群同时均匀地抽水时,任一点A的水头降落等于各井单独抽水时A点的水头降落之和。这就是自流井井群的水头降落叠加原理。例8.6一如图8.18所示的无压完全井井群,用以降低基坑中的地下水位。已知a=50m,b=20m,各井的抽水量相等,其总的抽水流量Q0=6l/s,各井的半径均为r0=0.2m,含水层厚度H=10m,土壤为粗砂,其渗流系数k=0.01cm/s,取影响半径R=800m,试求:B点和G点的地下水位降低值SB和SG。解总抽水量:3Q0=6l/s=0.006m/s对于G点:a2b2rA=rC=rF=rD=()+()=26.93m22rB=rE=10m对于B点:rA=rC=25m,rB=0.2m,图8.18rF=rD=30.02m,rE=20m由完全潜水井群的浸润线方程:22Q01z=H-0.732〔lgR-lg(r1r2r3r4r5r6)〕kn可得G点:·221· 水力学220.006142z=10-0.732〔lg800-lg(26.93·10)〕0.000160.006=100-0.732×〔2.90-1.28〕=100-71.15=28.850.0001z=5.37m因此G点水位降SB=H-z=10-5.37=4.63m对于B点:20.006122z2=10-0.732〔lg800-lg(25·0.2·30.02·20)〕0.000162=10-43.92〔2.9-1.06〕=19.13z=4.37因此B点的水位降深:SB=H-z=10-4.37=5.63m思考题8.1什么是渗流模型?为什么要引入这一概念?8.2渗流流速指的是什么?它与真实渗流的流速有什么区别?8.3试比较达西渗流定律的表达式与裘皮幼公式有何异同?各自的应用条件是什么?8.4影响渗流系数的因素有哪些?8.5地表上棱柱形渠道的水面曲线有12条,为什么渐变渗流的浸润曲线只有4条?它们都是些什么类型?8.6何为潜水层?何为自流层?8.7什么是完全井与不完全井?8.8影响潜水井渗流流量的主要因素有哪些?影响自流井渗流流量的主要因素有哪些?8.9什么是大口井?8.10什么是井的影响半径?自流井有没有影响的半径?8.11什么是井群?8.12如何求完全承压井井群的水头面方程?习题8.1在实验室中,根据达西渗流定律测定某土壤的渗流系数时,将土壤装在直径D=20cm的圆筒中,在40cm的水头差作用下,经过一昼夜测得渗透水量为15l,两测压管间的距离为30cm,试求:该土壤的渗流系数k。8.2圆柱形滤水器,其直径d=1.2m,滤层高1.2m,渗流系数k=0.01cm/s,求H=0.6m时的渗流流量Q。8.3已知渐变流浸润曲线在某一过水断面上的坡度为0.005,渗流系数为0.004cm/s,·222· 第8章地下水动力学基础求过水断面上的点渗流流速及断面平均渗流流速。8.4厚度t=15m的承压含水层,有两个观测井,距离l=200m,测得观测井1中水位为64.22m,观测井2中的水位为63.44m,如图所示。含水层由粗砂组成,已知渗流系数k=45m/d,试求该含水层单位宽度(每米)的渗流量q。8.5如图所示两水池A、B,中间为一水平不透水层上的砂壤土山丘,已知A池水位为15m,B池水位为10m,不透水层高程为5m,砂壤土的渗流系数k=0.0005cm/s,两水池间的距离l=题8.2500m,试求:1)单宽流量q;2)浸润曲线坐标y=f(x)。题8.4图题8.5图8.6为了查明地下水储藏情况,在含水层土壤中相距S=500m处打两钻孔1和2,测得两个钻孔中水深分别为h1=3m,h2=2m,不透水层的底坡i=0.0025,渗流系数k=0.005cm/s,试求:1)渗流单宽流量q;2)两钻孔中间断面C-C处的地下水深度hc。8.7一水平不透水层上的渗流层,宽800m,渗流系数为0.003m/s,在沿渗流方向相距1000m的两个观测井中,分别测得水深为8m及6m,求渗流流量Q。题8.6图8.8如图所示不透水层上的排水廊道,已知:垂直于低面方向长100m,廊道中水深h0=2m,天然含水层水深H=4m,土壤的渗流系数k=0.001cm/s,廊道的影响半径R=200m。试求:1)廊道的排水流量Q;2)距廊道100m处C点的地下水深hc。8.9在公路沿线建造一条排水明沟(如图)以降低地下水位。含水层厚度H为1.2m,土壤渗流系数k为0.012cm/s,浸润曲线的平均坡度J为0.03,沟长L为100m,试求从两侧流向排水明沟的流量,并绘制浸润曲线。8.10某工地以潜水为给水水源,钻探测知含水层为沙夹卵石层,含水层厚度H=6m,渗流系数k=0.0012m/s,现打一完全井,井的半径r0=0.15m,影响半径R=300m,求井中水位·223· 水力学题8.8图题8.9图降深S=3m时的产水量。8.11完全潜水井,直径为80cm,含水层厚为6m,渗流系数k=3.6cm/min,井中水位降落为2m,水位恒定,要求抽水量。