水力学第三章 流体力学基本方程

'第三章流体力学基本方程本章研究：流体机械运动的基本力学规律及其在工程中的初步应用。 为什么河道较窄的地方流速较大？思考1 高楼顶层的水压为什么较低？思考2 自来水可以爬上几十米的高楼，洪水为什么不能爬上几米的岸边山坡？思考3 水流速度V2是多少？思考4 §3-1描述流体运动的方法描述流体的运动的困难 §3-1描述流体运动的方法描述流体的运动的困难 §3-1描述流体运动的方法1.拉格朗日法：一.拉格朗日法与欧拉法： §3-1描述流体运动的方法1.拉格朗日法：设某质点的轨迹为：x=x(a,b,c,t),y=y(a,b,c,t),z=z(a,b,c,t)。(a,b,c)为质点的初始位置坐标。研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。一.拉格朗日法与欧拉法：上式中用粗体字母表示矢量。 §3-1描述流体运动的方法1.拉格朗日法：速度：加速度：研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。一.拉格朗日法与欧拉法： u=u(x,y,z,t)，v=v(x,y,z,t)，w=(x,y,z,t)研究流场空间中某个点的流动参数，并给出这些参数的分布。2.欧拉法：§3-1描述流体运动的方法 2.欧拉法：§3-1描述流体运动的方法 §3-1描述流体运动的方法 §3-1描述流体运动的方法 上式中用粗体字母表示矢量。由速度分布求加速度：2.欧拉法：§3-1描述流体运动的方法u=u(x,y,z,t)，v=v(x,y,z,t)，w=(x,y,z,t) 由速度分布求加速度：某质点t时刻位于（x,y,z），速度为：t+Δt时刻位于(x+Δx,y+Δy,z+Δz,t+Δt),速度为：V0和V1的关系为：§3-1描述流体运动的方法(泰勒展开式) 加速度：而：注意到：因此：用粗体字母表示矢量，则：§3-1描述流体运动的方法 §3-1描述流体运动的方法 加速度的投影值：§3-1描述流体运动的方法 作业：P52-53，第19题、第21题。 1.恒定流（定常流动）：2.非恒定流（非定常流动）：流场中各点处的所有流动参数均不随时间而变化的流动。流场中各点的流体质点的所有流动参数中只要有一个随时间而变化，这样的流动就称为非恒定流。§3-1描述流体运动的方法二.恒定流与非恒定流： 迹线：给定质点在一段连续时间内的运动轨迹。§3-1描述流体运动的方法三.迹线和流线： 流线：§3-1描述流体运动的方法三.迹线和流线： §3-1描述流体运动的方法三.迹线和流线： 流线和迹线的区别：§3-1描述流体运动的方法三.迹线和流线： 流线微分方程：设流线微段为：该点的流体的速度为：因为：故两矢量的坐标分量对应成比例：§3-1描述流体运动的方法 1.流管：2.流束：3.元流：在流场中任一条封闭曲线（不是流线）上的每一点作流线，这些流线所围成的管状表面称为流管。流管内的一束运动流体称为流束。如果流管的横截面积为dA,这种流管称为微流管,微流管内的流束称为元流。无数元流的总和称为总流。4.总流：§3-1描述流体运动的方法四.流管、流束、元流、总流： 过流断面：与流线正交的横断面。平均流速：V=Q/A对曲面A,（体积）流量Q：单位时间内通过过流断面的流体体积。§3-1描述流体运动的方法五.流量： 1.均匀流与非均匀流：2.渐变流与急变流：在给定时刻，流场中各流线都是平行直线的流动称为均匀流；否之，则为非均匀流。在非均匀流中，各流线是接近于平行直线的流动称为渐变流（或称缓变流）；否之，则为急变流。§3-1描述流体运动的方法六.均匀流、非均匀流、渐变流、急变流： §3-1描述流体运动的方法 §3-1描述流体运动的方法 若流体的流动参数是空间三个坐标和时间的函数，这种流动称为三元流动；若流动参数是两个坐标和时间的函数，这种流动称为二元流动；若流动参数是一个坐标和时间的函数，这种流动称为一元流动。