水力学 第二章

'第二章2.1p1第一节第二章第二章第二章第二章水水水水静静静静力力力力学学学学水静力学是液体在静止或相对静止状态下的力学规律及其应用的科学。本章讨论静平衡的力学规律，重点在于研究压强分布规律和总作用力计算方法。静止指流体质点之间或层之间无相对运动，它分为绝对静止和相对静止。§2.1静止流体中应力的特性作用于静止流体的压强称为流体静压强。流体静压强有以下两个特性：1、流体静压强总是指向作用面的内法线方向(垂直指向性）；2、静止流体中任一点的静压强与作用的方位无关（各向等值性）。返回 第二章2.1p2第一节证明：在静止流体中任取微元四面体OABC及坐标OXYZ如图示。各面作用的压强px、py、pz、pn。各面作用的总压力为：1Px=px⋅dydz21Py=py⋅dzdx21Pz=pz⋅dxdy2Pn=pn⋅dA(dA为ABC倾斜面的面积)微元体所受质量力为：1dFmx=ρdxdydz⋅X61dFmy=ρdxdydz⋅Y61dFmZ=ρdxdydz⋅Z6返回 第二章2.1p3第一节1取X方向受力平衡，并由dAcos(n⋅x)=dydz2Px−Pncos(n⋅x)+Fmx=011px⋅dydz−pndAcos(n⋅x)+ρdxdydz⋅X=0261px−pn+ρdx⋅X=03略去高阶无穷小量，可得：px=pn同理，可得py=pn,pz=pn由此可得：px=py=pz=pn由此得证，静止流体中任一点压强与作用的方位无关。由此可知，流体静压强只是空间坐标的函数，即p=f(x,y,z)∂p∂p∂p且dp=dx+dy+dz∂x∂y∂z返回 第二章2.2p1第二节§2-2流体平衡微分方程一、静止流体平衡微分方程及其积分在静止流体中取六面体微团dx，dy，dz，并取坐标如图所示。设定中心点o’（x，y，z），该点压强p(x,y,z)，则左、右端面压强为：1∂p1∂pp−dx和p+dx2∂x2∂xaa’由此得左、右端面总压力为：⎛1∂p⎞⎜p−dx⎟dydz和dz⎝2∂x⎠dd’1∂p1∂p⎛1∂p⎞p−dxp+dx⎜p+dx⎟dydz2∂xo’2∂x⎝2∂x⎠p(x,y,z)bb’zx方向微团质量力为：dyXρdxdydzcc’dxoxy返回 第二章2.2p2第二节由静平衡关系∑Fx=0有：⎛1∂p⎞⎛1∂p⎞⎜p−dx⎟dydz−⎜p+dx⎟dydz+Xρdxdydz=0⎝2∂x⎠⎝2∂x⎠∂p可得：ρX−=0∂x∂p同理，对y,z方向可得：ρY−=0∂y（2-2)∂p这就是流体静平衡微分方程式，ρZ−=0∂z也称欧拉平衡微分方程。式中三个方程分别乘dx，dy，dz，相加可得平衡微分方程的另一种形式：∂p∂p∂pdx+dy+dz=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)式中左边是平衡液体压强p的全微分。∂x∂y∂z有：dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)（2-7)返回 第二章2.2p3第二节二、力势函数由（2-7）式可以看出，等式右端为某函数的全微分，设其为W(x,y,z)，即：dW=Xdx+Ydy+Zdz（2-5)∂W∂W∂W又有dW=dx+dy+dz∂x∂y∂z∂W∂W∂W因此=X,=Y,=Z（2-6)∂x∂y∂z满足（2-5)式的质量力称为有势的质量力，称W(x,y,z)为力势函数。dp=ρdW积分得p=ρW+C当已知流体内某一点的势函数W0和压强p0时，上式为：p=p0+ρ(W−W0)返回 第二章2.2p4第二节三、等压面（EquipressueSurface）及其特性流体中压强相等的点组成的面称为等压面。在等压面上有:dp=ρdW=0等压面有以下性质：1、等压面必为等势面。