38.12在潜水井中进行抽水试验。测得恒定的产水量为92m/h,在距井轴8m处设观测井,测得水位降深为58cm。距井轴25m处设观测井,测得水位降深为46cm,并测得未抽水前潜水层厚度为12.60m,试确定含水层渗流系数k。8.13承压井的现场测定,井半径为20cm,距井30m和10m处各设有一个观测孔,孔中水位降落分别为20cm和42cm,含水层厚度为6m,井中水位为34.8m,Q=24m/h,H=9m,要求渗流系数k和井壁内外水位差。8.14完全自流井中h3时,则有(n-3)个指数需用其他指数值的函数来表示。将所求得的各αi值,代回式(9.3)即可得诸因素间的函数关系式。例9.1由第四章讨论知,流动有两种形态:层流和紊流,流态相互转变时的流速称临界流速。实验表明,恒定有压管流的下临界流速υc与管径d,液体密度ρ,动力粘性系数μ有关。试用量纲分析法求出它们的函数关系。解按瑞利法解本题。首先将关系式写成指数关系:αααυc=kd1ρ2μ3其中k为无量纲量。-1-3-1-1各量的量纲分别为:dimυc=LT,dimd=L,dimρ=ML,dimμ=MLT。将上式指数方程写成量纲方程:-1α-3α-1-1αLT=(L)1(ML)2(MLT)3则有·228· 第9章量纲分析和相似原理L:1=α1-3α2-α3T:-1=-α3M:0=α2+α3解得α3=1,α2=-1,α1=-1。将各指数代入原式,得μνυc=k=kρdd若将上式化为无量纲形式,有υcdk=ν式中无量纲数k称临界雷诺数,以Rec表示,即υcdRec=ν根据雷诺实验,该值在恒定有压管流动中为2000,可以用来判别层流和紊流。例9.2根据观察,实验与理论分析,认为圆管流动中管壁切应力τ0与液体的密度ρ,动力粘性系数μ,断面平均流速υ,管径d及管壁粗糙凸出高度Δ有关。试用瑞利法求τ0的表达式。解根据上述影响因素,将关系式写成指数关系:ααααατ0=kρ1μ2υ3d4Δ5其中k为无量纲数。写出量纲关系式为-1-2-3α-1-1α-1αααMLT=(ML)1(MLT)2(LT)3L4L5则有:M:1=α1+α2L:-1=-3α1-α2+α3+α4+α5T:-2=-α2-α3这是5个未知数3个方程的方程组,以α1,α5为待定指数,分别求出α2,α3,α4为α2=1-α1,α3=1+α1,α4=-1+α1-α5因此α1-α1+α-1+α-αατ0=kρ1μ1υ1d15Δ5ρυ·dαμΔα2=k()1()()5ρυμρυ·ddρυ·d其中k,α1,α5可取任何数值都不会影响上式的量纲和谐性。极易证明为无量纲量,水力μ学中称为雷诺数,记为Re,则5α-1Δα2Δ2τ10=k(Re)()ρυ=f(Re,)ρυddΔλλ2令f(Re,)=,式中λ为沿程阻力系数,由实验确定。所以τ0=ρυ。d88从以上二例可知,在独立影响因素不多余3时,用瑞利法很易求得表达某一物理过程的方程。反之,则出现待定指数,分析起来较为困难。此种情况下可采用π定理方法。(2)π定理π定理是量纲分析更为普遍的定理。π定理指出·229· 水力学任何一个物理过程,如果包含有n个物理量x1,x2,⋯,xn,则这个物理过程可用一完整的函数关系表示为f(x1,x2,⋯,xn)=0(9.5)其中m个物理量在量纲上是互相独立的,其余(n-m)个物理量是非独立的,则此物理过程可用(n-m)个无量纲数π表示的函数关系来描述,即F(π1,π2,⋯,πn-m)=0(9.6)因无量纲数是以符号π表示,所以称之为π定理。π定理在1915年由布金汉首先提出,又称为布金汉π定理。现在介绍应用π定理建立一物理过程的物理方程的步骤:①确定影响某一物理过程的物理量,并写成式(9.5)。②从n个物理量中选取m个在量纲上互相独立的物理量,称为基本物理量。对于不可压缩流体的运动,m一般为3。在实践中,常分别选几何学的量(如管径d、水头H等),运动学的量(如速度v、加速度a等)和动力学的量(如密度ρ、动力粘性系数μ等)各一个,作为独立物理量。③三个基本物理量依次与其余物理量组合成一个无量纲的π数,这样一共可写出(n-3)个π项:αβγπ1=x11x21x31x4αβγπ2222=x1x2x3x5⋯⋯⋯⋯⋯αβγπn-3n-3n-3n-3=x1x2x3xn式中αi,βi,γi为各π项的待定指数。④每个π项是无量纲数,可根据量纲和谐原理,求出各π项的指数αi,βi,γi。⑤写出描述此物理过程的无量纲关系式F(π1,π2,⋯,πn-3)=0例9.3用π定理求解例9.2中τ0的表达式。解①拟定函数关系式f(τ0,ρ,μ,υ,d,Δ)=0②从各物理量中选取d(几何量),υ(运动量),ρ(动力量)为基本物理量。