§3-1描述流体运动的方法七.一元流动、二元流动、三元流动： §3-1描述流体运动的方法动 §3-1描述流体运动的方法 求：t=0时，经过点A（-1，-1）的流线方程。例1：已知：u=x+t，v=-y+t,w=0解：t=0时，u=x，v=-y,w=0；代入流线微分方程：流线过点A（-1，-1）∴C=1§3-1描述流体运动的方法流线方程为： 例2：已知某流场中流速分布为：u=-x，v=2y,w=5-z。求通过点(x,y,z)=(2,4,1)的流线方程。解：流线微分方程为：由上述两式分别积分，并整理得：§3-1描述流体运动的方法 即流线为曲面和平面的交线。将(x,y,z)=(2,4,1),代入①可确定c1和c2故通点(2,4,1)的流线方程为：§3-1描述流体运动的方法 §3-2连续性方程1.系统与控制体：系统：控制体：包含确定不变的物质的集合。一个空间固定体称为控制体。一.积分形式的连续性方程： 系统的流体质量为：质量守恒:系统的质量在任何时刻都相等。2.连续性方程的推导：我们选取t时刻系统的体积τ和表面积A为控制体的体积和表面积。§3-2连续性方程 §3-2连续性方程 因此：对于任一物理量φ（如动量）：§3-2连续性方程φ——单位体积的某物理量。 即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体内该物理量的时间变化率和该物理量通过控制体表面的净流出率之和。由于质量守恒，因此：此方程称为积分形式的连续性方程。§3-2连续性方程 定常流动：一元流动：ρ1V1A1=ρ2V2A2不可压缩流体的一元流动：V1A1=V2A2§3-2连续性方程 二元流动，取控制体如图，长为dx,宽为dy。设控制体中心点的速度分别为u，v，密度为ρ。第一项为：§3-2连续性方程二.微分形式的连续性方程： 考虑第二项：左侧面流入质量：右侧面流出质量：x方向净流出的质量为：§3-2连续性方程单位时间内控制体表面的净流出量。 同理,单位时间内y方向净流出的质量为：因此：即：三元流动：§3-2连续性方程 对于定常流动（恒定流）：当ρ=常数时（不可压缩流体）：§3-2连续性方程 作业：P106，第6题、第8题。 §3-3流体运动的微分方程x方向：max=Fx从理想流体中取出边长分别为dx、dy和dz的微元平行六面体。设微元体中心点的速度分量为u、v和w，其压强为p、密度为ρ。理想流体的动压强与液体的静压强的特性一致。一.理想流体的运动微分方程： 同理：即：理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程。不可压缩粘性流体的运动微分方程又称为纳维-斯托克斯方程，简称为N-S方程。§3-3流体运动的微分方程二.粘性流体的运动微分方程（N-S方程）简介： N-S方程：在N-S方程中，若=0（理想流体），则N-S方程变为欧拉运动微分方程。§3-3流体运动的微分方程 §3-5伯努利方程一.理想流体沿流线s的伯努利方程：加速度：如果流动恒定，则：考查理想流体沿流线s的运动方程：1.方程的推导： §3-5伯努利方程如果质量力仅为重力：如果ρ为常数：积分得：沿流线积分 或：位置水头(Z)、压强水头(p/)与流速水头(u²/2g)之和称为总水头（H）。这就是重力作用下，理想不可压缩流体恒定流沿流线的伯努利方程。§3-5伯努利方程物理意义和几何意义见第二章物理意义→单位重量的流体所具有的动能几何意义→流速水头 2.方程的物理意义和几何意义：恒定元流伯努利方程的物理意义：理想、不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿元流各断面上机械能守恒。