由前述可知，若dp=0，必有dW=0，即W=常数,可见,等压面就是等势面。2、在静止流体中质量力与等压面相垂直。从（2-7）可得等压面方程为：Xdx+Ydy+Zdz=0��f⋅dl=Xdx+Ydy+Zdz=dW=0������f⋅dl=f⋅dlcos(f⋅dl)=0����可得cos(f⋅dl)=0即f⊥dl可知质量力与等压面垂直。其物理意义在于：流体微团在等压面上运动时，质量力作功为零。据此性质，可由质量力的方向确定等压面的形状，反之亦然。3、不同密度流体的分界面必为等压面。返回 第二章2.3p1第三节§§2-32-3重力场中液体静压强的分布规律重力场中液体静压强的分布规律一、液体静压强的基本方程式。z设图示的容器中静止的液体均质，容器上空大气压为p。取图示坐标后，可得X=0，Y=0，Z=-gp0yx0代入静平衡微分方程dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)得dp=−ρgdz积分得ρgz+p=C1hh2p()hh或z+=C常数（2-10)001ρgp1p2zz若取图示1、2两点，则得:Z1+=Z2+2ρgρg1上式为重力作用下静止液体中的压强分布规律。zz2z对于流体中的任意点和表面点运用此方程，可得:00p=p0+ρg(z0−z)式中(z0-z)=h为从液面测得的垂直深度h，称为淹没水深，则有:p=p0+ρgh（2-9)此式为计算中常用的压强分布规律的另一种型式。返回 第二章2.3p2第三节静压强的应用特征：1、以上各式均仅适用于均质的连续介质;2、此种静止液体中压强为z或h的线性增值函数;3、任意点压强由两部分组成，一部分为自由表面压强p0，另一部分为液体质量产生的压强ρgh;4、在同种静止液体中，等压面为一簇水平面；5、由上式不难得证帕斯卡原理：施加于静止液体部分边界上的压强，将等值的传递到液体各部。返回 第二章2.3p3第三节p0=pa[例题]已知：p0=98kN/m2，h=1m，h求：该点的静水压强ppa解：p=p+ρgh0232=98kNm/+1000kgm/×9.8/ms×1m÷10002=107.8kNm/在容器壁面上同水深处的一点所受到的压强有多大？该点所受到的有效作用力有多大？返回 第二章2.3p4第三节二、压强的度量（一、）压强的两种计算基准压强有两种计算基准，常有以下三种表示方式：1、绝对压强（AbsolutePressure）以毫无一点气体存在的绝对真空为零点起算的压强，称为绝对压强。以p’表示。当涉及流体本身的性质，例如采用气体状态方程进行计算时，必须采用绝对压强。2、相对压强（RelativePressure）以当地同高程的大气压为零起算的压强，称为相对压强。以p表示。相对压强为仪表测量和工程计算常用的压强。又称为表压强，它表示绝对压强和大气压强的差。采用相对压强基准，则大气压强的相对压强为零。即p=0相对压强，绝对压强和大气压强的相互关系是：p=p’-pa3、真空压强、真空度（Vacuum）当流体中某点的绝对压强低于大气压强时，所差的数值，称为真空压强,即：p=p’-pa负压的绝对值又称为真空度.即pv=|-p|=|-(p’-pa)|=pa-p’返回 第二章2.3p5第三节压强图示pAA点相对压强当地大气压强papaA点绝对压强B点真空度BB点绝对压强00返回 第二章2.3p6第三节（二、）压强的三种量度单位压强的测示单位常采用以下三种：1、应力单位（压强基本定义），即力/面积。SI制中为：N/m2,常采用帕（Pa），千帕(kPa)，兆帕(MPa)。工程单位为：kgf/m2或kgf/cm2。2、液柱高度单位以h=p/γ表示，常用水柱高度或汞柱高度，其单位为mH2O，mmH2O,或mmHg.3、大气压单位（以大气压的倍数来表示）理论上常采用标准大气压，SI制中用符号atm表示,（温度为０oC时海平面上的压强，即７６０mmHg）为101325pa。