③写出n-3=6-3=3个无量纲π项:αβγπ1=d1υ1ρ1τ0(1)αβγπ2222=dυρμ(2)αβγπ3=d3υ3ρ3Δ(3)④根据量纲和谐原理,各π项的指数分别确定如下:对(1)式,其量纲式为α-1β-3γ-1-2dimπ1111=L(LT)(ML)(MLT)则:L:0=α1+β1-3γ1-1T:0=-β1-2M:0=γ1+1联立以上三式求解得α1=0,β1=-2,γ1=-1。则可得到-1-2π1=τ0ρυ·230· 第9章量纲分析和相似原理同理,求得-1-1-1-1π2=μdυρ=(Re)-1π3=Δd⑤将各π项代入式(9.6)得无量纲数方程为τ01ΔF(2,,)=0ρυRedτ0Δ或写成2=f1(Re,)ρυdΔλ令f1(Re,)=,则d8λ2τ0=ρυ8量纲分析法在水力学研究中很有用处。但量纲分析毕竟是一种数学分析方法,有一定的局限性。它要求正确选择与物理过程有关的影响因素,正确选择基本物理量应具有独立的量纲等,最后在确定函数关系式的具体形式时,还必须依靠理论分析和实验的成果。9.3流动相似的概念模型实验的结果能够应用于原型的重要条件是,模型与原型应保证流动相似,即两个流动的对应点上所有表征流动状况的同名物理量之间(如速度、压强、各种力)相互平行,并都维持各自的固定比例关系,则这两个流动是相似的。这要求两个流动应满足几何相似、运动相似和动力相似以及初始条件和边界条件的相似。在下面的讨论中,原型(prototype)中的物理量标以下标p,模型(model)中的物理量标以下标m。(1)几何相似几何相似是指原型和模型两个流场的几何形状相似。要求两个流场中所有相应长度都维持一定的比例关系,对应角度相等。即lpλl=(9.7)lmθp=θm(9.8)式中lp和θp代表原型某一部位的长度和某两线段的夹角;lm和θm代表模型相应部位的长度和相应两线段的夹角;而λl称为长度比尺。几何相似的结果必然使任何两个相应的面积ω和体积V也都维持一定的比例关系,即ωp2λω==λl(9.9)ωmVp3λV==λl(9.10)Vm由上可知,长度比尺λl是几何相似的基本比尺,其他比尺均可通过长度比尺λl来表示。λl视实验场地与实验要求不同而取不同的值,在水工模型实验中,通常λl在10与100范围内取值。·231· 水力学(2)运动相似运动相似是指原型和模型两个流场对应点上同名的运动学量成比例,指原型和模型两个流动的空间对应点(包括边界上的点)处,质点流动在相应瞬间的速度和加速度分别方向相同,大小维持一定的比例。tpλt=(9.11)tmυpupλlλυ=λu===(9.12)υmumλtapλlλa==2(9.13)amλt式中λt称为时间比尺,λv或λu称为流速比尺,λa称为加速度比尺。(3)动力相似动力相似是指原型和模型两个流场对应点上各同名作用力方向分别相互平行,大小维持一定的比例关系。所谓同名作用力是指具有同一物理性质的力。作用在液体上的力通常有重I力G,粘性力Fμ,压力P,弹性力FE,表面张力Fσ,惯性力F等。两个流动动力相似,力的比尺λF为IGpFμpPpFEpFσpFpλF======I(9.14)GmFμmPmFEmFσmFm(4)边界条件相似与初始条件相似边界条件相似是指原型和模型两个流场的边界性质相同。边界条件可分为几何的、运动的和动力的几个方面,例如,原型中为固体边壁,模型中也应为固体边壁,原型中液面为自由液面,模型中液面也应为自由液面。对于非恒定流动,原型和模型两个流场还应满足初始条件相似。但在恒定流中,初始条件则失去实际意义。初始条件和边界条件的相似是保证两流动相似的必要条件。9.4相似准则几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据,动力相似是决定两个流动运动相似的主导因素,运动相似是几何相似和动力相似的表现,在几何相似的前提下,要保证流动相似,则要实现动力相似。作用于液体上的重力、粘性力、压力、弹性力、表面张力等总是企图改变液体的流动状态,而惯性力却企图维持液体原有运动状态。液体运动的变化和发展就是惯性力和其他各种作用力相互作用的结果。I设作用在液体上外力的合力为F,液体质量为m,产生的加速度为a,惯性力为F=-ma,则由动力相似有:I22FpFpmpapρpVpap322ρplpυpλF==I===λρλlλa=λρλlλυ=22(9.15)FmFmmmamρmVmamρmlmυm也可写为·232· 第9章量纲分析和相似原理FpFm22=22(9.16)ρplpυpρmlmυmF式中22为一无量纲数,称为牛顿数。以Ne表示。即ρlυFNe=22(9.17)ρlυ式(9.16)可用牛顿数表示为(Ne)p=(Ne)m(9.18)上式表明,两个流动的动力相似,必须两个流动各相应处的牛顿数相等。这是流动相似的重要标志和判据,也称为牛顿相似准则。式(9.16)亦可写成λF22=1λρλlλυλFλFλl/λυλFλt式中22=3=λρλlλυλρλlλυλmλυ即λFλt=1(9.19)λmλυλFλt式中λm是原型和模型流动的质量比尺。