恒定元流伯努利方程的几何意义：理想、不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿元流各断面上总水头保持不变。由于元流的极限状态就是流线，故沿流线的伯努利方程就是沿元流的伯努利方程。§3-5伯努利方程 二.压强沿流线法向的变化：§3-5伯努利方程 渐变流和急变流的概念（复习）：如果某处的流线的曲率半径非常大,则此处的流动称为渐变流；否则称为急变流。这时沿流线的法向有：在渐变流断面上有：§3-5伯努利方程 三.理想流体总流的伯努利方程：研究总流在断面1-1和2-2之间的部份。取其中某一元流，速度和断面积分别为u1、dA1和u2、dA2。u1dA1=u2dA2或dQ1=dQ2§3-5伯努利方程 设两断面1-1和2-2处在渐变流中故：§3-5伯努利方程由于在渐变流断面上有：令：式中：称为动能修正系数，与断面速度分布有关。工程中其值约为1.03-1.07，近似取为1。 理想流体恒定总流的伯努利方程中：各项的物理意义和几何意义分别与元流的伯努利方程中的相应项的物理意义和几何意义相同。§3-5伯努利方程 四.粘性总流的伯努利方程：如图：1-1断面在上游，2-2断面在下游。由于有粘性，机械能沿流程减少。实际流体具有粘性，在流动过程中，摩擦阻力做功会消耗掉一部分机械能。设单位重量流体从总流的1-1断面运移至2-2断面的机械能损失为hw1-2。则：§3-5伯努利方程 水力坡度J：单位重量流体沿总流单位长度上的机械能损失。或：§3-5伯努利方程 §3-6伯努利方程的应用1.连续流体（液、气）。2.流体均匀不可压缩，=const.。3.恒定流。4.质量力仅为重力。5.所取的两个计算断面为均匀流断面或渐变流断面（两断面间可以是急变流）。一.伯努利方程的应用条件： 单位重量流体从1-1断面流至0-0断面：单位重量流体从2-2断面流至0-0断面：二.有汇流（或分流）的伯努利方程：§3-6伯努利方程的应用前提：过流断面流速均匀 水泵由进水管1，出水管2，以及叶轮，涡壳等组成。水由进水管进入叶轮中心，流经叶片之间的通道进入涡壳，由于叶轮的高速旋转，水流获得能量，出口2-2断面的压力增高。p2>p1。1.有能量输入：三.有能量输入或输出的伯努利方程：§3-6伯努利方程的应用式中Hm为单位重量液体流经水泵所获得的机械能，也称为水泵的扬程。 2.有能量输出：这时的伯努利方程为：§3-6伯努利方程的应用式中Hm为单位重量液体传递给水轮机的机械能，也称为水轮机的工作水头。 作业：P107，第12题、第13题。 四.总流伯努利方程的应用举例：1.定断面：应将计算断面取在已知条件较多的均匀流或渐变流断面上，并使伯努利方程包含所要求解的未知数。2.过流断面上计算点的取定：原则上计算点可在均匀流或渐变流断面上任取。但为了方便，管流的计算点应取在管轴中心处；明渠流的计算点则应取在自由表面上。3.定基准面：两过流断面必须选取同一基准面，常使Z≥0。4.方程中的动压强p1和p2既可为绝对压强，也可为相对压强。但p1和p2必须同为绝对压强或同为相对压强。5.分析和考虑两过流断面间的能量损失hw1-2。解题时应注意以下几点：§3-6伯努利方程的应用 例1.求小孔出流的流量：如图，对断面0-0和断面1-1列伯努利方程，不计能量损失，有：上式中：A为小孔的面积，A为1-1断面的面积。解：§3-6伯努利方程的应用 例2.用文丘里流量计测定管道中的流量：如图，在1-1及2-2断面列伯努利方程，不计能量损失有：解：§3-6伯努利方程的应用由于：故：又因为：所以： ：考虑能量损失及其它因素所加的系数（1）§3-6伯努利方程的应用流量为： 例3.用皮托管测流速：§3-6伯努利方程的应用 书上P80–81例3-10解：对1-1和2-2断面列伯努利方程：水泵的有效功率：§3-6伯努利方程的应用水泵抽水,已知:Q=8.5×10-3m3/s,h=6.3m,hw=0.9m(水柱)。