工程中常采用工程大气压，工程单位制中用符号at表示，（相当于海拔200m处正常大气压）为1kgf/cm2,即1at=1kgf/cm2,称为工程大气压。三、三种量度单位的基本换算关系1mmH2O=1kgf/m2=9.807N/m2(pa)=0.0736mmHg返回 第二章2.3p7第三节压强的单位及其换算表2帕工程大气压标准大气压巴米水柱毫米水柱磅/英寸22(Pa)(kgf/cm)(atm)(bar)(mH2O)(mmHg)(lbf/in)-4-4-4-4-4-410.102×100.0987×100.100×101.02×1075.03×101.45×1049.8×1010.9680.98110735.614.22410.13×101.03311.01310.3376014.69410.00×101.020.987110.2750.214.5040.686×100.070.0680.06860.70351.711返回 第二章2.3p8第三节[例2]：如图已知，p0=98kN/m2，h=1m，p=p0a求：该点的绝对压强及相对压强2h解：p′=p+ρgh=9819.81107.8+××=kNm/02p=p′−p=107.898−=9.8kNm/a例3：如图已知，p0=50kN/m2，h=1m，ppa0求：该点的绝对压强及相对压强h解：2p′=p+ρgh=5019.8159.8+××=kNm/02p=p′−p=59.898−=−38.2kNm/a相对压强为什么是负值？什么位置处相对压强为零？返回 第二章2.3p9第三节（三、）压强的物理意义若图示容器中A点的压强为p,则接装测管后，压强作用下流体可上升h的高度，说明A点流体具有h=p/ρg的势能，又称为压力能。p0hhh1AApp返回 第二章2.3p10第三节（四、）水静力学在量测上的应用1、测压管若欲测容器中A点的液体压强，可在容器上设置一开口细管。则A、B点位于同一等压面，两点压强相等。pAp=ρgh⇒h=Aρg式中h称为测压管高度或压强高度。返回 第二章2.3p11第三节当A点压强较小时：1.增大测压管标尺读数，提高测量精度。2.在测压管中放入轻质液体（如油）。3.把测压管倾斜放置（见图）。A点的相对压强为p=ρgLsinαA当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改用U形水银测压计。返回 第二章2.3p12第三节(a)(b)返回 第二章2.3p13第三节22、、UU形水银测压计形水银测压计在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。对测压计右支p′=p+ρgh2am对测压计左支A点的绝对压强p′=p+ρgh−ρgbAamA点的相对压强p=ρgh−ρgbAm式中，ρ与ρm分别为水和水银的密度。返回 第二章2.3p14第三节3、差压计差压计是直接测量两点压强差的装置。若左、右两容器内各盛一种介质，其密度分别为ρ和ρ。AB因c-c面是等压面，于是p+ρgh=p+ρgh+ρghAAABBBmp−p=ρgh+ρgh−ρghABmBBAAh+s=h+hABh=h+h−sABp−p=(ρg−ρg)h+(ρg−ρg)h+ρgsABmABABA返回 第二章2.3p15第三节�例：在管道M上装一复式U形水银测压计，已知测压计上各液面及A点的标高为：∇=1.8m，1∇=0.6m，∇=2.0m，∇=1.0m，234∇=∇=1.5m。试确定管中A点压强。