水力学第3章 水动力学

'第3章水动力学3.1描述液体运动的两种方法3.2液体运动分类和基本概念3.3恒定总流的连续性方程3.4恒定总流的能量方程3.5恒定总流的动量方程3.6教学案例1教学案例2关于液体运动的规律，它研究液体在运动状态时，作用于液体上的力与运动要素之间的关系，以及液体的运动特性与能量转换等等。 第一节概述关于液体运动的规律，它研究液体在运动状态时，作用于液体上的力与运动要素之间的关系，以及液体的运动特性与能量转换等等。 一.拉格朗日(J.L.Lagrange)法：拉格朗日法以研究个别液体质点的运动为基础，通过追踪每个液体质点运动规律的研究来获得整个液体运动的规律性。所以这种方法又可叫做质点系法。第二节描述液体运动的两种方法xzyacbxzy播放 xzyOM（a，b，c）（t0）（x，y，z）t若给定a，b，c，即为某一质点的运动轨迹线方程。液体质点在任意时刻的速度。 优缺点这种方法形象直观，物理概念清晰。但是对于易流动（易变形）的液体，需要无穷多个方程才能描述由无穷多个质点组成的液体的运动状态，这在数学上难以做到，而且也没有必要。因此我们一般用较为简便的欧拉法 二.欧拉(L.Euler)法：液体流动所占据的空间称为流场。以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况作为基础，综合所有空间点上的运动情况，构成整个液体的运动。又称为流场法。即流场中，每一瞬时的各固定空间点上的质点是有等水力要素，并且水力要素是空间坐标的函数和时间坐标函数。 播放 xzyOM（x，y，z）t时刻若x，y，z为常数，t为变数，若t为常数，x，y，z为变数，若针对一个具体的质点，x，y，z，t均为变数，且有x（t），y（t），z（t），质点通过流场中任意点的加速度空间各点的流速场可表示为： 第三节液体运动分类和基本概念一.恒定流、非恒定流★★★若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化，称流动为恒定流。反之，只要有一个运动要素随时间而变化，就是非恒定流。本课程主要讨论恒定流运动。表征液体运动的物理量，如流速、加速度、动水压强等 若t为常数，x，y，z为变数，若针对一个具体的质点，x，y，z，t均为变数，且有x（t），y（t），z（t）， 二.迹线和流线★★★迹线是流体质点运动的轨迹。迹线是拉格朗日法描述液体运动的图线。流线是某一瞬间在流场中画出的一条曲线，这个时刻位于曲线上各点的质点的流速方向与该曲线相切。流线是从欧拉法引出的，也是我们要重点理解的概念。 2134u1u2u3u4流线上任一点的切线方向即该点的流速矢量方向。某一瞬间整个流场情况 流线有两个最重要的性质，(1)即流线不能相交，也不能转折，否则交点（或转折）处的质点就有两个流速方向，这与流线的定义相矛盾。也可以说某瞬时通过流场中的任一点只能画一条流线。(2)流线的形状和疏密反映了某瞬时流场内液体的流速大小和方向，流线密的地方表示流速大，流线疏处表示流速小。均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流渐变流急变流急变流 非均匀流急变流 迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度方向与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍是完全不同的概念。 三.流管和流量在流场中，取一条不与流线重合的封闭曲线L，在同一时刻过L上每一点作流线，由这些流线围成的管状曲面称为流管。流线流管1.流管流管——由流线构成的一个封闭的管状曲面元流——充满以流管为边界的一束液流 2.元流充满以流管为边界的一束液流称为元流。3.总流由无数个元流组成的宏观水流称为总流。vAdAu元流总流 4.过水断面与元流或总流所有流线正交的横断面5.流量单位时间内流过某一过水断面的液体体积称为流量，流量用Q表示，单位为（m3/s）。假设元流的流量为dQ=udA，则通过总流过水断面的流量Q为 6.断面平均流速一般情况下组成总流的各个元流过水断面上的点流速是不相等的，而且有时流速分布很复杂。为了简化问题的讨论，我们引入了断面平均流速v的概念。