称为相似判据。它和牛顿数一样,是用来判别相λmλυ似现象的重要标志。所以得出结论:对动力相似的流动,其相似判据为1,或相似流动的牛顿数相等。要使流动完全满足牛顿相似准则———两个流动的牛顿数相等,就要求作用在相应点上各种同名力均有同一的力的比尺。但由于各种力的性质不同,影响它们的物理因素不同,实际上很难做到这一点。在某一具体流动中占主导地位的力往往只有一种,因此模型实验中只要让这种力满足相似条件即可。这种相似虽是近似的,但实践证明,由此得到的结果也是令人满意的。下面分别介绍只考虑一种主要作用力的相似准则。(1)重力相似准则重力是液流现象中最常遇到的一种作用力,凡有自由液面并且允许液面上下自由变动的各种流动,如明渠流动,堰坝溢流,闸孔出流等都是重力起主要作用的流动。根据式(9.15),力的比尺λF可写为322GpρplpgpρplpυpλF==3=22Gmρmlmgmρmlmυm22υpυm化简后得=gplpgmlm开方后有υpυm=(9.20)gplpgmlm式中υ/gl为一无量纲数,称佛汝德(Froude)数,以Fr表示。即υFr=(9.21)gl·233· 水力学它表征了惯性力与重力的对比关系。式(9.20)用佛汝德数表示为(Fr)p=(Fr)m(9.22)上式表明,若作用在液体上的外力主要是重力,要使两个流动动力相似,必须两个流动相应处的佛汝德数相等,称为重力相似准则或称为佛汝德相似准则。式(9.20)也可写成比尺形式有2λυ=1(9.23)λgλl(2)粘滞力相似准则管道中的有压流动、污水处理池中的流动及潜体绕流问题等,主要是受水流阻力作用。重力对这种流动的机理不起作用,阻力又主要与粘滞力的作用有关,所以这类流动的相似就要求粘滞力作用相似。根据式(9.15),力的比尺λF可写为22FμpμplpυpρplpυpλF===22Fμmμmlmυmρmlmυm化简后得υplpυmlm=(9.24)νpνm式中υ·l/ν为一无量纲数,是前已介绍过的雷诺数Re,式中l为断面的特征几何尺寸,可为管径d或水力半径R。雷诺数Re表征了惯性力与粘滞力之间的对比关系。式(9.24)可用雷诺数表示为(Re)p=(Re)m(9.25)上式表明:若作用在液体上的外力主要是粘滞力,要使两个流动动力相似,必须两个流动相应处的雷诺数相等,称为粘滞力相似准则或称为雷诺相似准则。式(9.24)也可写成比尺形式有λυλl=1(9.26)λν(3)压力相似准则若作用于液体上的外力主要是动水压力P时,根据式(9.15),力的比尺λF可写为222PppplpρplpυpλF==2=22Pmpmlmρmlmυm化简后得:pppm2=2(9.27)ρpυpρmυm2式中p/ρυ为一无量纲数,称欧拉(Euler)数,以Eu表示,即pEu=2(9.28)ρυ它表征了惯性力与压力的对比关系。式(9.27)可用欧拉数表示为(Eu)p=(Eu)m(9.29)上式表明:若作用在液体上的外力主要是动水压力时,要使两个流动动力相似,必须两个流动相应处的欧拉数相等,称为压力相似准则或称为欧拉相似准则。式(9.27)也可写成比尺关系有λp2=1(9.30)λρλυ在不可压缩液体的有压流动中,起作用的是压强差Δp,而不是压强的绝对值。所以欧拉数也·234· 第9章量纲分析和相似原理可表示为ΔpEu=2(9.31)ρυ欧拉准则不是独立的准则,当雷诺准则和佛汝德准则得到满足时欧拉准则自动满足。作用在相似液流上的同名作用力不止以上三类,因此,还有另外一些需要满足的准则,如弹性力相似准则、表面张力相似准则等。限于篇幅,不再赘述。9.5模型实验模型实验依据相似原理,制成与原型相似的小尺度模型进行实验研究,以实验结果判断或预测原型的流动现象。进行模型实验首先需解决模型律的选择及模型设计两个问题。(1)模型律的选择模型律的选择应依据流动相似准则。为尽可能使模型与原型完全相似,除首先考虑几何相似以外,各独立的相似准则应同时满足,事实上,这是很困难甚至不可能的,只能对所研究的流动问题进行深入分析,找出影响该流动的主要作用力并选用相应的相似准则。例如,当粘滞力起主导作用时,则选用雷诺准则设计模型,称雷诺模型;当重力起主导作用时,则选用佛汝德准则设计模型,称佛汝德模型。下面分析这二种模型。1)雷诺模型在雷诺模型中,由于原型与模型的雷诺数相等,可根据式(9.26)来确定长度比尺与其他比尺的关系。流速比尺由下式确定:λυ=λν/λl(9.32)这就是说λυ取决于λν与λl之比,不能任意选择。