A5解：=p+ρg(∇−∇+∇−∇−)ρg(∇−∇+∇−∇)am12343254p=p+ρg(∇−∇−)ρg(∇−∇+)ρg(∇−∇−)ρg(∇−∇)Aam1232m3454=p+ρg(1.80.62.01.0)−+−−ρg(2.00.61.51.0)−+−am33=p+13.610××9.812.210×−×9.811.9×a32=p+274.8810(×Nm/)a返回 第二章2.3p16第三节2p=101.3274.9+=376.2KNm/Aabs2p=274.9KNm/A�水头、液柱高度与能量守衡pz+=Cρg返回 第二章2.5p1第五节§2-5液体作用在平面上的总压力工程实践中，需要解决作用在结构物表面上的静水压力的问题。本节研究作用在平面上的液体静压力，也就是研究它的大小、方向和作用点。由于流体静压力的方向指向作用面的内法线方向，因此只须求总作用力的大小和作用点。返回 第二章2.5p2第五节静水压强分布图�即表示受压面上各点压强（大小和方向）分布的图形，简称静水压强图。�绘制规则：１．按一定的比例尺，用一定长度的线段代表流体静压强的大小。２．用箭头表示流体静压强的方向，并与该处作用面相垂直。在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分布图，当流体的表面压强为p时p=γh，即p与h呈线性0关系，据此绘制流体静压强图。返回 第二章2.5p3第五节PPPPAAAABBBBPPPPCCCC压强分布示意图返回 第二章2.5p4第五节返回静水压强分布示意图 第二章2.5p5第五节静水压强分布图实例返回 第二章2.5p6第五节画出下列AB或ABC面上的静水压强分布图p=p+ρgh相对压强分布图0paAAρghBBBPa+ρghAAABCBB返回 第二章2.5p7第五节画出下列容器左侧壁面上的压强分布图返回 第二章2.5p8第五节研究方法可分为解析法和图解法两种：一、解析法1、总作用力的大小设有一与水平面成α角平面上的倾斜平面ab,其左侧受水压力，水面大气压为pa，把平面绕oy轴旋转90o,受压平面图形，在xoy平面上分析受力问题。如图所示返回 第二章2.5p9第五节在h深处取dA上的压强分解图示为p=γh,则作用在微小面积上的静水压力为：dP=pdA=γhdAo整个受压面作用着一系列dpahch的同向平行力，根据平行力系求和原理，将各小压dP沿受压面进行积分，则得作用在受压面上的水静dA压力为：CyycyxP=∫dP=∫pdA=∫γhdAAAA=γsinαydA=γsinαycA∫注：式中∫ydA为受压面积A对x轴的静面矩，AA=γhA=pA等于受压面积A与其形心坐标yc的乘积。又因ccycsinα=hc返回 第二章2.5p10第五节2、总作用力作用点2ydA=I各微小压力dP对x轴的力矩之和为：∫x式中：A为受压面积2ydP=y⋅γhdA=γysinαdA⇒A对x轴的惯性矩。22∫γysinαdA=γsinα∫ydAAAo取D为作用点，坐标yD，淹深hD。dphcha水静压力P对x轴的力矩为：hDyP=y⋅γ⋅hA=γ⋅yC⋅ysinαADDCDP由合力矩原理有：dA各微小面积dA上的水的静压力dP对CyDx轴的力矩之和等于整个受压面上yyc水的静压力P对x轴的力矩。yDx由平行轴移动定理：γy⋅sinα⋅Ay=γsinα⋅I⇒2cDxI=I+yA2xccIxI+ycAIcIcy==C=y+或y=y−y=DceDcy⋅Ay⋅Ay⋅Ay⋅Acccc返回 第二章2.5p12第五节O【例题】一垂直放置的圆形平板闸门如图所示，已知闸门半径R=1m，形hhcD心在水下的淹没深度hc=8m，试用解析法计算作用于闸门上的静水总压力。FP解：F=pA⋅=ρgh⋅πR2=246kNLPcc4πRIC4L=L+=h+=8.03mDCCL⋅Ah⋅ACC答：该闸门上所受静水总压力的大小为246kN，方向向右，在水面下8.03m处。返回 第二章2.5p13第五节注：1、由于过形心C的惯性矩IC为正值，故yD>yC，即压力作用点低于形心。