求：水泵的有效功率P=？ 书上P81–82例3-11输气管入口，已知：ρ’=1000kg/m3，ρ=1.25kg/m3，d=0.4m，h=30mm。求：Q=?解：对0-0和1-1断面列伯努利方程，不计损失：§3-6伯努利方程的应用 书上P83–84例3-14有一虹吸管，已知：d=0.1m,hWAC=2.12m，hWCB=3.51m,h=6.2m，H=4.85m。求：Q=?pa–pc=?解：1)对水池液面和管道出口断面列伯努利方程：§3-6伯努利方程的应用 2)对水池液面和管道C断面列伯努利方程：§3-6伯努利方程的应用 §3-7动量方程及其应用一.总流动量方程的推导：质点的动量方程：质点系（系统）的动量方程：在§3-2中知：对于任一物理量φ（如动量）有：即： 对于恒定总流，有：若令：对于控制体不计粘性力：§3-7动量方程及其应用 对于如图所示的不可压缩液体的恒定总流，有：两断面1-1和2-2为均匀流断面或渐变流断面。§3-7动量方程及其应用或：这里： 在求解实际问题时，一般采用直角坐标系中的投影形式：动量方程中的外力：包括质量力(重力)和表面力。式中：称为动量修正系数，与断面速度分布有关。工程中其值约为1.01-1.03，近似取为1。不可压液体恒定总流的动量方程：§3-7动量方程及其应用物理意义：流出控制体动量-流入控制体动量=外力和 二.总流动量方程的应用举例：1.解题关键——正确地选取控制体。通常将控制面的一部分取在运动液体与固体的交界面（或液体与气体的分界面）上，另一部分取在渐变流断面上，并使控制面封闭。2.解题步骤：1）先利用连续性方程、伯努利方程等求出一些相关参数。2）选取渐变流断面，确定控制体；并建立直角坐标系。3）分析作用在控制体内液体上的所有外力及渐变流断面上的流速V；确定力和速度的方向，并将其在坐标轴上投影。4）列动量方程，并求解之。动量方程一般用于求解液体作用在固体壁面上的力。§3-7动量方程及其应用 确定射流对平板的冲击力（1）：平板受力分析：左边受动水压强p，右边受大气压强pa。平板受到的射流的作用力T由相对压强所引起。平板对射流的反作用力为F，有：F与T大小相等，方向相反。§3-7动量方程及其应用 作业：P108，第18题P110，第27题 确定射流对平板的冲击力（2）：平板为光滑平板，不计水头损失：§3-7动量方程及其应用 水渠、闸门的宽度B=3.4m。闸门上、下游水深分别为h1=2.5m,h2=0.8m。求:固定闸门应该施加的水平力F。解：对1-1及2-2断面列伯努利方程，不计水头损失有：以上两式联解，可得：§3-7动量方程及其应用书上P91例3-16 在水平方向列动量方程，有：§3-7动量方程及其应用 例1：如图，已知：V1、A1；；相对压强p1、p2；且管轴线在水平面内，试确定水流对弯管的作用力。解：对1-1及2-2断面列伯努利方程，不计水头损失，有：在x方向列动量方程，有：可求出V2、A2。§3-7动量方程及其应用 在y方向列动量方程，有：§3-7动量方程及其应用 例2：嵌入支座内的一段输水管，其直径由d1为1.5m变化到d2为1m(见图1)，当支座前的压强p1=4个工程大气压(相对压强)，流量为1.8m3/s时，试确定渐变段支座所受的轴向力R，不计水头损失。图1解：由连续性方程知：在1-1及2-2两断面列伯努利方程(不计损失，用相对压强)：§3-7动量方程及其应用 取控制体如图2建立坐标系xoy：图2§3-7动量方程及其应用 显然，支座对水流的作用力R′的作用线应与x轴平行。设R′的方向如图2所示：在x轴方向列动量方程：图2根据牛顿第三定律，支座所受的轴向力R与R′大小相等，方向相反(R的方向水平向右)。§3-7动量方程及其应用'