例如当模型与原型中的液体相同,且温度也相同时,运动粘性系数比尺λν=1,则流速比尺与长度比尺之间为倒数关系,即λυ=1/λl(9.33)上式表明,雷诺模型尺度越小,模型中流速越快,即模型中流速将远大于原型中流速,这是雷诺模型的一个特点,雷诺模型中其他比尺亦可导出,例如流量比尺λQ2λQ=λυλω=λυλl=λl(9.34)时间比尺λt2λt=λl/λυ=λl(9.35)2)佛汝德模型在佛汝德模型中,由于原型和模型的佛汝德数相等,可根据式(9.23)来确定长度比尺λl与其他比尺的关系。当模型与原型流动均在地球上时,λg=1,所以流速比尺λυ由下式表示λυ=λl(9.36)佛汝德模型中其他比尺亦可导出由长度比尺λl表示,例如,流量比尺λQ与时间比尺λt分别为25/2λQ=λυλl=λl(9.37)λt=λl/λυ=λl(9.38)若要满足粘滞力与重力同时相似,即要保证模型与原型流动中的雷诺数和佛汝德数一一·235· 水力学对应相等。如果模型与原型采用同一种介质,由雷诺数相等条件,有λυ=1/λl由佛汝德数相等条件,有λυ=λl显然,只有λl=1,才能同时满足以上条件,即模型不能缩小,失去了模型实验价值。如果模型与原型采用不同的介质,有λυ=λν/λl=λl或3/2λν=λl(9.39)即实现流动相似有两个条件:一是模型流的流速为原型流流速的1/λl倍;二是必须按λν=3/2λl来选择运动粘性系数的比尺,但通常这一条件难以实现。从上述分析可见,一般情况下同时满足两个或两个以上作用力相似是难以实现的。实际中,往往仅考虑满足一个影响流动的主要作用力的相似,而忽略其他次要力的相似。(2)模型设计模型设计的步骤如下:①根据实验场地、经费、模型的制作条件和仪器、设备的量测条件确定几何比尺λl。一般情况下,按λl=10∽100选定。②根据几何比尺缩小原型的几何尺寸,得出模型的几何边界尺寸。③根据作用在原型流动上的主要作用力,选择模型律。如佛汝德模型,雷诺模型等。④按所选择的模型律推算各物理量的比尺,例如速度比尺、流量比尺、时间比尺等。从而由模型测得的各物理量的数据,推算原型液流中各物理量的相关数值。进而对设计方案进行优化,确定出安全可靠且经济的原型设计方案。3例9.4有一直径为15cm的输油管,管长5m,管中要通过的流量为0.18m/s,现用水来作2模型实验,当模型管径与原型一样,水温为10℃(原型用油的运动粘性系数νp=0.13cm/s),问水的模型流量应为多少才能达到相似?若测得5m长模型水管两端的压强水头差为3cm,试求在100m长的输油管两端的压强差应为多少(用油柱高表示)?解①因为圆管中流动主要受粘滞力作用,所以相似条件应满足雷诺准则,即(Re)p=(Re)m或υpdpυmdm=νpνm因为dp=dm,即λl=1,则上式可化简为:υpυm=νpνm又因Q=ωυ,而ωp=ωm,所以上式又可写成QpQm=νpνm22将已知油的νp=0.13cm/s,水的νm=0.0131cm/s代入上式,可得水的模型流量为νm0.01313Qm=Qp=0.18×=0.0181m/sνp0.13·236· 第9章量纲分析和相似原理②研究压强问题,须按欧拉准则,才能保证原型与模型压强相似,即(Eu)p=(Eu)mΔppΔpm或2=2ρpυpρmυmΔppΔpm或2=2γpυp/gpγmυm/gmΔpm因gp=gm,且已知模型测得压强水头差=3cm,则原型输油管两端的压强差(油柱)为γm2ΔppΔpmυp=·2γpγmυmπ2π2已知υp=Qp/dp=0.18/×0.15=10.19m/s44π2π2υm=Qm/dm=0.0181/×0.15=1.027m/s44所以lp=lm=5m长输油管的压差油柱为2Δpp10.19hp==0.03×2=2.95mγp1.027则在100m长的输油管两端的压强差为2.95×100=59m(油柱高)。53例9.5溢流坝的最大下泄流量为1000m/s,用缩小比尺λl=60的模型进行实验,试求模型中最大流量为多少?如在模型中测得坝上水头Hm为8cm,测得模型坝脚处收缩断面流速υm=1m/s,试求原型情况下相应的坝上水头和收缩断面流速各为多少?解为了使模型水流能与原型水流相似,首先必须做例9.5图到几何相似。由于溢流现象中起主要作用的是重力,其他作用力如粘滞阻力和表面张力等均可忽略,故要使模型与原型相似,必须满足佛汝德准则。根据佛汝德模型,流量比尺为5/25/2λQ=λl=60=27885则模型中流量3Qm=Qp/λQ=1000/27885=0.0359m/s=35.9l/s长度比尺为λl=60,则原型坝上水头为Hp=λlHm=60×8=480cm=4.8m流速比尺为λυ=λl=60=7.75则收缩断面处原型流速为υp=λυυm=7.75×1=7.75m/s·237· 水力学思考题9.1什么是物理量的量纲和单位?它们有何区别?9.2如何保证基本量的量纲是独立的?9.3简述瑞利法和π定理。9.4什么是几何相似,运动相似,动力相似?三者的关系如何?9.5试分别按雷诺准则和佛汝德准则导出下列各物理量的比尺(用长度比尺表示)。