断面平均流速υ等于通过总流过水断面的流量Q除以过水断面的面积A，即V＝Q/A。m3/sQ=∫Adqv=vAdQ=udA流量m/sv=∫AudAu流速m2A=∫AdAdA过水面积单位总流元流水力要素A1 四均匀流.非均匀流；渐变流.急变流均匀流：同一流线上各质点流速矢量沿程不变。。这里要满足两个条件，即流线既要相互平行，又必须是直线，其中有一个条件不能满足，这个流动就是非均匀流。均匀流的概念也可以表述流线是相互平行的直线的流动称为均匀流 流动的恒定、非恒定是相对时间而言，均匀、非均匀是相对空间而言；恒定流可是均匀流，也可以是非均匀流，非恒定流也是如此.按运动要素是否随空间、时间变化均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流渐变流急变流急变流 均匀流具有下列特征：1）过水断面为平面，且形状和大小沿程不变；2）同一条流线上各点的流速相同，因此各过水断面上平均流速v相等；3）同一过水断面上各点的测压管水头为常数（即动水压强分布与静水压强分布规律相同，具有z+p/r=C的关系）。 五.一维（元）流.二维流与三维流水流运动要素分别与空间一个、两个、三个坐标有关，分别分为一维流、二维流与三维流。六.渐变流与急变流非均匀渐变流：流线不平行但流线间夹角较小，或者流线弯曲但弯曲程度较小（曲率半径较大）。反之则称为急变流。渐变流同一过水断面上的测压管水头（z+p/r）近似常数。 连续性方程——质量守恒定律第三节恒定总流的连续性方程在恒定总流中，取一微小流束，P35页依质量守恒定律，取单位时间流进、流出微小流束液体：设，则即有：上式为微小流束的连续性方程u1u2dA1dA2 上游过水断面A1和下游过水断面A2之间的总流管A1A2或在恒定总流中任意两个过水断面所通过的流量相等。过水断面的平均流速与过水断面的面积成反比。恒定总流的连续性方程适用条件：恒定、不可压缩的总流且没有支汇流。v1v2vi为断面平均流速例1见P35 连续性方程是一个运动学方程，它没有涉及作用力的关系，通常应用连续方程来计算某一已知过水断面的面积和断面平均流速或者已知流速求流量，它是水力学中三个最基本的方程之一。水量平衡当有分流汇入及流出的情况下，连续方程按∑入流量=∑出流量列出例2见P36 水流的能量方程就是能量守恒规律在水流运动中的具体表现。根据流动液体在一定条件下能量之间的相互转换，建立水流各运动要素之间的关系。理想液体恒定流微小流束的能量方程式实际液体恒定流微小流束的能量方程式实际液体恒定总流的能量方程式方程式建立的思路：返回第四节恒定总流的能量方程vAdAu元流总流 1、理想液体恒定流微小流束的能量方程(1)设在理想液体恒定流中，取一微小流束：(2)依牛顿第二定律：其中：一元流时：牛顿第二定律：物体的加速度跟物体所受的合外力F成正比，跟物体的质量成反比。F合=ma=>F合=p+dp00ds12pdG=ρgdAdsdAαvAdAu元流总流 00ds12pdG=ρgdAdsdAα理想液体恒定流微小流束的能量方程因为 任意两个断面：——不可压缩理想液体恒定流微小流束的能量方程式——伯努利方程前进D.Bernoulli沿流线积分得： 2、能量方程的意义(1)能量方程所表述的能量意义(ⅰ)满足动能定理：合外力做功等于物体动能的增量.(ⅱ)满足能量守恒定理(ⅲ)各种能量可以转化 (2)物理意义单位重量液体所具有的位置势能单位重量液体所具有的压强势能单位重量液体所具有的总势能单位重量液体所具有的动能机械能单位势能 (3)能量方程几何意义位置水头压强水头测压管水头流速水头总水头 3、实际液体恒定流微小流束的能量方程式——单位重量液体从断面1-1流至断面2-2所损失的能量，称为水头损失。0012返回 元流能量方程的应用举例（比托管测流速） 0 5、不可压缩实际液体恒定总流的能量方程式将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来，即为总流的能量方程式。均匀流或渐变流过水断面上动能修正系数,1.05~1.1取平均的hwV→u，前进u2u 上式是不可压缩实际液体恒定总流的能量方程。它反映了总流中不同过水断面上测压管水头和断面平均流速的变化规律及其相互关系，是水动力学中第二个重要的基本方程式，它和水流的连续性方程一起联合运用，可以解决许多水力学计算问题。