2、各种图形之惯性矩IC可查有关图表。二、图解法求解矩形平面板上的的水的静压力的问题，采用图解法不仅能直接反映力的实际分布，而且有利于对受压结构物进行结构计算。使用图解法，需先绘出水的静压分布图，然后根据它计算水的静压力。计算内容仍为压力大小和作用点问题。水的压强分布图是根据基本方程p=p0+γh，直接绘在受压面上表示各点压强大小及方向的图形。实际工程计算中，只考虑相对压强的作用，即：p=γh。1P=Sb=V(2-32)S=(ρgh1+ρgh2)L2返回 第二章2.5p14第五节作用点：1、当压强为三角形分布时，压力中心D离底部距离为1；e=L3返回 第二章2.5p15第五节2、当压强为梯形分布时，压力中心离底的距L(2h+h)离12。e=3(h+h)12返回 第二章2.5p16第五节【例题】如图所示，某挡水矩形闸门，门宽b=2m，一侧水深h1h1=4m，另一侧水深h2=2m，试h1/3h2eh2/3用图解法求该闸门上所受到的静水总压力。解：首先分别求出两侧的水压力，然后求合力。11F=Ωb=ρghhb=×10009.8442156800××××=N=156.8kNP左左112211F=Ωb=ρghhb=×10009.8222××××=39200N=39.2kNP右右22合力对任一轴的力矩等于各分力22F=对该轴力矩的代数和。F−F=156.839.2117.6−=kN方向向右→PP左P右hh12Fe⋅=F⋅−F⋅依力矩定理：PP左P右可解得：e=1.56m33答:该闸门上所受的静水总压力大小为117.6kN，方向向右，作用点距门底1.56m处。返回 某处设置安全闸门如图所示，闸门宽b=0.6m，高h1=1m，铰接装置于距离底h2=0.4m，闸门可绕A点转动，求闸门自动打开的水深h为多少米。解：当hD(m)3得 0如图，α=60，上部油深h＝1m，下部水深h1＝2m，3γ=7.84kN/m解：求：单位宽度上得静压力及其作用点。合力油P=Sb1h1hh11=γh+γh＋γh油0水10油02sin602sin60sin60＝45.26kN作用点：1hP=γh=4.5kN1油02sin60"h=2.69m11h1P=γh=22.65kN2水102sin60"h=0.77m2h1P=γh=18.1kN3油0sin60"h=1.155m3""""对B点取矩：Ph+Ph+Ph=Ph112233D"h=1.115mD"0h=3−hsin60=2.03mDD 第二章2.6p1第六节§2-6作用在曲面上的液体压力由于曲面形状任意，各处作用力大小和方向变化，总作用力计算较复杂。这里采用分力求和的简易方法，即分别求出总作用力P的分力Px,Py,Pz后得222P=Px+Py+Pz其方向和作用点须由曲面的具体情况确定。本节主要研究工程中的两向曲面来推求计算方法，如图所示。作用于曲面任意点的液体静压强都沿其作用面的内法线方向，彼此互不平行，也不一定交于一点。对于两向曲面上的水静压力问题，一般将其分为水平方向和铅直方向的分力分别进行计算。返回 第二章2.6p2第六节如图，为垂直于底面的柱体，其长度为l,受压曲面为AB，其左侧承受水的静压力。设在曲面AB上，水深h处取一微小面积的dA,作用在dA水的静压力为：dP=pdA=γhdA该力垂直于面积dA，并与水平成夹角θ，此力可分解为水平和铅直两个分力。AzDCdAzdAhdPzθdAxAdPPzdPxPxAxθBdP图返回 第二章2.6p3第六节水平分力为力为：AzdPx=dPcosθ=γhdAcosθDC铅直分力为力为：hdPz=dPsinθ=γhdAsinθ有：dPx=γhdAxAdPz=γhdAZPzPxAxθB积分上式有：dPP=γhdA=γhAdAzx∫XcXAXdAdPzθdAxP=γhdA=γVz∫ZAZdPdPx返回 第二章2.6p4第六节结论：曲面上总压力P的水平分量Px等于投影面积Ax上的总压力，其方向水平指向受力面，其作用线通过面积Ax的压力中心。