速度、加速度、流量、时间、力、压强、功、功率等。习题9.1用基本量纲L、M、T推导出力偶矩M,动能T,动量K及转动惯量J的量纲。9.2整理下列各组物理量为无量纲数:(1)τ,υ,ρ;(2)ν,l,υ;(3)F,l,υ,ρ;(4)σ,l,υ,ρ;(5)υ,g,l。9.3水泵单位时间抽送重度为γ的液体体积是Q,单位重量液体由水泵内获得的总能量为H(单位:米液柱高)。试用瑞利法证明水泵输出功率为P=kγQH。9.4实验观察与理论分析指出,水平等直径恒定有压管流的压强损失Δp与管长l,直径d,管壁粗糙度Δ,运动粘性系数ν,密度ρ,流速υ等因素有关。试用π定理求出计算压强损失的公式及沿程水头损失hf的公式。9.5如图所示的孔口出流,实验知道,孔口出流时,孔口断面流速υ与下列因素有关:孔口作用水头Η,孔口直径d,重力加速度g,液体密度ρ,动力粘性系数μ及表面张力系数σ。试用π定理推求孔口流量公式。9.6水流围绕一桥墩流动时,将产生绕流阻力F,该阻力与桥墩的宽度b(或桥墩直径d),水流速度υ,水的密度ρ,动力粘性系数μ及重力加速题9.5图度g有关。见图示。试用π定理推导绕流阻力表达式。9.7有一管径为200mm的输油管道,油的运动-52粘性系数ν=4.0×10m/s,管道内通过的流量是30.12m/s。若用直径为50mm的管道并以20℃的水题9.6图做模型实验,试求在流动相似时模型管内应通过的流量。若测得1m长模型输水管两端压强水头差为5mm,试求在100m长输油管两端压强差应为多少(用油柱高表示)?9.8有一处理废水的稳定池,池的宽度为25m,池长100m,池中水深2m,池中水温为20℃,水力停留时间15d(水力停留时间定义为池的容积与流量之比),成缓慢均匀流。设制作模型的长度比尺λl=20,在同种介质中实验,求模型尺寸及模型中的水力停留时间。(提示:按雷诺模型进行设计。)·238· 第9章量纲分析和相似原理9.9一桥墩长lp=24m,墩宽bp=4.3m,水深hp=8.2m,河中水流平均流速υp=2.3m/s,两桥墩间的距离Bp=90m,试取λl=50来制作模型,确定模型尺寸及其中的平均流速υm和流量Qm。9.10采用长度比尺λl=25的模型来研究闸下出流情况(如图所示),重力为流动的主要作用力。试求:①当原型闸门前水深Hp=14m时,模型中相应水深Hm=?②若模型实验测得闸下出口断面平均流速υm=3.1m/s,流量Qm=56l/s,由此推算出原型相应流速υp=?,流量Qp=?。③若模型中水流作用于闸门的力Fm=124N,问原型闸门所受的力Fp=?。9.11一溢流坝(参见例9.5附图)泄水流量为3150m/s,现按重力相似准则设计模型,如实验室供题9.10图3水量仅有0.08m/s,为这个模型选取几何比尺;原型坝高H0p=20m,坝顶水头Hp=4m,问模型最高为多少(H0m+Hm)?·239· 习题参考答案第1章92-821.1k=1.568×10N/m,β=6.38×10m/N1.2Δp=20000个大气压221.3v=0.01062m/s,μ=0.104N·s/m21.4τ=1150N/m21.5μ=0.054N·s/m31.6ρ=816kg/m31.7约16.30m1.83mm,1mm第2章2.1(1)p0=14.70kPa,(2)p0=11.03kPa2.2꯽3=14cm2.3pAabs=107.80kPa,pA=9.8kPa2.4(1)p1=19.7kPa,(2)pabs/γ=17m水柱,(3)pv=29.5kPa322.5γ1=6.86kN/m,pabs=106.33kN/m2.6H=1.14m22.7p0=-4.9kN/m,hv=0.5m水柱2.8h1=5m水柱,h2=0.38m水银柱22.9pv=19.6kN/m2.10hE=12.5m,hF=12.2m,hG=10.6m,hp=0.6m2.11(1)hA=4.6m水柱,(2)hA=0.81m水柱,(3)hA=0.3m水柱222.12pvm=27.07kN/m,p0=-38.05kN/m22.13p0=-27.9kN/m22.14(1)0.19m水柱,(2)0.784kN/m222.15(1)2.04kN/m,(2)2.94kN/m2.16F=27kN22.17p5=263.4kN/m2.1914.48m水柱,4.48m水柱,17.78m水柱,4.48m水柱·240· 