二、方程的形式实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从总水头大处流向水头小处；或水流总是从总机械能大处流向总机械能小处。 单位重量液体所具有的总机械能单位重量液体所具有所消耗机械能水头损失动能修正系数α，它是一个大于1.0的数，其大小取决于断面上的流速分布。流速分布越均匀，越接近于1.0；流速分布越不均匀，α的数值越大。在一般的渐变流中的α值为1.05-1.10.为简单起见，也常近似地取α=1.0.α-动能修正系数 三、测压管水头线及能量方程图示水平基准线位置水头线测压管水头线总水头线oo理想实际将各点测压管水头的连线称为测压管水头线 对于实际液体，由于液体具有粘滞性，水头损失总是存在的，因此，总水头线总是一条下降的曲线。而对于理想液体，总水头线是一条水平线。水力坡度：水力坡度表示单位重量液体在单位长度流程上水头损失。*提示：实际液体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是下降的线也可能是上升的线甚至可能是一条水平线。 四.能量方程的应用条件（1）液流必须是不可压缩的恒定流；（2）作用在液体上的质量力只有重力；（3）建立能量方程的两个过水断面都必须位于均匀流或渐变流段，但该两断面间的某些流动可以是急变流；（4）两计算断面间无流量的汇入或流出，否则要建立相应的方程式。见下图 五.能量方程的的解题技巧（1）必须确定基准面。基准面可以任意选择，但尽可能使所选的基准面能简化能量方程，便于求解。同一能量方程只能选择同一基准面。（2）计算压强水头时两个断面的压强标准要相同。（3）测压管水头的计算，对于管流，计算点取在管轴线上,对明渠水流,计算点取在自由表面上。 （4）选取过水断面除了满足渐变流条件外，还应使所选断面上未知量尽量少,以简化能量方程的求解过程。（5）求解能量方程必须确定动能修正系数α一般可以取α1=α2=1计算。（6）注意水头损失hw的取舍。（7）当一个问题中有2-3个未知数的时候,能量方程需要和连续方程、动量方程组成方程组联合求解。举例 例1.如图所示，一等直径的输水管，管径为d=100mm，水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心点的高度为H=2m，若不计水流运动的水头损失及水箱中的流速水头，求管道中的输水流量。H分析：Q=VA；A=πd2/4所以需要用能量方程式求出V；221100解：对1-1、2-2断面列能量方程式：其中：所以有：可解得：则：答：该输水管中的输水流量为0.049m3/s。前进 2.2今有一水管，管中A和B两点高差为lm（如图示），A点处管径为0.25m,B点处管径为0.5m,A点压强为80kPa,B点压强为50kPa,B点断面平均流速为1.2m/s，试判别A和B两点间水流方向，并求出其间水头损失。V1A1=V2A2V1A1=1.2A2 六.有能量输入或输出的能量方程Hp为1、2断面之间单位重量流体从水力机械获得（取+号，如水泵）或给出（取-号，如水轮机）的能量 案例1如图所示水泵管路系统,已知：流量Q=101m3/h，管径d=150mm，管路的总水头损失hw1-2=25.4m，水泵效率η=75.5%，试求：（1）水泵的扬程Hp（2）水泵的功率Np解：（1）计算水泵的扬程Hp 以吸水池水面为基准写1-1,2-2断面的能量方程即0+0+0+HP=102+0+0+hw1-2∴HP=102+hw1-2=120+25.4=127.4m（2）计算水泵的功率Np 第五节实际液体恒定总流的动量方程式11221′1′2′2′t时刻t+△t时刻依动量定律：即：单位时间内，物体动量的增量等于物体所受的合外力dA1u1u2dA2u1△t 动量定律：微小流束动量： 在均匀流或渐变流过水断面上 即为实际液体恒定总流的动量方程式作用于总流流段上所有外力的矢量和单位时间内，通过所研究流段下游断面流出的动量与上游断面流入的动量之差 动量方程的投影表达式：适用条件：不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀流或渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。