曲面上总压力F的竖直分量Pz等于该曲面上压力体中所含的液体重量，其作用线通过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。总压力P的作用线通过Px和Pz的交点，P的作用点在其作用线与曲面的交点上。返回 第二章2.6p5第六节三、压力体式中V称为压力体，即垂直分力的大小等于压力体的重量。压力体是一个有用的工具。压力体由三个面组成：1、受力作用曲面；2、过曲面边缘作的铅垂面；3、自由液面或其延伸面。压力体可分为实压力体和虚压力体。实压力体判定方法：绘出的压力体图形与实际的水体居于受压曲面同侧（重叠），为实压力体。方向向下。虚压力体判定方法：绘出的压力体图形与实际的水体分居受压曲面两侧（不重叠），为虚压力体。方向向上。对于复式断面，先根据压力体的三个面围出压力体，再根据上述原则判定虚、实。返回 第二章2.6p6第六节AAACBBB返回 第二章2.6p7第六节[例]试绘制图中abc曲面上的压力体。abd水水d/2c[解]因abc曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。返回 第二章2.6p8第六节�考虑左侧水的作用aaaabbbbccccab段曲面(实bc段曲面(虚阴影部分相abc曲面(虚压力体)压力体)互抵消压力体)返回 第二章2.6p9第六节�考虑右侧水的作用abcbc段曲面(实压力体)返回 第二章2.6p10第六节�合成aaaabbbbcccc左侧水的作右侧水的作abc曲面(虚用用压力体)返回 第二章2.6p11第六节四、静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序(1)将总压力分解为水平分力Px和垂直分力Pz。(2)水平分力的计算，，Px=ρghcAx。(3)确定压力体的体积。(4)垂直分力的计算，Pz=ρgVp方向由虚、实压力体确定。22P=P+P(5)总压力的计算，，xz。(6)总压力方向的确定，，tgθ=Px/Pz。(7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。返回 第二章2.6p12第六节【例题】一弧形闸门如图所示，闸门宽度b=4m，圆心角φ=45°，半径R=2m，闸门旋转轴恰与水面齐平。求水对闸门的静水总压力。AOφ解：闸门前水深为ZDhRα°Dh=Rsinφ=×2sin45=1.414mB1.414水平分力：PX=pcAX=ρghcAX=9.8××1.414×4=39.19KN2⎛121⎞铅直分力：PZ=ρgV=ρg⎜πR−h⋅h⎟b=22.34KN⎝82⎠22静水总压力的大小：P=PX+PZ=45.11KNFPz°静水总压力与水平方向的夹角：α=arctan=29.68FPx°静水总压力的作用点：ZD=R⋅sinα=×2sin29.68≈1m答：略。返回 第二章2.6p13第六节五、液体作用于物体上的总压力�物体在静止液体中的浮沉若物体在空气中的自重为G，其体积为V，当物体全部浸没于水中时。则G＞ρgV时，沉体。G＜ρgV时，浮体。G＝ρgV时，潜体。�潜体（浮体）的平衡及其稳定性潜体（浮体）在有浮力及重力作用下保持平衡的条件是：�作用于潜体（浮体）上的浮力和重力相等，即G＝ρgV。�重力和浮力对任意点的力矩代数和为零。返回 第二章2.6p14第六节(b)(c)(a)物体重心为C点，浮心为D点。返回 第二章2.6p15第六节(a)(b)物体重心为C点，浮心为D点。返回 第二章2.6p16第六节物体重心为C点，浮心为D点。返回'