习题参考答案32.20γ0=7.84kN/m22.21p0abs=6.664kN/m,z2=0.68m2.22H=0.4m2.23P=45.74kN,h0=2.03m2.24x=0.796m2.25F=32.67kN2.26M=933.4kN·m2.27PA=4.82kN,PB=7.05kN,PC=3.21kN2.28(1)T≥32.2kN,(2)T≥28kN3d3π2.29P=γ,yD=d12322.30Px=29.23kN,Pz=2.56kN2.31Pz=1.2kN方向向上2.32H=3.05r2.33P=2663.33kN,hD=6.91m2.34Pz=71.84kN2.35ΔH=2.52m,Px=19.4kN过球心向左2.36Px=82.05kN方向向右,Pz=79.92kN方向向上2.37Px=26.1kN,Pz=41.5kN2.38Pz=73.5N方向向上第3章3.5d0=25mm3.6υ2=3.18m/s3.7υ=7.5cm/s3.8Q2=19.4l/sγQ2=0.194kN/s33.9Q=1m/sυ1=2.5m/s3.10υ1=2cm/s3.11Q=102l/sυA=3.85m/s3.12p3abs=9mHO23.13υB=2.73m/sυA=φυB=2.68m/s3.14HA=7.816m>HB=5.051m水流由A向Bhw=2.765m3.15Q=51.18l/s3.16d1=9.8cm3.17Q=173l/s3.18H=5.186m3.19p1=-6731Pap2=16955Pa3.20Q=17.5l/spB=11.27Pa3.21p1=154.25kPad2=27mm·241· 水力学3.22(1)pB=29.4kPa(2)υ1=1.98m/s,υ2=3.96m/s33.23Q=0.55m/s3.24p2=10.06kPaQ=260l/s3.25d=75.5mmpB=-53.89kPa3.26hs=4.5-0.5-1=3m3.27H1=2.57m>H2=1.74m流向由A到Bhw=0.83m3.28h=7m3.29Q=67.3l/sp=79.2kPa3.30Q=27.1l/s3.31p2=44.1kPa3.32H=1.23mp23.33h=-=0.24mγ33.34Q=5.98m/s3.35F=100N(→)3.36R60°=252NR90°=504NR180°=1008N3.37θ=30°RX=456.5NRY3.38RX=3.815kNRY=3.415kNtanθ==0.895θ=41°81′RX3.39RX=0.462kN3.40R=1.70kN3.41RX=-1240.5kN(→)RY=-1750.9kN(↑)3.42R=153255.48N第4章4.1Qmax=0.471l/s4.2Re1/Re2=24.3Re=1929.6<2000层流4.4Re=7640>Rec=500紊流24.5λ=0.0332τ0=1.81N/m24.6(1)hf=15.02m(2)τr=0=0(3)τr=100=36.8N/m4.7d=0.15m4.8d=6.4mm4.9d=2.25mm4.10紊流光滑管-524.11ν=4.498×10m/s4.12紊流过渡区4.13(1)Qmax=12l/s(2)Qmin=174l/s4.14(1)Q=77.6l/s(2)hf=40.47mH2O·242· 习题参考答案4.15λ1=0.0279λ2=0.0339λ3=0.02914.16hf1=39.08mH2Ohf2=53.97mH2Ohf3=107.94mH2O4.17公式法hf=12.82mH2O查图法hf=10.1mH2O4.18(1)紊流过渡区hf=0.045m(2)层流hf=0.13m(3)紊流粗糙区hf=10.9m4.19λ=0.0352hf=8.19mH2O4.20Q=38.31l/s4.21t=10℃Δp=100.6kPaλ=0.0301hf=10.26mH2Ot=15℃Δp=104.45kPaλ=0.0315hf=10.6mH2O34.22(1)v=0.80m/s(2)Q=5.10m/s4.23莫迪图J=0.0070曼宁公式J=0.00894.24pmin=342kPa4.25H=43.9m4.26Q=25.4l/s34.27Q=0.159m/sh1=2.916mh2=7.084m4.28F=206N(→)4.29λ=0.04n=0.0114.30(1)Q=63.1l/s(2)Fx=0.783kN(→)Fy=0.130kN(↓)F合=0.794kN2(3)τ0=0.908N/m4.31dmax=0.868m0.54.32C=62.8m/sλ=0.0199v*=0.183m/shf=0.517mH2O4.33Q=45.8l/s第5章-23-23-235.1(1)Q1=3.73×10m/s;(2)Q2=2.16×10m/s;(3)Q3=2.366×10m/s5.2Q=16.1l/s5.3Q=193l/s35.4pv/γ=4.5m,Q=4.28m/s25.5p0=44.2kN/m5.6Q2=36.2l/s,H2=1.896m5.7ΔΗ=2.1cm5.8Q=3.11l/s5.9t=17.87s2D1.5+λl/d5.10t=2(H-H/2)d2g5.11t1=177.78s,t2=84.63s35.12Q=0.375m/s,pv=47.67kPa5.13d=1.0m·243· 