如图所示的一分叉管路，动量方程式应为：v3112233ρQ3ρQ1ρQ2v1v2一、方程形式 上游水流作用于断面A1上的动水压力P1，下游水流作用于断面A2上的动水压力P2，重力G和总流侧壁边界对这段水流的总作用力R。其中只有重力是质量力，其它都是表面力。恒定总流动量方程反映水流动量变化与作用力间的关系，用于求解水流与固体边界之间的相互作用力。 （1）水流是恒定流；（2）控制体的进出口断面都是均匀流或渐变流；（3）方程中的流速和作用力都具有方向的，应用动量方程解题必须建立坐标系。流速或者作用力的投影分量与坐标方向一致时为正值，否则为负值；（4）动量方程式的右端应该是单位时间内控制体的动量的改变值，应该是流出液体的动量减去流入液体的动量。二.方程的应用条件和注意事项 （5）∑F包括作用在控制体上的全部外力，不能遗漏，也不能多选。当未知力的方向不能事先确定时，可以先假设其方向进行求解。如果求出该力为正值，表示假设方向正确，否则表示该力的实际作用方向与假设方向相反；（6）动量方程只能求解一个未知数，如果方程中的未知数多于1个，必须与连续方程、能量方程联合求解。（7）对于有分岔的管道，动量方程的矢量形式为：(8)一般设β１≈1，β２≈1。 取脱离控制体:正确分析受力，未知力设定方向:1122FP1FP2FRFGxzy 三.动量方程式在工程中的应用弯管内水流对管壁的作用力水流对建筑物的作用力射流对平面壁的冲击力 弯管内水流对管壁的作用力管轴水平放置管轴竖直放置1122FP1=p1A1FP2=p2A·2FRFGxzyV1V2FRzFRx沿x方向列动量方程为：沿z方向列动量方程为：沿x方向列动量方程为：沿y方向列动量方程为：FP1=p1A1FP2=p2A·2FRV1V2FryFRxxy返回恒定总流动量方程应用举例---弯管内水流对管壁的作用力 例题有一个水平放置的弯管，直径从d1=30cm渐变到d2=20cm，转角θ=60°，如图所示。已知弯管1—1断面的平均动水压强p1=35000N/m2，断面2—2的平均动水压强为p2=25840N/m2，通过弯管的流量Q=150L/s。求水流对弯管的作用力。变截面 解：根据题意要求水流对弯管的作用力，应该用动量方程进行求解。（1）取弯管的1—1与2—2断面之间的水体作为脱离体（如图）。断面1—1和2—2两过水断面的动水压力可以按静水总压力的公式计算。（2）分析作用在脱离体上的外力：断面1-1和2-2上的动水总压力分别为P1与P2，P1=p1A1，P2=p2A2。（3）建立x轴与y轴方向的动量方程，所取坐标系如图所示。取动量修正系数12=1.0。 沿x轴方向写动量方程，得 沿y轴方向写动量方程得 合力的大小为合作用力的方向为所以水流对弯管的作用力为R′=R，方向与R相反，与x轴的夹角为α=53º44′ 水流对建筑物的作用力FP1122xFP1=ρgbh12/2FP2=ρgbh22/2FR沿x方向列动量方程为： 射流对平面壁的冲击力FPV000VV1122FRV0VVx沿x方向列动量方程为：整理得：前进 例：设有一股自喷嘴以速度v0喷射出来的水流，冲击在一个与水流方向成α角的固定平面壁上，当水流冲击到平面壁后，分成两面股水流流出冲击区，若不计重量（流动在一个水平面上），并忽略水流沿平面壁流动时的摩擦阻力，试推求射流施加于平面壁上的压力FP，并求出Q1和Q2各为多少？FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿y方向列动量方程为：前进 对0-0、1-1断面列能量方程为：可得：同理有：依据连续性方程有：FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿x方向列动量方程为：整理得：所以：返回 FP1=p1A1FP2=p2A·2FRV1V2FryFRx 本章小结：本章的核心内容是流体动力学的三大方程：连续方程、能量方程和动量方程。围绕三个重要的方程式，学习了一些水力学的基本概念，主要有：流线、迹线、流束或者元流、总流、过水断面、流量、断面平均流速、点流速、水头损失、恒定流、非恒定流、均匀流、非均匀流、急变流、渐变流、扬程。掌握本章内容的最有效办法是：多做课后作业。 旋转抛物面即为旋转抛物体的体积断面平均流速V即为柱体的体积A返回 OOdndAαpp+dp在均匀流，与流线正交的n方向上无加速度，所以有即：积分得：返回'