水力学5.14Q=49.3l/s5.15Q=48.2l/s5.16Q=513l/s,hv=2.83m水柱5.17Np=35.84kW5.18H=21.8m,N=13.4kW5.19Hs=5.07m5.20d=0.5m,hs=4.28m,N=82.2kW5.21Q=109l/s5.22(1)Q=735l/s,(2)H=29.12m水柱5.23pA/γ=21.18m水柱5.24H=26.14m5.25H=10.42m5.261.2655.27hfAB=13.57m5.28Q1=57.6l/s,Q2=42.4l/s,hf=9.2m5.29H=19m5.30d=600mm5.31d1-2=150mm,d2-3=d3-5=100mm,d2-4=75mm5.32Ht=14m第6章6.1b=3.0m,i=0.00126.3h=3.92m,b=3.24m6.4i=0.0005436.5Q=33.66m/s,v=1.22m/s6.6h=1.49m6.7h0=0.6m,i=0.0020.56.8C=48.74m/s6.9h0=1.66m36.10Q=1.72m/s,v=0.512m/s6.11i=0.00033,v=1.63m/s6.12h=0.42m,b=4.15m6.13n=0.0326.14i=0.000256.15Δh=0.7m6.16i=0.00216.17h=2.47m,b=4.94m36.18ΔQ=6.01m/s6.19h=0.84m·244· 习题参考答案6.20hk=0.754m6.23hk=1.07m6.25hk=0.907m6.26ik=0.0056.27陡坡渠道6.28缓流6.29缓流、缓坡6.30急流6.31Fr<1,缓流6.33h″=1.59m,lj=8.9m,Δhw=1.12m6.34h″=1.584m6.37h上=1.72m第7章37.1Q=2.29m/s37.2Q=6.94m/s37.3Q=0.504m/s7.4b=17.2m,hmax=4.09m37.5Q=0.025m/s,H=0.263m37.6q=0.69m/(s·m)37.7Q=8.2m/s37.8Q=7.0m/s7.9b=9.9m第8章-48.1k=4.16×10cm/s-538.2Q=5.65×10m/s-58.3v=u=2×10cm/s228.4q=2.53米/日(m/d)-728.5q=3.75×10m/s-728.6q=5.71×10m/shc=2.60m8.7Q=67.2l/s-538.8Q=6.0×10m/shc=3.16m-438.9Q=4.32×10m/s8.10Q=13.4l/s8.11Q=6.4l/s8.12k=0.0032m/s-48.13k=8.82×10m/s,水位差=3m8.15R=184m·245· 水力学338.16Q=340m/d,Q=216m/d第9章2τυ·lFσυ9.2(1)2;(2);(3)22;(4)2;(5)ρυνρlυρlυgl2lΔν2Δνlυ9.4Δp=f(,,)·ρυ;hf=f(,)··ddυddυdd2g2πddμσ9.5Q=f(,,2)·2gH4HρHgHρgH22μgb9.6F=ρbυf(,2)ρbυυΔp9.7Qm=0.76m/s;()p=12.254mγ9.8Bm=1.25m;Lm=5m;Hm=0.1m;tm=54min39.9υm=0.325m/s;Qm=0.0914m/s39.10Hm=0.56;υp=15.5m/s;Qp=175m/s;Fp=1937.5kN9.11λ1=20.38;H0m+Hm=1.18m·246· 参考文献[1]清华大学水力学教研室编.水力学.上、下册.北京:人民教育出版社,1980[2]蒋觉先.水力学.北京:高等教育出版社,1993[3]成都科技大学水力学教研室编.水力学.上、下册.北京:人民教育出版社,1979[4]西南交通大学水力教研室编.水力学(第三版).北京:高等教育出版社,1983[5]刘鹤年编.水力学.北京:中国建筑工业出版社,1998[6]闻德荪,魏亚东,李兆年,王世和编.工程流体力学(水力学)(第一版).北京:高等教育出版社,1991[7]禹华谦主编.工程流体力学(水力学)(第一版).成都:西南交通大学出版社,1999[8]李士豪主编.流体力学(第一版).北京:高等教育出版社,1990[9]周谟仁主编.流体力学泵与风机(第二版).北京:中国建筑工业出版社,1985[10]黄儒钦主编.水力学教程(第二版).成都:西南交通大学出版社,1998[11]MelvynKay.PracticalHydraulics.E&FNSpon.animprintofRoutledge11NewFetterLane.LondonEC4P4EE,1998·247·'